Johnson-en solido

Geometrian, Johnsonen solidoak poliedro hertsiki ganbilak dira, bi baldintza hauek betetzen dituztenak: aurpegi guztiak poligono erregularrak dira; eta ez dira uniformeak (hau da, ez dira ez solido platonikoak, ez Arkimedesen solidoak, ez prismak, ezta antiprismak ere). Aurpegi guztiak ez dira zertan izan poligono bera, ezta berdinak diren poligonoak erpin berean elkartu ere; esaterako, alboko aurpegiak triangelu aldeberdinak eta oinarria karratua dituen piramide karratua (J₁) Johnsonen solidoetako bat da.

Johnsonen solidoak 92 dira, eta J₁, ..., J₉₂ ikurrekin adierazten dira.

1966an, 92 solidoren zerrenda bat argitaratu zuen Norman Johnson-ek, izen eta zenbaki banarekin. Johnsonek ez zuen frogatu 92 baino ez zirela, baina aieruz esan zuen besterik ez zela egongo. Eta 1969an, Viktor A. Zalgaller-ek halaxe frogatu zuen: Johnsonen zerrenda oso-osoa zen.

Johnsonen solidoetako bat, girobikupula karratu elongatua (J₃₇), erpin uniformeak dituen bakarra da: 4 aurpegi erpin bakoitzeko, eta haien kokapena beti da berbera: 3 karratu eta triangelu bat.

Izenak

Johnsonen solido gehienak beste poliedro batzuk erabiliz eraiki daitezke; adibidez, piramide, kupula eta errotondetatik abiatu, eta haiei solido platoniko bat, edo Arkimedesen solido bat, edo prisma bat, edo antiprisma bat lotuta.

Hona hemen Johnsonen solidoen izenetan agertzen diren elementu batzuk:

• Bi- aurrizkiak esan nahi du solido baten bi kopia oinarrietatik lotu direla.
• Elongatu hitzak esan nahi du prisma bat beste solido baten oinarriari lotu zaiola.
• Giroelongatu hitzak esan nahi du antiprisma bat beste solido baten oinarriari lotu zaiola.
• Gehitu hitzak esan nahi du piramide edo kupula bat beste solido baten aurpegi bati lotu zaiola.
• Gutxitu hitzak esan nahi du piramide edo kupula bat beste solido batetik kendu dela.
• Biratu hitzak esan nahi du solido baten kupula bat biratu egin dela, eta beste era batean ahokatu.

Azken hiru eragiketak —gehitzea, gutxitzea, eta biratzea— behin baino gehiagotan egin daitezke solidoa aski handia bada. Hala, bi aldiz egin badugu, bir- aurrizkia gehitzen diogu eragiketaren izenari; esate baterako, solido birbiratu bat da bi kupula biratu dituena. Tri- aurrizkiak adierazten du eragiketa hiru aldiz egin dela; esate baterako, solido trigutxitu bat da hiru piramide edo hiru kupula kendu zaizkiona.

Batzuetan, bi- eta tri- aurrizkiak ez dira aski zehatzak. Solido baten bi aurpegi paralelo ala bi aurpegi zeihar aldatu diren bereiztekotan, para- eta meta- aurrizkiak erabiltzen dira, hurrenez hurren; esaterako, solido parabigehitu bat da bi aurpegi paralelo gehitu zaizkiona; eta solido metabigehitu bat, aldiz, bi aurpegi zeihar gehitu zaizkiona.

Sailkapena

Legenda:

• J_n – Johnsonen solidoaren zenbakia
• Garapena – Irudi laua (zabaldua)
• Erp – Erpin kopurua
• Ertz – Ertz kopurua
• A – Aurpegi kopurua (guztira)
• A₃ – 3 aldeko aurpegi kopurua
• A₄ – 4 aldeko aurpegi kopurua
• A₅ – 5 aldeko aurpegi kopurua
• A₆ – 6 aldeko aurpegi kopurua
• A₈ – 8 aldeko aurpegi kopurua
• A₁₀ – 10 aldeko aurpegi kopurua

