Laplaceren ekuazioa

Kalkulu bektorialean, Laplace-ren ekuazioa mota eliptikoko bigarren mailako deribatu partzialetako ekuazioa da, Pierre-Simon Laplace fisikariaren eta matematikariaren omenez izendatua.

Pierre-Simon Laplace

Mekanika newtondarraren beharrizanek sartuta, Laplaceren ekuazioa fisika teorikoko beste adar askotan agertzen da, hala nola astronomian, elektrostatikan, fluidoen mekanikan edo mekanika kuantikoan.

Definizioa

Hiru dimentsiotan, bi aldiz deribagarria, eta $(x,y,z)$ aldagai errealetako $u$ funtzio erreal bat aurkitzean datza problema, non

koordenatu cartesiarretan,

${\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial z^{2}}=0.$

$(\rho ,\varphi ,z)\,$ koordenatu zilindrikoetan,

${1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial u \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}u \over \partial \varphi ^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial z^{2}}=0$

$(r,\theta ,\phi )\,$ koordenatu esferikoetan,

${1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial u \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial u \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}u \over \partial \varphi ^{2}}=0$

baita.

$\nabla ^{2}u=0\,$

non $\nabla ^{2}$ Laplace-ren eragilea edo "Laplacetarra" da.

Ekuazio hau deribatu partzialetan honela ere idatz daiteke:

$\nabla \cdot \nabla u=0,$

non $\nabla \cdot$ dibergentzia den, eta $\nabla$ gradientea den.

Edo, batzuetan notazioa hau izan daiteke:

$\Delta u=0,\,$

non $\Delta$ Laplace-ren eragilea ere baden.

Laplace-ren ekuazioaren soluzioei funtzio harmoniko deitzen zaie.

Berdintzaren eskuinaldean $f(x,y,z)$ funtzio bat zehazten bada, hau da, ekuazioa honela idazten bada:

$\Delta u=f\,$

orduan "Poisson-en ekuazioa" duzu, beraz, Laplace-ren ekuazioa horren kasu partikularra da. Laplace-ren ekuazioa Helmholtz-en ekuazioaren kasu partikular bat ere bada.

Laplace-ren ekuazioa, baita Poisson-en ekuazioa ere, deribatu partzialetako ekuazio eliptikoren adibiderik errazenak dira.

Laplaceren ekuazioa bi dimentsiotan

Laplaceren ekuazioa bi aldagai independentetan:

${\displaystyle \varphi _{xx}+\varphi _{yy}=0.\,}$

Denboraren mende ez dauden zenbait egoera fisiko modelatzen ditu Laplaceren ekuazioak. Bero-transferentziari buruzko Fourier-en legean tenperatura, edo Fick-en difusio-legean kontzentrazio kimikoa edo Ohm-en eroapen-legean potentzial elektrostatikoa adieraz ditzake.

Funtzio analitikoak

Konplexuetako funtzio analitiko baten parte errealak eta irudikariak Laplaceren ekuazioa betetzen dute. Hau da, ${\displaystyle z=x+iy}$ bada eta ${\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y)}$, orduan ${\displaystyle f(z)}$ analitikoa izateko baldintza Cauchy-Riemann-en ekuazioak betetzea da:

${\displaystyle u_{x}=v_{y},\quad v_{x}=-u_{y}}$ non ${\displaystyle u_{x}}$ $x$-rekiko $u$-ren lehen deribatu partziala den.

Orduan, ${\displaystyle u_{yy}=(-v_{x})_{y}=-(v_{y})_{x}=-(u_{x})_{x}}$.

Ondorioz, $u$-k Laplaceren ekuazioa betetzen du. Antzeko kalkulu batek frogatzen du ${\displaystyle v}$-k ere betetzen duela Laplaceren ekuazioa.

Alderantziz, funtzio harmoniko baten ondorioz, funtzio analitiko baten zati erreala da ${\displaystyle f(z)}$. Hori frogatzeko modu bat da:

${\displaystyle f(z)=\varphi (x,y)+i\psi (x,y)}$, orduan Cauchy-Riemann-en ekuazioak betetzen dira;

${\displaystyle \psi _{x}=-\varphi _{y},\quad \psi _{y}=\varphi _{x}}$.

Erlazio horrek ez du zehazten ${\displaystyle \psi }$, bere gehikuntzak soilik;

${\displaystyle d\psi =-\varphi _{y}\,dx+\varphi _{x}\,dy}$

Laplace-ren ekuazioak ${\displaystyle \varphi }$-rako adierazten du betetzen dela integragarritasun-baldintza ${\displaystyle \varphi }$-rako.

${\displaystyle \psi _{xy}=\psi _{yx}}$, eta, hala, ${\displaystyle \psi }$, lineako integral batekin defini daiteke.

