Weierstrass funtzioa

Weierstrass funtzioa Karl Weierstrass matematikariak definitutako funtzioa da. Zuzen batekiko definitua da eta balio errealak hartzen ditu. Funtzio jarraitua da puntu guztietan baina ez da inolako puntutan deribagarria edo diferentziagarria. Horrez gain, Weierstrass funtzioaren dimentsio fraktala 1 baino handiagoa da.

Weierstrass funtzioa [−2,   2] tartean. Funtzioak portaera fraktala du.

Sarrera

Weiestrassen garaian bazen suposizio bat, zeinaren arabera juntzio jarraitu guztiak diferentziagarriak ziren, singularitate isolatu batzuk gorabehera. Weiestrassek funtzio hau garatu zuen, puntu guztietan jarraitua zena baina inolako puntutan deriba ezin zitekeena, uste hori baliogabetzeko.

Funtzioaren definizioa, Weierstrass-ek azaldua, hau da:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x),$

non 0 > a > 1, eta b zenbaki oso bakoiti eta positiboa den, eta azpikoa betetzen den:

$ab>1+{\frac {3}{2}}\pi .$

Funtzioa jarraitua delako froga sinplea da: seriearen batugai partzialak jarraiak izanki, eta seriea uniformeki konbergentea denez, limitea jarraitua dela ondoriozta daiteke.

Funtzio honen beste propietate interesgarri bat haren izaera fraktala da. Irudiaren zatiek osotasuna guztiz erreproduzitu ez arren, irudiaren dimentsioa ez da zenbaki oso bat (1 eta 2 artean dago).

Ikus, gainera

• Koch Elur maluta

Erreferentziak

Bibliografia

• Falconer, Kenneth (2003). Fractal Geometry: mathematical foundations and applicatons (ingelesez) (2. edizioa). John Wiley & Sons.

Kanpo estekak

• Datuak: Q94491
• Multimedia: Weierstrass function / Q94491