Lankide:Nikoroteta/Proba orria

Kalkulu diferentzialaren erabilera nagusiak

aldatu

Funtzio baten zuzen ukitzailea puntu batean

aldatu

  funtzio baten zuzen ukitzailea zuzen ebakitzailearen limitetzat hartzen da, zuzen ukitzailearen eta funtzioaren arteko ebaki puntu batek beste ebaki punturantz jotzen duenean. Puntu bateko zuzen ukitzailea lortzeko beste modu bat da funtzioaren puntu horretako hurbilketa lineal onena erabiltzea, hau da, funtzioa lokalki hobekien hurbiltzen duen lehen mailako funtzio polinomikoa litzateke zuzen ukitzailea.

  funtzioaren a puntuko   zuzen ukitzailearen ekuazioa ezaguna bada, adierazpen hau   funtzioaren nahiko hurbilketa ontzat har daiteke a puntuaren ingurune batean. Ondorioz,   puntu bat hartuz gero, non h 0-tik gertu dagoen, orduan   ren balioa baztergarria izango da h-ren balio absolutuarekin alderatuz. Beraz, x puntua geroz eta gertuago egon   puntutik ,   zuzena   funtzioaren geroz eta hurbilketa hobea izango da.

  funtzioa a puntuan deribagarria bada, orduan honela definitzen da a puntuko zuzen ukitzailea:

 

Deribatuaren erabilera funtzioak marrazteko

aldatu

Deribatuak aldagai bakarreko funtzioen grafikoak marrazteko tresna erabilgarriak dira. Zehazki, funtzio bat mutur (maximo edo minimo) lokal batera eramaten duten puntuetan, funtzioaren lehen deribatuak zero balioa hartzen du. Hala ere, puntu kritiko guztiak ez dira muturrak; adibidez,   funtzioak puntu kritiko bat du   puntuan, baina hau ez da maximo edo minimo bat, zeladura puntu bat baizik. Puntu hauen izaera definitzeko lehen deribatuaren irizpidea eta bigarren deribatuaren irizpidea erabiltzen dira.


Mutur lokalak aurkitutakoan, errazagoa da funtzioaren itxuraren ideia orokor bat egitea; izan ere, funtzioa monotonoki aldatuko da bi puntu kritikoen artean, hau da, berauek hartzen dituzten balioen arteko balioak izango dituzte tarteko puntu guztiek


Dimentsio bat baino gehiagoko domeinuetan, funtzioak zero balioa hartzen duen deribatu partzial bat izango du mutur lokal batean. Kasu honetan, puntu kritikoen izaera ezagutzeko, bigarren deribatuaren proba egin daiteke matrize hessiarraren balio propioak kontsideratuz. Balio propiio guztiak positiboak badira, puntu hau minimo lokala da; negatiboak badira, maximo lokala eta batzuk positiboak eta besteak negatiboak badira, orduan puntua zeladura puntua izango da. Hiru kasu hauetako bat betetzen ez bada, hau da, balio propioetako bat zero bada, orduan proba ez da erabakigarria izango.

Taylorren hurbilketak

aldatu

Aurretik ikusi bezala, posible da funtzio baten hurbilketa bat egitea   puntu baten inguruan, puntu horretan deribagarria bada. Bestalde, deribagarria izateaz gain ,  klasekoa bada, orduan maila altuagoko polinomio baten bidez hurbil daiteke funtzioa. Hurbilketa honek Taylorren garapen izena jasotzen du, eta honela definitzen da:

 

non   ondokoa den:   funtzioa   puntuan hobekien hurbiltzen duen n mailako polinomioa. Konturatu,   polinomioa   puntuan ebaluatzen badugu, lehenengoa izan ezik, gainerako termino guztiak ezeztatzen direla; ondorioz   puntuan   da. Bestalde, aurretik ikusi dugun zuzen ukitzailea Taylorren garapenaren kasu partikular bat da:  , kasua hain zuzen ere.

  puntua dugunean, garapen honek McLaurinen garapen izena hartzen du. Praktikan hau da gehien erabiltzen den kasua, eta hurrengo hauek dira McLaurinen garapenen zenbait adibide:

 

 

 

Kontuan izan aurreko adierazpenek   ikurra dutela, hau da, hurbilketak dira; ez dira berdintza zehatzak. Hala ere, funtzioa infinitu aldiz jarraituki deribagarria bada(  klasekoa) eta infinitu termino gehitzen baditugu, orduan berdintza izango dugu eta Taylorren serie deituko diogu. Beraien Taylorren seriearen berdinak diren funtzioei funztio analitiko deitzen zaie.

Funtzio inplizituaren teorema

aldatu

Funtzio inplizituaren teoremak aldagai anitzeko ekuazioak eta funztioak erlazionatzen ditu, ekuazioko aldagai bat gainerakoen funtzio gisa idatziz. Funtzio bat era inplizituan idatzita dagoela esango dugu   moduan idatzita baldin badago; eta mota honetako funtzioak dira, baldintza batzuen mendean, ekuazio batera alda daitezkeen funtzioak.


Hau erabilgarria da funtzio baten grafo gisa adierazi ezin diren forma geometrikoak marrazteko, adibidez, zirkunferentzia marrazteko.   erradioko zirkunferentzia baten ekuazioa   da, eta hemendik y x-ren mende idatz dezakegu   funtzioak erabiliz. Aldaketa hau egiteko beharrezkoa da   funtzioa jarraituki deribagarria izatea, hau da, bere deribatuak   eta  -rekiko jarraituak izatea.