Lankide:AneITU/Proba orria

Indukzio Matematikoaren Printzipioa

Matematikan, indukzio matematikoaren printzipioa, $n$-ren menpean dauden proposizioak egia diren ala ez frogatzea ahalbidetzen duen arrazonamendua da. Kontuan harturik, $n$ zenbaki arrunt infinituko multzoaren barruan dagoela.

Arrazonamendua hurrengoa izango litzateke:

$P$ propietatea betetzen duen $n$ zenbaki arrunt bat hartuz, frogatu behar da edozein zenbaki $n$, $P$ propietatea izanik, inplikatzen duela $n+1$ zenbakiak ere propietatea beteko duela. Beraz $n$ baino handiagoak diren zenbaki guztiak $P$ propietatea beteko dute.

Indukzioaren Bidezko Froga

Izan bedi $n$ zenbaki arrunten multzoa definituriko propietatea: $P(n)$

Izendatutako propietatea $n$ zenbaki arrunt guztietarako beteko da, hurrengo bi baldintzak betetzen badira:

$\qquad$(i) Oinarrizko kasua: $n=1$ denean, $P(n)$ egia izango da.

$\qquad$(ii) Edozein $n=k$ izanik, $P(k)$ egiazkoa bada (hipotesia) , $P(k+1)$ ere egia izango da (tesia).

Beraz, honekin froga daiteke $P(n)$ egia dela $n$ arrunt guztietarako

Adibidea

Fogatu nahi da $P(n)$ egia dela, $n$ zenbaki arrunt guztientzako.

$P(n)=1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}\,.$

$P(n)$ -k adierazten du, $n$ baino txikiagoak edo berdinak diren zenbaki arrunt guztien batura.

(i) OINARRIZKO KASUA: Frogatu behar da $n=1$ betetzen dela. Horretarako:

$P(1)={\displaystyle 1={\frac {1\cdot (1+1)}{2}}\,.}$

Eskuineko aldea ebatziz,

${\displaystyle {\frac {1\cdot (1+1)}{2}}\,}={\frac {1\cdot 2}{2}}={\frac {2}{2}}=1$

Beraz,

$P(1)=1$ frogatu nahi zen bezala.

(ii) $n=k$ dela kontuan hartuz, frogatu nahi da $P(k)$ egia bada $P(k+1)$ egia izango dela zenbaki arrunt guztietarako.

Horretarako, demagun $P(k)$ egia dela. Beraz, frogatu behar da $P(k+1)$ egia izango dela.

$P(k)=1+2+\cdots +k={\frac {k(k+1)}{2}}\,\Rightarrow P(k)=1+2+\cdots +k+(k+1)={\frac {(k+1)((k+1)+1)}{2}}\,$

Indukzio hipotesia ($P(k)$ egia da) erabiliz, ezkerreko terminoa berridatzi daiteke:

${\frac {k(k+1)}{2}}+(k+1)\,.$

Aurrekoa garatuz,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {k(k+1)}{2}}+(k+1)&={\frac {k(k+1)+2(k+1)}{2}}\\&={\frac {k^{2}+k+2k+2}{2}}\\&={\frac {(k+1)(k+2)}{2}}\\&={\frac {(k+1)((k+1)+1)}{2}}\end{aligned}}}$

Horrela frogatuta gelditzen da $P(k+1)$ egia dela. Orduan, esan daiteke $P(n)$ bete egiten dela $n$ zenbaki arrunt guztietarako.