Lankide:Gorkagorliz/Proba orria

Borelen transformazio

Borelen transformazioaren forma integrala

$$F(s)=\int _{0}^{\infty }f(z)e^{-sz}\,dz$$Laplaceren transformazioaren kasu partikularra da, non ${\textstyle f}$ funtzio oso bat den esponentzial itxurakoa; hau da,

$$|f(z)|\leq Ae^{B|z|}$$${\textstyle A}$ eta ${\textstyle B}$ konstante batzuentzat. Borelen transformazio orokortuak onartzen du esponentziala ez den beste pisu funtzio bat erabiltzea, transformatu ahal izateko esponentzial itxurakoak ez diren funtzioak. Nachbinen teoremak ematen dizkugu beharrezkoak eta nahikoak diren baldintzak Borelen transformazioa ondo definituta egon dadin.

Oinarrizko erlazioak

Aurreko kasuetan ikusi dugun moduan, oinarrizko Laplacen transformazio bat aldebiko transformazio baten moduan idatz daiteke. Gainera, aldebiko transformazio bat aldebakarreko bi transformazioen batuketaz idatzi daiteke. Hori dela eta, azken finean Laplace-, Fourier-, Mellin- eta Z-transformazioak gauza berdineko kasu partikularrak dira. Hala ere, problema eta propietate ezberdinak ematen dizkigute lau oinarrizko integral transformazio hauek.

Adibideak

Laplacen transformazioa askotan erabilgarria da ingenieritzan eta fisikan.

Esate baterako, Laplacen transformazioak bihurtu dezake ekuazio diferentzial lineal bat ekuazio aljebraiko batean. Honek ekuazioa ebazteko prozesua asko azkartu dezake.

Kondentsadore baten inpedantzia konplexua

Zirkuitu elektrikoen teorian, kondentsadore baten korronte-fluxua zuzenki proportzionala da kapazitatearekiko eta potentzial elektrikoaren aldakuntzarekiko (SI unitatetan). Hauxe adieraz daiteke honako ekuazio diferentzialaren bitartez:

$$i=C{dv \over dt},$$non ${\textstyle C}$ kondentsadorearen kapazitatea den (farad unitatetan), ${\textstyle i=i(t)}$ kondentsadoretik doan korronte elektrikoa (ampere unitatetan) denborarekiko funtzio bezala adierazita, eta ${\textstyle v=v(t)}$ kondentsadoreko plaken arteko potentzial diferentzia (volt unitatetan) neurtzen duen denborarekiko funtzioa.

Aurreko ekuazioan Laplacen transformazioa aplikatuz

$$I(s)=C(sV(s)-V_{0})$$lortzen dugu, non

$${\begin{aligned}I(s)&={\mathcal {L}}\{i(t)\},\\V(s)&={\mathcal {L}}\{v(t)\},\\V_{0}&=v(0).\end{aligned}}$$${\textstyle V(s)}$ bakantzen badugu,

$$V(s)={I(s) \over sC}+{V_{0} \over s}.$$Inpedantzia konplexua ${\textstyle Z(s)}$ funtzioaren bidez adieraziko dugu. Hain zuzen ere, inpedantzia konplexuaren definizioa (ohm unitatetan) potentzial diferentzia eta korronte elktrikoaren arteko zatiketa da; hau da,

$$Z(s)=\left.{V(s) \over I(s)}\right|_{V_{0}=0}.$$Inpedantzia konplexuaren definizioan ${\textstyle V(s)}$ aurreko ekuaziotik ordezkatuz,

$$Z(s)={\frac {1}{sC}}.$$Azken ekuazio honek guztiz erabilgarria da kondentsadore baten inpedantzia konplexua kalkulatzeko.

Frakzio sinpletako deskonposaketa

Kontsidera dezagun denborarekiko independentea den sistema honako tranferentzia funtzioarekin,

$$H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}.$$Pultsu-erantzuna aurreko tranferentzia funtzioaren Laplacen transformazioaren alderantzizko funtzioa da:

$$h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}.$$Funtzio honen adierazpena aurkitzeko; lehenik eta behin ${\textstyle H(s)}$ funtzioa berridatziko dugu frakzio sinpletako deskonposaketa eginez

$${\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={P \over s+\alpha }+{R \over s+\beta }.$$${\textstyle P}$ eta ${\textstyle R}$ konstante ezezagunak transformazio funtzioko hondarrak dira. Cauchyren hondarraren teoremak esaten du Laplace transformazioaren alderantzizkoa soilik dagoela poloen eta haien hondarren menpe. ${\textstyle P}$ hondarra aurkitzeko, biderkatu dezagun berdintza ${\textstyle s+\alpha }$ gatik,

$${\frac {1}{s+\beta }}=P+{R(s+\alpha ) \over s+\beta }.$$Egiten badugu ${\textstyle s=-\alpha }$ aldagai aldaketa, hauxe lortzen dugu:

$$P=\left.{1 \over s+\beta }\right|_{s=-\alpha }={1 \over \beta -\alpha }.$$Antzeko modu batean aurkitzen dugu ${\textstyle R}$ hondarra:

$$R=\left.{1 \over s+\alpha }\right|_{s=-\beta }={1 \over \alpha -\beta }.$$Ohartu honako berditza betetzen dela:

$$R={-1 \over \beta -\alpha }=-P$$eta beraz, ${\textstyle P}$ eta ${\textstyle R}$ ordezkatzen baditugu ${\textstyle H(s)}$ funtzioan, honako hau daukagu

$$H(s)=\left({\frac {1}{\beta -\alpha }}\right)\cdot \left({1 \over s+\alpha }-{1 \over s+\beta }\right).$$

Azkenik, linealtasunaren propietatea erabiliz eta esponentzial negatiboaren transformazioa aplikatuz, lortzen dugu ${\textstyle H(s)}$ funtzioaren alderantzizko Laplaceren transformazioa

$$h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}={\frac {1}{\beta -\alpha }}\left(e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}\right).$$Lortu dugun funtzioa, lehen esan dugun bezala, sistemaren pultsu-erantzuna da.