Ireki menu nagusia

Integralen zerrenden historia-bilakaeraAldatu

Integralen zerrenda baten bilduma (Integraltafeln) eta kalkulu integralaren teknikak Meyer Hirsch Alemaniako matematikariak argitaratu zituen 1810ean. Taula horiek berrargitaratu zituzten Erresuma Batuan 1823an. 1858an, David de Bierens de Haan Herbehereetako matematikariak taula luzeagoak bildu zituen. Edizio berri bat 1862an argitaratu zuten. Taula horiek, zeinetan nagusiki oinarrizko funtzioen integralak dauden, 20. mendearen erdira arte jarraitu zituzten erabiltzen. Gero, taula horien ordez Gradshteynen eta Ryzhiken taula handiagoak erabiltzen hasi ziren. Gradshteynen eta Ryzhiken tauletan Bierensen liburutik hartutako integralak BI letrekin adierazten dituzte.

Integralen zerrendaAldatu

K erabiltzen da integrazio-konstante gisa. Konstante hori zehaztu daiteke soilik integralaren balioa ezaguna baldin bada puntu batean. Horrela, funtzio bakoitzak jatorrizkoen kopuru infinitua dauka.

Funtzio arrazionalakAldatu

 
 
 
 

Funtzio irrazionalakAldatu

 
 
 

Funtzio logaritmikoakAldatu

 
 

Funtzio esponentzialakAldatu

 
 

Funtzio trigonometrikoakAldatu

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(ikusi sekantearen kuboaren integrala)
 
 

Alderantzizko funtzio trigonometrikoakAldatu

 
 
 
 
 
 

Funtzio hiperbolikoakAldatu

 
 
 
 
 
 

Alderantzizko funtzio hiperbolikoakAldatu

 
 
 
 
 
 

Xehetasun gehiagorako ondorengo orrietara jo:

Jatorrizko itxia ez duten integral mugatuakAldatu

Badaude zenbait funtzio zeinen jatorrizkoak ezin diren adierazi forma itxian, hau da, ezin dira adierazi funtzio arrazional, irrazional, esponentzial, logaritmiko, trigonometriko edo alderantzizko funtzio trigonometrikoen konposizio, batuketa edo biderketa gisa. Ostera, zenbait tarte komunetan, funtzio horien integral mugatuen balioak era sinbolikoan kalkula daitezke eta balio zehatza ere lortu. Kasu horietan, baliabidetariko batzuk hauek ditugu:

  (ikusi Gamma funtzioa ere)
  (Gaussen integrala)
  (ikusi Bernoulliren zenbakia ere)
 
 
  (baldin n bikoiti osoa eta   bada)
  (baldin   bakoiti osoa eta   bada)
 
  (non   Gamma funtzioa den)
  (non     funtzio esponentziala den, eta  )
  (non   lehen klaseko Besselen funtzio aldatua den)
 
 ,  , integral hau Studenten t banaketaren probabilitatearen dentsitate-funtzioari lotuta dago)

Exhauzio-metodoak formula bat ematen du kasu orokorrerako jatorrizkorik ez dagoenean:

 
 , non   diren, batez besteko logaritmikoa dena
 
  (Gaussen integrala)
 
 
 
 
  (!! Faktorial bikoitza da)
 
 
 
 
 


"Sophomoreren ametsa"Aldatu

 

Johann Bernoulli da ustezko egilea.

BiblografiaAldatu

  • I.S. Gradshteyn (И.С. Градштейн), I.M. Ryzhik (И.М. Рыжик); Alan Jeffrey, Daniel Zwillinger, argitaratzaileak. Table of Integrals, Series, and Products, zazpigarren edizioa. Academic Press, 2007. ISBN 978-0-12-373637-6. Akatsa. (Aurreko edizio asko ondo daude.)
  • A.P. Prudnikov (А.П. Прудников), Yu.A. Brychkov (Ю.А. Брычков), O.I. Marichev (О.И. Маричев). Integrals and Series. Lehenengo edizioa (errusieraz), 1–5 liburukiak, Nauka, 1981−1986. Lehenengo edizioa (ingelesez, N.M. Queen-ek errusieratik itzulita), 1–5 liburukiak, Gordon & Breach Science Publishers/CRC Press, 1988–1992, ISBN 2-88124-097-6. Bigarren edizio berrikusia (errusieraz), 1–3 liburukiak, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2003.
  • Yu.A. Brychkov (Ю.А. Брычков), Handbook of Special Functions: Derivatives, Integrals, Series and Other Formulas. Errusierazko edizioa, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2006. Ingelesezko edizioa, Chapman & Hall/CRC Press, 2008, ISBN 1-58488-956-X.
  • Daniel Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31. edizioa. Chapman & Hall/CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-291-3. (Aurreko edizio asko ondo daude.)

HistorikoakAldatu

Kanpo loturakAldatu

Integralen taulakAldatu

Baliabideak OnlineAldatu

Open source programakAldatu