Hölderren desberdintza

Analisi matematikoan la Hölderren desberdintza, Otto Hölderek formulatua, funtsezko desberdintza bat da integralen artean eta ezinbesteko lanabesa Lp espazioak ikasteko.

Bira (S, Σ, μ) espazio metriko bat eta 1 ≤ p, q ≤ ∞ non 1/p + 1/q = 1 betetzen duen. Orduan, edozein balio erreal edo konplexuko f eta g  S-ko funtzio neurgarrirako , honako hau dugu:

p eta q zenbakiei bata bestearen Hölderren konjokatuak deritze, eta askotan q = p* = p' idazten. p = q = 2 kasu berezian, Cauchy-Schwarzen desberdintza ezaguna da.

Hölderren desberdintza betetzen da ||fg ||1 infinitua izanda ere, kasu horretan desberdintzaren eskuineko aldea infinitua izanik. Bereziki, f Lp(μ)-n eta g Lq(μ)-n badaude, orduan fg L1(μ)-n dago.

1 < p, q < ∞, f ∈ Lp(μ) eta g ∈ Lq(μ) badira, Hölderren desberdintza berdintza bihurtuko da baldin eta soilik baldin |f |p eta |g |q linealki mendekoak badira L1(μ)-n. Horrek esan nahi du bi zenbaki erreal existitzen direla αβ ≥ 0, haietako baten bat desberdin 0 zanik, non α |f |p = β |g |q μ-ia edonon baita.

Hölderren desberdintza Minkowskiren desberdintza frogatzeko erabiltzen da, desberdintza triangeluarra zabaltzea dena Lp(μ) espazioan, eta baita ere ezartzeko Lq(μ)  Lp(μ)-ren espazio duala dela, 1 ≤ p < ∞ denean.

Hölderren desberdintza lehenengoz Rogersek aurkitu zuen 1888an, eta Hölderrek bere aldetik 1889an.

BibliografiaAldatu

Kanpo estekakAldatu