Integragarritasun-baldintzak eta Stokes-en teoremak adierazten dute bi puntu lotzen dituen linearen integralaren balioa eta bidea independenteak direla. Laplaceren ekuaziotik ateratzen den emaitza-pareari funtzio harmoniko konjokatua esaten zaio. Hau lokalki baino ez da baliozkoa, edo baldin eta bidea berezitasun batekin inguratzen ez bada. Adibidez, $r$ eta ${\displaystyle \theta }$ koordenatu polarrak badira eta ${\displaystyle \varphi =\log r}$, orduan, dagokion funtzio analitikoa hurrengoa da:

${\displaystyle f(z)=\log z=\log r+i\theta }$

Hala ere, ${\displaystyle \varphi }$ angelua jatorririk gabeko eskualde batean baino ez da kokatzen.

Laplaceren ekuazioaren eta funtzio analitikoen arteko erlazio estuak ezartzen du Laplaceren ekuazioko edozein ebazpenak maila guztietan dituela deribatuak, eta potentzia-serieetan zabal daitekeela, berezitasunik ez duen zirkulu baten barruan gutxienez. Hori uhinaren ekuazioaren emaitzekin kontrastean dago, eskuarki erregulartasun txikiagoa baitu.

Potentzia-serieen eta Fourier-en serieen arteko lotura estua dago. Potentzia-serieetan $f$ funtzio bat hedatzen badugu $R$ erradioko zirkulu baten barruan, horrek esan nahi du

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}}$, behar bezala definitutako koefizienteekin, non benetako eta irudizko zatiak hauek diren:

${\displaystyle c_{n}=a_{n}+ib_{n}}$

Orduan, ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\left[a_{n}r^{n}\cos n\theta -b_{n}r^{n}\sin n\theta \right]+i\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}r^{n}\sin n\theta +b_{n}r^{n}\cos n\theta \right]}$

Fluido-fluxua

Izan bitez ${\displaystyle u}$ eta ${\displaystyle v}$ kantitateak, hurrenez hurren, fluxu konprimaezin geldikorraren eta irrotazionalaren abiadura-eremuaren osagai horizontal eta bertikalak, bi dimentsiotan.

Fluxua konprimaezina izateko baldintza hau da: ${\displaystyle u_{x}+v_{y}=0}$.

Eta fluxua irrotazionala izateko baldintza hau da: ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {V} =v_{x}-u_{y}=0}$

$\psi$-ren diferentziala ${\displaystyle d\psi =v\,dx-u\,dy}$ bezala definitzen badugu, orduan, konprimi-ezintasunaren baldintza da diferentzial horren integragarritasuna: ondoriozko funtzioari korronte-funtzio deritzo, konstantea baita fluxu-lerroetan zehar.

$\psi$-ren lehen deribatuak:

${\displaystyle \psi _{x}=v,\quad \psi _{y}=-u}$, eta irrotazionaltasunaren baldintzak ezartzen duenez, ${\displaystyle \psi }$-k betetzen du Laplaceren ekuazioa. ${\displaystyle \varphi }$ funtzio harmonikoak, ${\displaystyle \psi }$-ren konjokatua denak, abiadura-potentzial deritzo. Cauchy-Riemann-en ekuazioek hau ezartzen dute:

${\displaystyle \varphi _{x}=-u,\quad \varphi _{y}=-v}$.

Beraz, funtzio analitiko bakoitzari fluido konprimiezinen fluxu geldikor eta irrotazional bat dagokio planoan. Zati erreala abiadura-potentziala da, eta zati irudikaria korronte-funtzioa.

Elektrostatika

Maxwellen ekuazioen arabera, bi dimentsioko eremu elektriko batek $(u,v)$, denborarekiko independentea denak, hau betetzen du:

${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \times (u,v)=v_{x}-u_{y}=0\,\\\nabla \cdot (u,v)=\rho \,\end{cases}}}$

non $\rho$ kargaren dentsitatea den. Maxwellen lehen ekuazioa integragarritasun-baldintza da ${\displaystyle d\varphi =-u\,dx-v\,dy\,}$ diferentzialarentzat. Beraz, ${\displaystyle \varphi }$ potentzial elektrikoa honako hau asetzeko eraiki daiteke:

${\displaystyle \varphi _{x}=-u,\quad \varphi _{y}=-v\,}$

Maxwellen bigarren ekuazioak hau ezartzen du:

${\displaystyle \varphi _{xx}+\varphi _{yy}=-\rho \,}$, Poisson-en ekuazioa izenez ezagutua.

Garrantzitsua da ikustea Laplaceren ekuazioa hiru dimentsioko problemetan erabil daitekeela elektrostatikan eta fluido-fluxuan, bai eta bi dimentsiotan ere.

Kanpo estekak

• Datuak: Q339444
• Multimedia: Laplace's equation / Q339444