|
Matematikan, '''deribatu kobariantea''' [[Barietate (Topologia)|barietate topologiko]] bateko [[Bektorebektore tangentzial|bektore tangentzialetan]]etan zehar [[deribatu]] bat zehazteko modu bat da. Era berean, deribatu kobariantea barietate batean [[Konexio|konexioekinkonexio]]ekin lan egiteko bidea da, [[Eragileeragile diferentzial|eragile diferentzialak]]ak erabiliz. Dimentsio handiagoko [[espazio euklidear]] bateko barietate isometriko baten kasuan, deribatu kobariantea barietatearen espazio tangentzialeko norabide-deribatu euklidearraren proiekzio ortogonala da. Kasu horretan, deribatu euklidearrak bi atal ditu: osagai estrintseko normala eta deribatu kobariante intrintsekoa.
Deribatu kobariante izena [[Fisika|fisikanfisika]]n [[Koordenatukoordenatu-aldaketa|koordenatu-aldaketak]]k duen garrantzitik dator; deribatu kobariantea kobarianteki transformatzen da koordenatu-transformazio orokor batean, hau da, linealki transformatzen da [[Matrizematrize jacobiar|matrize jacobiarraren]]raren bidez.<ref>{{Erreferentzia|izena=Albert|abizena=Einstein|izenburua=The meaning of relativity|argitaletxea=Princeton : Princeton university press|data=1923|url=http://archive.org/details/meaningofrelativ00eins_0|sartze-data=2021-04-26}}</ref>
== Motibazioa ==
'''Deribatu kobariantea''' [[Kalkulukalkulu bektorial|kalkulu bektorialeko]]eko norabide-deribatuaren orokorpen bat da. Norabide-deribatuarekin bezala, deribatu kobariantea erregela bat da, <math>\nabla_{\mathbf u}{\mathbf v}</math>, zeinak hurrengo "input"-ak hartzen dituen: (1) <math>P</math> puntuan definitutako '''u''' bektore bat, eta (2) <math>P</math>-ren inguruan definitutako '''v''' [[eremu bektorial]] bat. "Output"-a, berriz, <math>P</math> puntuko <math>\nabla_{\mathbf u}{\mathbf v}(P)</math> bektorea da. Norabide-deribatu ohikoarekiko desberdintasun nagusia <math>\nabla_{\mathbf u}{\mathbf v}</math>-k [[koordenatu sistema]] batean adierazteko moduarekiko independentea izan behar duela da.
Bektore bat [[Oinarri (Aljebra)|oinarri]] batekiko zenbaki-zerrenda baten arabera deskribatu daiteke, baina objektu geometriko baten gisan, bektore batek bere identitatea mantentzen du, oinarriren batekiko jartzean bere osagaiak aldatu arren. Bektore bat oinarri batean idatzita egonik, eta oinarria aldatzen bada, bektorearen osagaiak [[Oinarrioinarri aldaketa|oinarri aldaketaren]]ren formularen arabera transformatuko dira eta, identitatea mantentzen duela ikusten da. Transformazio erregela horri [[Transformaziotransformazio kobariante|transformazio kobariantea]]a deritzo. Deribatu kobariantea koordenatu aldaketen bitartez, oinarri bat transformatzen den bezala transformatzen da; hots, deribatu kobariantea transformazio kobariantearen bidez aldatu behar da.
Espazio euklidear baten kasuan, eremu bektorial baten deribatua gertuko bi puntutako bi deribaturen arteko diferentzia gisa definitzen da. Horrelako sistema batean bektoreetako bat bestearen jatorrira transladatzen da, paraleloki. Koordenatu sistema kartesiar batean "paraleloki" transladatzeak bektorearen osagaiak konstante mantentzea esan nahi du. Espazio euklidearrean horren adibide sinpleena ikus daiteke, deribatu kobariante bat gertuko bi punturen arteko desplazamendu bektorearen norabideko osagaien ohiko norabide-deribatua hartuz lortzen da.
Kasu orokorrean, hala ere, koordenatu sistemaren aldaketa kontuan hartu behar da. Adibidez, deribatu kobariante bera 2-D ko plano euklidearrean [[Koordenatukoordenatu polar|koordenatu polarretan]]retan idatzita badago, orduan, koordenatu sareak bere burua nola biratzen duen deskribatzeko gai gehigarriak ditu. Beste kasu batzuetan, gai gehigarri horiek koordenatu sarea nola hedatzen, uzkurtzen, korapilatzen, ... diren adierazten dute. Kasu honetan, "paralelo mantentzeak" ez du esan nahi translazioan zehar osagaiak konstante mantenduko direnik.
Kontsideratu plano euklidear bateko kurba batean zeharreko higidura. Koordenatu polarretan, <math>\gamma</math> bere erradioarekiko adierazi daiteke eta koordenatu angeluarrak <math>\gamma(t)=(r(t),\theta(t))</math>-ren bidez. <math>t</math> aldiuneko bektore bat (kurbaren azelerazioa esaterako) '''<u><math>(\mathbf{e}_r, \mathbf{e}_{\theta})</math></u>''' gaien bidez idatzita dago, non <math>\mathbf{e}_r</math> eta <math>\mathbf{e}_{\theta}</math> koordenatu polarren bektore unitario tangenteak diren, eta, zeinak, bektore bat osagai erradial eta tangeteetan deskonposatzeko erabiltzen diren. Denbora tarte txiki baten ostean, koordenatu polarretako oinarri berria hasierakoarekiko apur bat biratuta agertzen da. Oinarriko bektoreen deribatu kobarianteek ([[Christoffel-en ikurrak|Christoffel-en ikurrek]]) aldaketa hori adierazteko balio dute.
Espazio kurbatu batean, Lurraren gainazala esaterako, [[Translazio|translazioatranslazio]]a ez dago ondo definituta eta bere analogoa, [[Garraiogarraio paralelo|garraio paraleloa]]a, bektorea translazio bidearen araberakoa da.
Esfera baten ekuatoreko <math>Q</math> puntuko <math>\textbf{e}</math> bektore bat iparralderantz zuzenduta dago. Bektorea ekuatorean zehar <math>P</math> punturaino paraleloki garraiatzen dugula suposatuz, ondoren, meridiano batean zehar <math>N</math> poloraino, eta, azkenik, beste meridiano batean zehar <math>Q</math> punturaino. Zirkuitu itxi batean zehar paraleloki garraiatutako bektorea ez da bektore berdina itzuli ostean, beste orientazio batekin itzultzen baita. Hori ez litzateke espazio euklidearrean gertatuko, esferaren gainazalaren kurbaduraren ondorioz gertatzen baita. Efektu berdina ikus daiteke bektorea bi gainazal itxi infinitesimaletan (bi norabidetan zehar eta gero itzuli) zehar eramaten badugu. Bektorearen aldaketa infinitesimala kurbaduraren neurketa bat da.
=== Oharrak ===
* Deribatu kobariantearen definizioak espazioan ez du [[Metrika (matematika)|metrika]] erabiltzen. Hala ere, metrika bakoitzerako tortsio askeko deribatu kobariante bakarra dago, [[Levi-Civita konexio|Levi-Civita konexioa]]a deritzona, zeinetan metrikaren deribatu kobariantea nulua den.
* Deribatuaren propietateen arabera <math>\nabla_\mathbf{v} \mathbf{u}</math> <math>p</math> puntuaren ausazko inguru infinitesimal baten menpekoa da. Era berean, kurba batean zeharreko funtzio eskalar baten <math>p</math> puntuko deribatu kobariantea <math>p</math>-ren ausazko inguru infinitesimalaren menpekoa da.
* Deribatu kobarianteko <math>p</math> puntu baten inguruneko informazioa bektore baten garraio paraleloa definitzeko erabili daiteke. [[Kurbadura]], tortsioa eta [[Geodesikoak erlatibitate orokorrean|geodesikoak]] deribatu kobariantearen bidez defini daitezke baita ere, edo [[Konexiokonexio lineal|konexio linealaren]]aren bestelako bariazio baten bidez.
== Definizio formala ==
<math>\left(\nabla_\mathbf{v} f\right)_p = \left(f \circ \phi\right)'\left(0\right) = \lim_{t \to 0} \frac{ f\left[\phi\left(t\right)\right] - f\left[p\right] }{t}.</math>
<math>\mathbf{v} : M \rightarrow T_pM</math> <math>M</math>-ko eremu bektoriala denean, <math>\nabla_\mathbf{v}f : M \rightarrow \mathbb{R} </math> deribatu kobariantea <math>f</math>-ren eremu komuneko edozein <math>p</math> puntu eta '''<math>\textbf{v}</math>''', eskalarrarekin elkartzen duen funtzioa da, <math>\left(\nabla_\mathbf{v}f\right)_p</math> .
