19:45, 15 urtarrila 2021ko berrikusketa aldatu Jon Peli Oleaga (eztabaida \| ekarpenak) 837 edits No edit summary ← Aurreko ezberdintasuna		Hauxe da oraingo bertsioa, 14:00, 23 ekaina 2021 data duena aldatu desegin TheklanBot (eztabaida \| ekarpenak) Bot-ak, Administratzaileak 2.164.308 edits t Robota: Aldaketa kosmetikoak
1. lerroa: [[Fitxategi:Ley de los senos.svg\|thumb\|'''Sinuaren teorema''' trigonometria lauan.]] [[Trigonometria]]n, '''sinuaren teorema''' [[hiruki]], [[trigono]] edo [[triangelu]] bateko [[angelu (geometria)\|angeluen]] eta haien aurkako aldeen ezaugarri batzuen arteko arrazoia konstantea dela ezartzen duen [[teorema]] da. Bereziki, triangelu baten ebazpenean erabiltzen da, bi alde eta horietako baten aurkako angelua ezagunak direnean edota bi angelu eta aurkako alde bat ezagutzen direnean. == Sinuen legea trigonometria lauan == [[Fitxategi:Law_of_sines_in_plane_trigonometry-20201220.svg\|thumb\|300px\|'''Sinuaren teorema''' trigonometria lauan.]] 11. lerroa: Trigonometria laua triangelu lauen ebazpenaz aritzen den trigonometriaren atala da; triangelu lauak lerro zuzen batean lerrokatuta ez dauden hiru puntutan binaka elkar ebakitzen duten hiru zuzenen puntuen arteko segmentuez, hiru puntuak kokatuta dauden planoan, osatzen diren izaki geometrikoak direla, Haietan zuzenak elkar ebakitzen duten puntuak triangeluaren erpinak dira eta orokorrean letra larriz identifikatzen dira (<math>A</math>, <math>B</math> eta <math>C</math> normalean), erpinen arteko zuzenen segmentuak triangeluaren aldeak eta letra xehez identifikatu ohi dira (<math>a</math>, <math>b</math> eta <math>c</math> normalean), eta alde horien arteko angeluak triangeluaren angeluak eta letra greziar xehez identifikatzen dira (<math>\alpha</math>, <math>\beta</math> eta <math>\gamma</math> normalean). Trigonometria lauan ''sinuen legea'' deitzen zaio 19. lerroa: berdintzen bidez adierazten diren hirukien propietate-multzoari. Berdintza horietan <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> eta <math>\gamma</math> hirukiaren angeluak, <math>a</math>, <math>b</math> eta <math>c</math> haien aurrez aurreko hirukiaren aldeak, <math>S</math> hirukiaren azalera eta <math>r</math> hirukiaren zirkunferentzia zirkunskribatuaren erradioa direla. Propietate horiek badirela frogatzeko bide ezberdin batzuk daude eta hemen, oraingoz, euretariko bat agertzen da. 31. lerroa: Non <math>h_\text{A}</math>, <math>h_\text {B}</math> eta <math>h_\text{C}</math> <math>a</math>, <math>b</math> eta <math>c</math> aldeei dagozkien garaierak diren Baina, sinuaren definizioa kontuan hartuta, alboko irudian ikus daiteke ::<math>h_\text{A} = b {\sin\gamma} = c{sin \beta}</math> 49. lerroa: ::<math>\frac{2}{abc}S=\frac{{\sin \gamma}}{c}=\frac{{\sin \beta}}{b}=\frac{{\sin \alpha}}{a}</math> bestalde lehenengo irudian ikus daiteke <math> \widehat{BCD}</math> angelua <math>90^\circ</math>koa dela hirukiaren zirkunferentzia zirkunskribatuan inskribatua izanda <math>180^\circ</math>ko <math>\overset{\frown}{BAD} </math> arkua besarkatzen duelako. Gainera <math>\widehat{BAC}</math> eta <math>\widehat{BDC}</math> angeluak berdinak dira, hirukiaren zirkunferentzia zirkunskribatuan inskribatuta egon eta bertan arku bera ( <math>\overset{\frown}{CEB} </math> ) besarkatzen dutelako. Aurrekoa kontuan hartuta      <math>\sin \alpha = \frac{a}{2r}</math>      da eta, beraz,      <math>\frac{\sin \alpha}{a}=\frac{1}{2r}</math>. Eta honenbestez, hiruki lauetan aurrean jarritako berdintzak betetzen direla frogatuta geratu da == Sinuen legea trigonometria esferikoan == Trigonometria esferikoa triangelu esferikoen ebazpenaz diharduen trigonometriaren atala da eta garrantzi handikoa da astronomia eta nabigazioaren esparruetan. 63. lerroa: Triangelu esferikoak zirkulu nagusi berean ez dauden hiru puntutan binaka elkar ebakitzen duten hiru zirkulu nagusien puntuen arteko arkuez, hiru puntuak kokatuta dauden gainazal esferikoan, osatzen diren izaki geometrikoak izanik, Haietan zirkulu nagusiak elkar ebakitzen duten puntuak triangeluaren erpinak dira eta orokorrean letra larriz identifikatzen dira (<math>A</math>, <math>B</math> eta <math>C</math> normalean), erpinen arteko zirkulu nagusien arkuak triangeluaren aldeak eta letra xehez identifikatu ohi dira (<math>a</math>, <math>b</math> eta <math>c</math> normalean), eta alde horiek kokatuta dauden planoek osatzen duten [[diedro]]en angeluak triangeluaren angeluak eta letra greziar xehez identifikatzen dira (<math>\alpha</math>, <math>\beta</math> eta <math>\gamma</math> normalean). Aldeak neurtzeko ez dira erabiltzen arkuen luzerak, dagozkien zirkulu nagusietan dagozkien angeluak baizik. 