Lankide:Peio Sánchez Torre/Proba orria

CAUCHYREN SEGIDA

Matematiketan segida bat Cauchyrena dela esaten da baldin eta edozein distantzia hartuta (normalean ε, epsilon, zenbaki erreal positibo bat) aurkitu badaitezke segidako gai bat (epsilon balioaren menpekoa) baino handiago diren bi termino zeinak haien harteko distantzia epsilon baino txikiagoa den. Garrantzitsua da segida mota hau ondoz ondoko terminoen harteko distantzia txikiagotzen doan segidekin ondo deberdintzea, hauek ez dutelako zertan konbergenteak izan. Segidak Augustin Louis Cauchy (1805) matematikari Frantziarraren ohorez hartzen du izen hau. Matematikan kobergentzia aztertzeko oso erabilia da Cauchyren segidaren definizioa.

Cauchyren segida zenbaki errealetan

Izan bedi $\{a_{n}\}$ gai errealeko segida. Segida Cauchyrena dela diogu baldin eta:

$\forall \epsilon <0$ $\exists n_{0}\in \aleph$ : $\exists n,m\geq n_{0}$ $\left\vert a_{n}-a_{m}\right\vert <\epsilon$

Zenbaki errealen kasuan, Cauchyren segida orok limite baterantz konbergitzen du. Propietate horrek analisi errealaren emaitza garrantzitsu bat dakar: segiden konbergentziarako Cauchyren karakterizazioa.

Propietateak:

-Edozein segida konbergente Cauchy segida bat da.

-Cauchyren segida guztiak goitik bornatuak dira

-Cauchyren konbergentzia-irizpidea: zenbaki errealen segida konbergentea baldin eta soilik baldin Cauchyrena bada :

$\{a_{n}\}$ konbergentea $\Leftrightarrow$ $\{a_{n}\}$ Cauchyrena.