Ukapena

Logikan eta matematikan, ukapena edo ezeztapena enuntziatuen arteko operaketa da, $P$ enuntziatu bat "ez $P$ " enuntziatu batera ( $\lnot P$ , ${\mathord {\sim }}P$ edo ${\mathord {\sim }}P$ ^[1] irakurtzen dena) eramaten duena. Intuitiboki, enuntziatu baten ukapena egia da baldin eta proposizio hori gezurra bada eta alderantziz^[2].

Definizioa

Baldin eta $P$ enuntziatu bat bada, $P$ -ren ukapena edo ezeztapena, beste enuntziatu bat da $\lnot P$ adierazten dena eta "P gezurra da" diona.

Ukapenaren egia taula honako hau da:

$P$	$\lnot P$
Egia	Gezurra
Gezurra	Egia

Propietateak

Ukapen bikoitza

Enuntziatu baten ukapen bikoitza, hau da, enuntziatuaren ukapenaren ukapena enuntziatu beraren baliokidea da.

$\lnot \lnot P\equiv P$

Banakortasun propietatea

De Morganen legeak disjuntzio eta konjuntzio baten gainean ukapena banatzea ahalbidetzen du:

$\neg (P\lor Q)\equiv (\neg P\land \neg Q)$ eta

$\neg (P\land Q)\equiv (\neg P\lor \neg Q)$

Zenbakitzaileen ukapena

Lehen mailako logikan bi zenbakitzaile daude, zenbakitzaile unibertsala $\forall$ ("edozein" esan nahi duena) eta zenbakitzaile existentziala $\exists$ ("existitzen da" esan nahi duena). Zenbakitzaile unibertsalaren ukapena zenbakitzaile existentzialaren baliokidea da eta alderantziz. Hau da,

$\neg \forall xP(x)\equiv \exists x\neg P(x)$ eta

$\neg \exists xP(x)\equiv \forall x\neg P(x)$

Adibideak


$P$	$\lnot P$
$\forall x\in {\displaystyle \mathbb {R} },\exists n$ non $x\leq n$	$\exists x\in {\displaystyle \mathbb {R} },\forall n$ non $x>n$
$\forall x\geq 0,\exists y\in {\displaystyle \mathbb {R} },x=y^{2}$	$\exists x\geq 0,\forall y\in {\displaystyle \mathbb {R} },x\neq y^{2}$