83. lerroa: :: <math>OA = OB = OC = 1</math> Aukera <math>D</math> puntua eta <math>E</math> puntua <math>\angle ADO</math> eta <math>\angle AEO</math> angeluak <math>90^\circ</math>koak izan daitezen Aukera <math>A'</math> puntua <math>\angle A'DO</math> eta <math>\angle A'EO</math> angeluak <math>90^\circ</math>koak izan daitezen. Orduan <math>\angle ADA' = \angle B</math> eta <math>\angle AEA' = \angle C</math> dira eta <math>A'</math> <math>A</math>ren proiekzioa <math>OBC</math> planoan. <math>BO</math> lerroa <math>AA'D</math> planoarekiko perpendikularra delako haren bi lerrorekiko ( <math>AD</math> eta <math>A'D</math> lerroak ) perpendikularra izateagatik eta horren ondorioz <math>AA'D</math> planoa <math>BO</math> lerroa barnean duten plano guztiekiko perpendikularra da eta haien artean <math>BCO</math> planoarekiko; gauza bera esan ahal da <math>CO</math> lerroa <math>AA'E</math> planoa eta <math>BCO</math> planoei buruz eta <math>AA'D</math> eta <math>AA'E</math> planoak <math>BCO</math> planoarekiko perpendikularrak badira plano bi horiena den <math>AA'</math> lerroa ere <math>BCO</math> planoarekiko perpendikularra dalako. Beraz      <math>\angle AA'D = \angle AA'E = 90^\circ</math>      dira eta hori eta      <math>OA = 1</math>      dela kontuan hartuta, oinarrizko trigonometriaz, badakigu 98. lerroa: :: <math>AE = \sin b</math> ::<math>AA' = AD \sin B = AE \sin C </math> berdintzak betetzen direla, eta ekuazio horiek elkartuz: 108. lerroa: Triangeluaren beste bi erpinekin eta dagozkien aurrez aurreko planoekin antzeko arrazoibidea erabiliz, triangelu esferikoen sinuen legea :: <math>\frac{\sin A}{\sin a} =\frac{\sin B}{\sin b} =\frac{\sin C}{\sin c} </math> frogatuta dago. == Sinuen legea geometria hiperbolikoan == [[Geometria hiperboliko]]an kurbatura <math>-1</math> denean , ''sinuen legea'' hurrengo berdintzez zehazten da: ::<math>\frac{\sin A}{\sinh a} = \frac{\sin B}{\sinh b} = \frac{\sin C}{\sinh c} \,.</math> 122. lerroa: ::<math>\sin C = \frac{\sinh c}{\sinh b} </math> [[Geometria euklidear]]rean triangelu zuzen bateko angelu baten sinua aurreko aldea hipotenusaz zatituz lortzen dela esaten duen formularen analogoa den ''geometria hiperboliko''aren formula dena. == Sinuen legeen formulazio bateratua == <math>K</math> parametro erreal baten funtzioa ere den hurrengo sinu funtzio orokortua definituz<ref name=mathworld>{{erreferentzia\|url=http://mathworld.wolfram.com/GeneralizedLawofSines.html\|argitaletxea=mathworld\|izenburua=Generalized law of sines}}</ref>: 142. lerroa: <math> K=-1</math>    denean    <math>\sin_K x = \prod_{n=0}^\infty \frac{ x^{2n+1}}{(2n+1)!} =\sinh x</math> eta <math>K</math> kurbatura konstanteko gainazaletan sinuen legea ::<math>\frac{\sin A}{\sin_K a} = \frac{\sin B}{\sin_K b} = \frac{\sin C}{\sin_K c} \,.</math> adierazpen orokorraz irudikatu ahal da; eta <math>K</math> <math>0</math>, <math>1</math> eta <math>-1</math>-ekin ordezkatzen denean, hurrenez hurren gorago aurkeztutako trigonometria euklidear, eliptiko (esferiko) eta hiperbolikoen sinuen legeen adierazpenak lortzen dira. == 2 baino dimentsio gehiagoko espaziotan == <math>n</math>-dimentsioko [[Euklidear espazio]]ko <math>n</math>-dimentsioko [[simplex]] (i.e., [[triangelu]] (<math>n=</math>2), [[tetraedro]] (<math>n=</math>3), [[pentakoro]] (<math>n=</math>4), e.a.) baterako , [[erpin (geometria)\|erpin]] batean elkartzen diren ''[[aurpegitxo (geometria)\|facet/aurpegitxo]]''ekiko [[bektore normal]]en [[sinu polar]]raren [[balio absolutu]]a (<math>\|\operatorname{psin}\|</math>), erpinaren aurrez aurrekoa den aurpegitxoaren hiperazaleraz zatituz gero emaitza berdina da, aukeratutako erpina edozein izanda ere. <math>n</math>-dimentsioko simplexen hiperbolumena irudikatzeko <math>V</math> idatziz eta (<math>n</math>-1)-dimentsioko aurpegitxoen hiperazaleren biderkadurarako <math>P</math>, erpin guztientzako [[arrazoi (matematika)\|arrazoiaren]] balioa hurrengoa da: : <math>\frac{(nV)^{n-1}}{(n-1)! P}.</math> 169. lerroa: {{Erreferentzia zerrenda\|30em}} == Ikus, gainera == * [[Trigonometria]] * [[Kosinuaren teorema]]

Sinuaren teorema: berrikuspenen arteko aldeak