Lankide:Naroaburreso/Balio absolutu

Edozein  z zenbaki konplexuren eta balio absolutu bera duen bere konjugatu konplexuaren ${\bar {z}}=x-iy$, arteko produktua, $\left(x^{2}+y^{2}\right)$ zenbaki erreal ez-negatiboa da beti, z zenbaki konplexu baten balio absolutua $z\cdot {\overline {z}}$produktuaren erro karratua da, horregatik z karratu absolutua edo karratu modulua deritzo:

Terminologia eta notazioa

1806an, Jean-Robert Argand-ek modulu terminoa sartu zuen, frantsesez neurri-unitatea esan nahi duena, bereziki balio absolutu konplexurako, eta 1866an Ingelesean barneratu zuten Latinezko modulu baliokide gisa. Balio absolutu terminoa, gutxienez, 1806tik erabili da frantsesez eta 1857tik ingelesez. Alde bakoitzeko barra bertikal |x| notazioa Karl Weierstrass-ek sartu zuen 1841-ean. Balio absoluturako beste izen batzuk zenbakizko balioa eta magnitudea izan daitezke . Programazio-hizkuntzetan eta software konputazionaleko paketeetan, x-ren balio absolutua abs(x) edo antzeko adierazpen baten bidez adierazten da.

Barra bertikaleko idazkera beste zenbait testuinguru matematikotan ere agertzen da: adibidez, multzo bati aplikatzean, bere kardinala adierazten du; matrize bati aplikatzen zaionean, bere determinatzailea adierazten du . Barra bertikalek balio absolutua adierazten dute balio absolutua definituta dagoen objektu aljebraikoetarako soilik, bereziki zatiketa normatu algebraikoaren elementu baterako, adibidez, zenbaki erreal baterako, zenbaki konplexu baterako edo kuaternioi baterako. Barra bertikalen erabilera $\mathbb {R} ^{n}$-ko bektore baten norma euklidear edo goi normarako, oso erlazionatuta dagoen baina desberdina den notazioa da, nahiz eta azpiindizedun barra bertikal bikoitzak ( $\|\cdot \|_{2}$ eta $\|\cdot \|_{\infty }$, hurrenez hurren) notazio arruntagoak eta ez hain anbiguoak diren.

non x eta y zenbaki errealak diren,  z-ren balio absolutua edo modulua | z | ikurraren bidez adierazten da eta honela definitzen da

Zenbaki konplexuak ez daudenez ordenatuta, goian emandako zenbaki errealentzako balio absolutuaren definizioa ezin zaie zuzenean aplikatu zenbaki konplexuei. Hala ere, zenbaki erreal baten balio absolutuaren interpretazio geometrikoa 0tik bere distantziara orokor daiteke. Zenbaki konplexu baten balio absolutua plano konplexuan dagokion puntutik jatorriraino dagoen distantzia euklidearrak definitzen du. Hau, Pitagorasen teorema erabiliz kalkula daiteke: edozein zenbaki konplexutarako

 $z$ zenbaki konplexu baten balio absolutua $z$-tik jatorrira dagoen  $r$ distantzia da. Irudian, $z$ eta bere konjugatu konplexua ${\bar {z}}$ balio absolutu bera dutela ere ikus daiteke.

$z=x+iy,$

$|z|={\sqrt {[\operatorname {Re} (z)]^{2}+[\operatorname {Im} (z)]^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},$

non Re (z) = x eta Im (z) = y z -ren zati erreala eta irudikaria diren, hurrenez hurren. y zati irudikaria zero denean, hau bat dator  x zenbaki errealaren balio absolutuaren definizioarekin.

 z zenbaki konplexua bere forma polarrean honela adierazten da

$z=re^{i\theta },$

non ${\textstyle r={\sqrt {[\operatorname {Re} (z)]^{2}+[\operatorname {Im} (z)]^{2}}}\geq 0}$ (eta θ ∈ arg (z) z-ren argumentua (edo fasea)) , bere balio absolutua honakoa da

$|z|=r.$

$|z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}.$

Honek zenbaki errealentzako definizio alternatiboa orokortzen du: {\textstyle |x|={\sqrt {x\cdot x}}}

${\textstyle |x|={\sqrt {x\cdot x}}}$.

Zenbaki konplexuentzako balio absolutuak, goian aipatutako zenbaki errealen balio absolutuarentzako emandako oinarrizko lau propietateak partekatzen ditu.

Talde-teoriaren hikuntzan, biderkatze propietatea hurrengo moduan berridatz daiteke: balio absolutua zenbaki konplexuen biderkatze-taldetik zenbaki erreal positiboen biderkatze-taldera doan homomorfismo-talde bat da.