=== Eremu bektorialak ===
<math>M</math> barietateko <math>p</math> puntu bat izanik, <math>\mathbf{u} : M \rightarrow T_pM</math> eremu bektorial bat <math>p</math> ''eta'' <math>\mathbf{v} \in T_pM</math> bektore tangente baten inguruan definitua, <math>\textbf{v}</math>-n zeharreko <math>\textbf{u}</math>-ren deribatu kobariantea <math>p</math> puntuan <math>p</math>-ko bektore tangentea da, <math>(\nabla_\mathbf{v} \mathbf{u})_p</math>. Hurrengo propietateak betetzen dituzte (edozein <math>p</math>-ko <math>\textbf{v}</math>, <math>\textbf{x}</math> eta '''<math>\textbf{y}</math>''' bektore tangenteetarako, <math>p</math>-ren inguruan definitutako <math>\textbf{u}</math> eta <math>\textbf{w}</math> eremu bektorialetarako, <math>p</math>-ko <math>g</math> eta <math>h</math> balio eskalarretarako eta <math>p</math>-ren inguruan definitutako <math>f</math> funtzioa eskalarrerako):
# <math>\left(\nabla_\mathbf{v} \mathbf{u}\right)_p</math> lineala da <math>\mathbf{v}</math> -n, beraz:
#: <math>\left(\nabla_\mathbf{v} \left[f\mathbf{u}\right]\right)_p = f(p)\left(\nabla_\mathbf{v} \mathbf{u})_p + (\nabla_\mathbf{v}f\right)_p\mathbf{u}_p</math>
Azken propietatearen eraginez ohartu <math>\left(\nabla_\mathbf{v} \mathbf{u}\right)_p</math> '''u'''-k <math>p</math> puntuan duen balioaren menpekoa izateaz gain, <math>p</math>-ren inguru infinitesimalean <math>\textbf{u}</math>-k duen balioen menpekoa ere badela.
<math>\textbf{u}</math> eta <math>\textbf{v}</math> eremu arrunteko eremu bektoreak izanik, orduan <math>\nabla_\mathbf{v}\mathbf u</math>-k eremu bektoriala adierazten du, zeinaren eremuko edozein <math>p</math> puntuko balioa <math>\left(\nabla_\mathbf{v}\mathbf u\right)_p</math>bektore tangentea den.
=== Eremu kobektorialak ===
<math>p</math>''-''ren inguruan definitutako <math>\alpha</math> [[Kobektore|kobektorezkobektore]]z osatutako eremu bat izanik, bere deribatu kobariantea <math>(\nabla_\mathbf{v}\alpha)_p</math> tentsore kontrakzioarekin eta biderketaren erregelarekin bateragarria da, hau da, hurrengo identitatea <math>p</math>-ren inguruko <math>\textbf{u}</math> eremu bektorial guztietarako betetzen da,
<math>\left(\nabla_\mathbf{v}\alpha\right)_p \left(\mathbf{u}_p\right) = \nabla_\mathbf{v}\left[\alpha\left(\mathbf{u}\right)\right]_p - \alpha_p\left[\left(\nabla_\mathbf{v}\mathbf{u}\right)_p\right].</math>
</math> ordenako <math>T
</math> eremu tentsoriala izanik, kontsideratu <math>T
</math> ''<math>T^*M
</math>'' sorta kotangenteko <math>\alpha^1,\alpha^2,...,\alpha^q
</math> sekzio deribagarriz eta ''<math>TM
</math>'' sorta tangenteko <math>X_{1},X_{2},...,X_{p}</math> sekzioez osatutako funtzio multilineal bat dela. Horrela adierazten da, <math>T(\alpha^1,\alpha^2,...,X_{1},X_{2},...)
</math>.
== Propietateak ==
Oro har, deribatu kobarianteak ez dira trukakorrak; esaterako, <math>\lambda_{a;bc} \neq \lambda_{a;cb}\,</math>eremu bektorialaren deribatu kobarianteak. [[Riemann-en tentsore|Riemann-en tentsorea]]a <math>{R^d}_{abc} \,</math>honako modura definitzen da,
: <math> \lambda_{a;bc} - \lambda_{a;cb} = {R^d}_{abc}\lambda_d</math>
== Deribatua kurba batean zehar ==
<math>p</math> puntuko <math>T</math> eremu tentsorialaren <math>\nabla_XT</math> deribatu kobariantea soilik <math>p</math> puntuan <math>X</math> eremu bektorialaren balioaren menpekoa denez, barietate bateko <math>\gamma(t)</math> kurba deribagarri batean zeharreko deribatu kobariantea definitu daiteke:
: <math>D_tT=\nabla_{\dot\gamma(t)}T.</math>
| 