Jn	Izena	Garapena	Irudia	Erp	Ertz	A	A3	A4	A5	A6	A8	A10	Simetria-taldea
1	piramide karratua			5	8	5	4	1					C4v (*44)
2	piramide pentagonala			6	10	6	5		1				C5v (*55)
3	kupula triangeluarra			9	15	8	4	3		1			C3v (*33)
4	kupula karratua			12	20	10	4	5			1		C4v (*44)
5	kupula pentagonala			15	25	12	5	5	1			1	C5v (*55)
6	errotonda pentagonala			20	35	17	10		6			1	C5v (*55)
7	piramide triangeluar elongatua edo tetraedro elongatua			7	12	7	4	3					C3v (*33)
8	piramide karratu elongatua edo kubo gehitua			9	16	9	4	5					C4v (*44)
9	piramide pentagonal elongatua			11	20	11	5	5	1				C5v (*55)
10	piramide karratu giroelongatua			9	20	13	12	1					C4v (*44)
11	piramide pentagonal giroelongatua edo ikosaedro gutxitua			11	25	16	15		1				C5v (*55)
12	bipiramide triangeluarra			5	9	6	6						D3h (*223)
13	bipiramide pentagonala			7	15	10	10						D5h (*225)
14	bipiramide triangeluar elongatua			8	15	9	6	3					D3h (*223)
15	bipiramide karratu elongatua edo kubo birgehitua			10	20	12	8	4					D4h (*224)
16	bipiramide pentagonal elongatua			12	25	15	10	5					D5h (*225)
17	bipiramide karratu giroelongatua			10	24	16	16						D4d (2*4)
18	kupula triangeluar elongatua			15	27	14	4	9		1			C3v (*33)
19	kupula karratu elongatua edo erronbikuboktaedro gutxitua			20	36	18	4	13			1		C4v (*44)
20	kupula pentagonal elongatua			25	45	22	5	15	1			1	C5v (*55)
21	errotonda pentagonal elongatua			30	55	27	10	10	6			1	C5v (*55)
22	kupula triangeluar giroelongatua			15	33	20	16	3		1			C3v (*33)
23	kupula karratu giroelongatua			20	44	26	20	5			1		C4v (*44)
24	kupula pentagonal giroelongatua			25	55	32	25	5	1			1	C5v (*55)
25	errotonda pentagonal giroelongatua			30	65	37	30		6			1	C5v (*55)
26	girobifastigioa edo girobiprisma triangeluarra			8	14	8	4	4					D2d (2*2)
27	ortobikupula triangeluarra edo kuboktaedro biratua			12	24	14	8	6					D3h (*223)
28	ortobikupula karratua			16	32	18	8	10					D4h (*224)
29	girobikupula karratua			16	32	18	8	10					D4d (2*4)
30	ortobikupula pentagonala			20	40	22	10	10	2				D5h (*225)
31	girobikupula pentagonala			20	40	22	10	10	2				D5d (2*5)
32	ortokupularrotonda pentagonala			25	50	27	15	5	7				C5v (*55)
33	girokupularrotonda pentagonala			25	50	27	15	5	7				C5v (*55)
34	ortobirrotonda pentagonala edo ikosidodekaedro biratua			30	60	32	20		12				D5h (*225)
35	ortobikupula triangeluar elongatua			18	36	20	8	12					D3h (*223)
36	girobikupula triangeluar elongatua			18	36	20	8	12					D3d (2*3)
37	girobikupula karratu elongatua edo erronbikuboktaedro biratua			24	48	26	8	18					D4d (2*4)
38	ortobikupula pentagonal elongatua			30	60	32	10	20	2				D5h (*225)
39	girobikupula pentagonal elongatua			30	60	32	10	20	2				D5d (2*5)
40	ortokupularrotonda pentagonal elongatua			35	70	37	15	15	7				C5v (*55)
41	girokupularrotonda pentagonal elongatua			35	70	37	15	15	7				C5v (*55)
42	ortobirrotonda pentagonal elongatua			40	80	42	20	10	12				D5h (*225)
43	girobirrotonda pentagonal elongatua			40	80	42	20	10	12				D5d (2*5)
44	bikupula triangeluar giroelongatua (2 forma kiral)			18	42	26	20	6					D3 (223)
45	bikupula karratu giroelongatua (2 forma kiral)			24	56	34	24	10					D4 (224)
46	bikupula pentagonal giroelongatua (2 forma kiral)			30	70	42	30	10	2				D5 (225)
47	kupularrotonda pentagonal giroelongatua (2 forma kiral)			35	80	47	35	5	7				C5 (55)
48	birrotonda pentagonal giroelongatua (2 forma kiral)			40	90	52	40		12				D5 (225)
49	prisma triangeluar gehitua			7	13	8	6	2					C2v (*22)
50	prisma triangeluar birgehitua			8	17	11	10	1					C2v (*22)
51	prisma triangeluar trigehitua			9	21	14	14						D3h (*223)
52	prisma pentagonal gehitua			11	19	10	4	4	2				C2v (*22)
53	prisma pentagonal birgehitua			12	23	13	8	3	2				C2v (*22)
54	prisma hexagonal gehitua			13	22	11	4	5		2			C2v (*22)
55	prisma hexagonal parabirgehitua			14	26	14	8	4		2			D2h (*222)
56	prisma hexagonal metabirgehitua			14	26	14	8	4		2			C2v (*22)
57	prisma hexagonal trigehitua			15	30	17	12	3		2			D3h (*223)
58	dodekaedro gehitua			21	35	16	5		11				C5v (*55)
59	dodekaedro parabirgehitua			22	40	20	10		10				D5d (2*5)
60	dodekaedro metabirgehitua			22	40	20	10		10				C2v (*22)
61	dodekaedro trigehitua			23	45	24	15		9				C3v (*33)
62	ikosaedro metabirgutxitua			10	20	12	10		2				C2v (*22)
63	ikosaedro trigutxitua			9	15	8	5		3				C3v (*33)
64	ikosaedro trigutxitu gehitua			10	18	10	7		3				C3v (*33)
65	tetraedro moztu gehitua			15	27	14	8	3		3			C3v (*33)
66	kubo moztu gehitua			28	48	22	12	5			5		C4v (*44)
67	kubo moztu birgehitua			32	60	30	16	10			4		D4h (*224)
68	dodekaedro moztu gehitua			65	105	42	25	5	1			11	C5v (*55)
69	dodekaedro moztu parabirgehitua			70	120	52	30	10	2			10	D5d (2*5)
70	dodekaedro moztu metabirgehitua			70	120	52	30	10	2			10	C2v (*22)
71	dodekaedro moztu trigehitua			75	135	62	35	15	3			9	C3v (*33)
72	erronbikosidodekaedro biratua			60	120	62	20	30	12				C5v (*55)
73	erronbikosidodekaedro parabirbiratua			60	120	62	20	30	12				D5d (2*5)
74	erronbikosidodekaedro metabirbiratua			60	120	62	20	30	12				C2v (*22)
75	erronbikosidodekaedro tribiratua			60	120	62	20	30	12				C3v (*33)
76	erronbikosidodekaedro gutxitua			55	105	52	15	25	11			1	C5v (*55)
77	erronbikosidodekaedro gutxitu parabiratua			55	105	52	15	25	11			1	C5v (*55)
78	erronbikosidodekaedro gutxitu metabiratua			55	105	52	15	25	11			1	Cs (*11)
79	erronbikosidodekaedro gutxitu birbiratua			55	105	52	15	25	11			1	Cs (*11)
80	erronbikosidodekaedro parabirgutxitua			50	90	42	10	20	10			2	D5d (2*5)
81	erronbikosidodekaedro metabirgutxitua			50	90	42	10	20	10			2	C2v (*22)
82	erronbikosidodekaedro birgutxitu biratua			50	90	42	10	20	10			2	Cs (*11)
83	erronbikosidodekaedro trigutxitua			45	75	32	5	15	9			3	C3v (*33)
84	biesfenoide kamutsa edo dodekaedro siamdarra			8	18	12	12						D2d (2*2)
85	antiprisma karratu kamutsa			16	40	26	24	2					D4d (2*4)
86	esfenokoroa			10	22	14	12	2					C2v (*22)
87	esfenokoroa gehitua			11	26	17	16	1					Cs (*11)
88	esfenomegakoroa			12	28	18	16	2					C2v (*22)
89	Hebesfenomegakoroa			14	33	21	18	3					C2v (*22)
90	biesfenozingulua			16	38	24	20	4					D2d (2*2)
91	Bilunabirrotonda			14	26	14	8	2	4				D2h (*222)
92	hebesfenorrotonda triangeluarra			18	36	20	13	3	3	1			C3v (*33)

Erreferentziak

• Norman Johnson, "Convex Solids with Regular Faces", Canadian Journal of Mathematics, 18, 1966, or. 169–200. 92 solidoen jatorrizko izenak, eta besterik ez dagoelako aierua.
• Viktor A. Zalgaller. (1969). Consultants Bureau ed. Convex Polyhedra with Regular Faces. No ISBN. Johnsonen solidoak 92 baino gehiago ez daudelako lehenengo froga.

Ikus, gainera

• Ia Johnsonen solidoak
• Catalanen solidoak
• Poliedro toroidala

Kanpo estekak

• (Ingelesez) Weisstein, Eric W.: "Johnson-en solido" MathWorld-en.

• Datuak: Q1059659
• Multimedia: Johnson solids / Q1059659