Cramerren erregela: berrikuspenen arteko aldeak

'''Cramerren erregela''' [[Aljebraaljebra lineal|aljebra linealeko]]eko [[teorema]] bat da, zeinak [[Ekuazio linealetako sistema|ekuazio-linealen sistemei]] soluzioa ematen dien [[Determinante|determinanteakdeterminante]]ak erabiliz. [[Gabriel Cramer]] (1704-1752) [[suitzar]] [[Matematikari|matematikariarimatematikari]]ari zor dio izena, berak argitaratu baitzuen erregela 1750ean ''Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques'' ([[Euskara|euskarazeuskara]]z, ''Lerro kurbatu aljebraikoen analisirako sarrera'') lanean, alabaina, [[Colin MacLaurin]] [[eskoziar]] matematikariak lehenago argitaratu zuen erregela, 1748an, ''Treatise of Geometry'' (euskaraz, ''Geometriaren Tratatua'') lanean eta ziurrena da jada 1729tik metodoaren berri izatea.

Cramerren erregelak ekuazio-sistema ebazteko adierazpen esplizitua ematen du eta hortik datorkio garrantzia teorikoa. Alabaina, hiru ekuazio baino gehiago dituzten ekuazio-linealen sistemak ebazteko ez da eraginkorra, oso neketsua delako: [[Konputazio|konputazioankonputazio]]an ez da erabiltzen ekuazio ugariko sistemetan, matrize handiak eratuko liratekeelako. Haatik, [[Matrize|matrizeakmatrize]]ak piboteatu behar ez direnez, [[Gaussiar ezabaketaren metodoa]] baino eraginkorragoa da matrize txikietan, horregatik, [[Single Instruction Multiple Data|SIMD]] operazioetan interesgarria da teorema (ikus [[Flynn-en sailkapena]]).

Izan bedi <math>Ax=b</math> ekuazio-sistema bat, zeinetan <math>A</math> sistemaren [[koefiziente-matrizea]] den, <math>x = (x_1,...,x_n)</math> sistemaren ezezagunen zutabe-bektorea den eta <math>b</math> [[Gaigai aske|gai askeen]]en zutabe-bektorea den. Orduan ekuazio-sistemaren ezezagun bakoitzaren soluzioa honakoa da:

Non <math>x_j</math> ezezagunen zutabe-bektoreko j-garren osagaia den, <math>A_j</math> j-garren zutabean gai askeak ordezkatuta dituen koefiziente-matrizea den eta <math>A</math> koefiziente-matrizea den. Hau da, <math>x_j</math> ezezagunaren balioa gai askeak j-garren zutabean ordezkatuta dituen koefiziente-matrizearen determinantearen eta koefiziente-matrizearen determinantearen arteko [[Zatidura (matematika)|zatidura]] da. Cramerren erregela erabili ahal izateko, ekuazio-sistemak bateragarri zehaztua izan behar du, hau da, koefiziente-matrizearen determinanteak ezin du zero izan (ikus [[Rouché–Frobeniusen teorema|Rouché-Frobeniusen teorema]]).

Izan bedi azpiko ekuazio-sistema lineala:

Izan bedi hiru ekuazioz eta hiru ezezagunez osatutako ondorengo ekuazio-sistema lineala: