Kalkulu diferentzialean, Rolle-ren teoremak dio funtzio bat tarte batean jarraia eta tarte batean deribagarria bada, izanik, existituko dela gutxienez puntu bat tarte horretan malda nulua duena, hau da, . Bataz besteko balioaren teoremaren kasu berezi bat da.

Bhaskara II matematikari indiarrak deskribatu zuen 12. mendean, baina Michel Rolle (1652-1719) matematikariak frogatu zuen 1691-an.

Teorema aldatu

Izan bedi   funtzioa   tartean jarraitua eta   tarte irekian deribagarria eta demagun   dela. Orduan  .

Froga aldatu

  funtzioa   tartean jarraitua denez, minimo eta maximo absolutuak lortzen ditu   tartean arabera, hau da,  . Bi posibilitate daude:

  • Maximoa edo minimoa   tartean dago.   puntua orduan mutur bat (minimo bat) izango da, beraz  , mutur baten deribatuaren balioa   delako, eta   izango da.   puntuaren kasuan konklusioa berdina da.
  • Aurrekoa ez bada egia,   eta   tartearen muturrak izango dira. Beraz,   eta   suposatu dezakegu. Beraz,   ikusi dezakegu, baina   denez, funtzioa konstantea izango da, eta edozein punturen deribatuaren balioa   izango da.

Adierazpen geometrikoa aldatu

Hurrengo irudian ikus daitekeenez, hiru baldintzak betetzen dira: funtzioa   tarte batean jarraitua da,   tarte batean deribagarria eta   da. Ikus daitekeenez, badago gutxienez   puntu bat non  , kasu honetan puntu guztiak, funtzioa konstantea delako.

 

Irudian funtzio konstantea ikus daiteke, baina ez da betetzen den kasu bakarra.

1. kasua aldatu

Hurrengo kasuan ikus daitekeenez, tartearen puntu maximoa   eta  -ren berdina da, eta minimoa ezberdina da, beraz, kurba ganbila da.. Puntu minimoa   da, eta funtzioaren deribatua puntu honetan   da.

 

2. kasua aldatu

Puntu minimoa   eta  -ren berdina da eta maximoa ezberdina, beraz, kurba ahurra da. Puntu maximoa   da eta bere deribatua   da puntu horretan.

 

3. kasua aldatu

Kasu honetan, bai puntu maximo bai minimoa   eta  -ren ezberdinak dira. Beraz, funtzioak   tarte barnean   eta   baino handiagoa den   puntu maximo bat eta   eta   baino txikiagoa den   puntu bat izango ditu gutxienez. Bai maximoan bai minimoan deribatuaren balioa nulua izango da, hau da,  eta  .

 

Kanpo estekak aldatu