Newton-Rapson Metodoa

Zenbakizko analisian, Newton–Raphson metodoa (Newtonen metodo gisa ere ezagutzen dena), Isaac Newtoni eta Joseph Raphsoni zor zaie. Metodo honek funtzioen erro gero eta hobeak lortzen ditu, hau da, funtzioa edo funtzio sistema zero egiten duen balioa bilatzen du. Algoritmoa erroaren hurbilketa batekin hasten da eta urrats bakoitzean erroaren hurbilketa hobea lortzen du.

Aldagai bakarreko funtzio errealen kasuan honakoa da metodoa: Izan bedi ƒ funtzioa x errealentzat definitua, eta izan bedi ƒ ' bere deribatua. Erroaren hasierako hurbilketa bat behar dugu, x₀. Erroaren hurbilketa horretan oinarrituz hurbilketa hobea izango den x₁ lortzen da honela:

$x_{1}=x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}\,.$

Geometrikoki, (x₁, 0) puntua x ardatzarekin marra batek duen ebaketa puntua da, marra hori f funtzioaren tangentea da (x₀, f (x₀)) puntuan.

Funtzioa ƒ urdinez ageri da eta bere tangentea gorriz. Ikus daitekeenez f funtzioaren x erroarentzat x_n+1 hurbilketa hobea da x_n baino.

Prozesua errepikatu egin behar da hurbilketaren zehaztasuna nahi adinakoa izan arte:

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}\,$

Urrats bakoitzean ematen den hurbilketa funtzio baten Taylorren seriean oinarritzen da, Alegia, puntu baten inguruan funtzio batek dituen balioak kalkulatzeko Taylorren serieko lehenengo bi osagaiak hartzen ditu:

$f(x_{0}+h)=f(x_{0})+hf'(x_{0})+...\,.$

x₀+h funtzioaren erroa izango bada f(x₀+h) balioak 0 izan behar du, hau da,

$0=f(x_{0})+hf'(x_{0})+...\,.$

Ondorioz,

$h=-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}$

alegia, funtzioa zero egiten duen balioa hau da:

$x_{0}+h=x_{1}=x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}\,.$

Kanpo estekak

• Datuak: Q12264823