Subaditibitatearen propietatea ("desberdintza triangeluar konplexua")  n zenbaki konplexu dituen (chorongo) edozein bilduma finitura honela hedatzen da:

$\left|\sum _{k=1}^{n}z_{k}\right|\leq \sum _{k=1}^{n}\left|z_{k}\right|.$

(Txantiloi:EquationRef)

Desberdintasun hau familia infinituetan ere aplikatzen da, baldin eta ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }z_{k}}$ serie infinitua erabat konbergentea bada . Lebesgueren integrazioa batuketaren analogia jarraitutzat hartzen bada, $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ funtzio neurgarriak E azpimultzo neurgarri batean integratuta daudenean, desberdintasun hau balio konplexuaren bidez analogikoki betetzen da. Ideia honela adieraz daiteke:

$\left|\int _{E}f\,dx\right|\leq \int _{E}\left|f\right|dx.$

(Txantiloi:EquationRef)

(Honek Riemann-en funtzio integragarriak $[a,b]$ tarte mugatu baten barnean sartzen ditu, kasu berezi gisa. )

Desberdintza triangeluar konplexuaren froga

Desberdintza triangeluarrak, ( ⁎ ) -k emanda, erraz egiaztatutako zenbaki konplexuen hiru propietate aplikatuta froga daiteke. Hots, $z\in \mathbb {C}$zenbaki konplexu bakoitzerako,

1. Existitzen da $c\in \mathbb {C}$ zeinetarako $|c|=1$ eta $|z|=c\cdot z$ ;
2. $\operatorname {Re} (z)\leq |z|$ .

Gainera, $(w_{k})_{k=1}^{n}$, zenbaki konplexuen edozein familiarentzat ${\textstyle \sum _{k}w_{k}=\sum _{k}\operatorname {Re} (w_{k})+i\sum _{k}\operatorname {Im} (w_{k})}$. betetzen da. Zehazki,

2. ${\textstyle \sum _{k}w_{k}\in \mathbb {R} }$ bada, orduan ${\textstyle \sum _{k}w_{k}=\sum _{k}\operatorname {Re} (w_{k})}$ .

( ⁎ )-ren froga : aukeratu $c\in \mathbb {C}$ zeinetarako $|c|=1$ eta ${\textstyle \left|\sum _{k}z_{k}\right|=c\left(\sum _{k}z_{k}\right)}$ (non k=1,...n ) betetzen den. Ondorengo kalkuluak bilatzen ari garen desberdintza ematen du:

$\left|\sum _{k}z_{k}\right|\;{\overset {(1)}{=}}\;c\left(\sum _{k}z_{k}\right)=\sum _{k}cz_{k}\;{\overset {(3)}{=}}\;\sum _{k}\operatorname {Re} (cz_{k})\;{\overset {(2)}{\leq }}\;\sum _{k}|cz_{k}|=\sum _{k}\left|c\right|\left|z_{k}\right|=\sum _{k}\left|z_{k}\right|.$

Froga honengatik argi dago (⁎) berdintasuna betetzen dela, baldin eta $cz_{k}$ zenbaki erreal ez-negatiboak badira, eta, aldi berean, zeroren ezberdinak diren $z_{k}$ guztiek argumentu bera badute. Hau da, $z_{k}=a_{k}\zeta$ da, $\zeta$ konstante konplexu baterko eta $a_{k}\geq 0$ konstante erreal baterako, non $1\leq k\leq n$.den .

$f$ neurgarria izateak, $|f|$ neurgarria dela inplikatzen duenez , ( ⁎⁎ ) desberdintzaren froga, teknika bera erabiliz burutzen da, ${\textstyle \sum _{k}(\cdot )}$ adierazpena ${\textstyle \int _{E}(\cdot )\,dx}$ -rekin eta $z_{k}$ adierapena $f(x)$. -rekin ordezkatuz.

Balio absolutuak lotura estua du distantziaren ideiarekin. Lehen esan bezala, zenbaki erreal edo konplexu baten balio absolutua, zenbaki horrek jatorrira duen distantzia da, zenbaki errealen zuzenean zehar, zenbaki errealetarako, edo plano konplexuan, zenbaki konplexuetarako. Eskuarki, bi zenbaki errealen edo konplexuen arteko diferentziaren balio absolutua, bi zenbaki errealen edo konplexuen arteko distantzia da.

Bi punturen arteko distantzia euklidear estandarra

$a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$

eta

$b=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})$

n -espazio euklidearrean honela definitzen da:

${\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.$

Hau orokortze gisa ikus daiteke, izan ere $a_{1}$ eta $b_{1}$ errealentzat , hau da, 1-espazioan, balio absolutuaren definizio alternatiboaren arabera,

$|a_{1}-b_{1}|={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}}}={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{1}(a_{i}-b_{i})^{2}}},$

eta $a=a_{1}+ia_{2}$ eta $b=b_{1}+ib_{2}$ zenbaki konplexuentzat , hau da, 2 espazioan,

Aurrekoak erakusten du "balio absolutu"-distantzia, bat datorrela distantzia euklidear estandarrarekin, zenbaki errealentzat eta konplexuentzat. Zeintzuk oinordetzan hartzen dituzten, dimentsio bakarreko eta bi dimentsioko espazio euklidear gisa hartzearen ondorioz, hurrenez hurren.

Bi zenbaki erreal edo konplexuren diferentziaren balio absolutuaren propietateek: ez-negatibotasunak, bereiztezinen identitateak, simetriak eta goian adierazitako desberdintza triangeluarrak, distantzia-funtzioaren nozio orokorragoa bultzatzen dutela ikus daiteke:

X × X multzoko d funtzio erreal bati X-ko metrika (edo distantzia funtzioa ) deitzen zaio , lau axioma hauek betetzen baditu: [[Kategoria:Zenbaki errealak]] [[Kategoria:Funtzio bereziak]]