Frakzio sinpletako deskonposaketa

Aljebran, frakzio sinpletako deskonposaketa (hau da, zenbakitzailea eta izendatzailea polinomialak diren zatiki bat edo batzuk), zenbakitzaile polinomial baten (agian zero) eta izendatzaile sinpleagoa baten arteko zatiketa bat edo batzuk adierazten dituen eragiketa bat da.

Frakzio sinpletako deskonposaketaren garrantzia honako honetan datza: funtzio arrazionalak dituzten konputazio ezberdinetarako algoritmoak eskaintzen ditu, besteak beste, antideribatuen kalkulu esplizitua, Taylor serie hedapenak, Z-transformatu alderantzizkoak eta Laplace alderantzizkoak. Kontzeptua 1702an aurkitu zuten Johann Bernoulli eta Gottfried Leibnizek modu independentean.

Sinbolikoki, funtzio arrazionalen frakzio sinpletako deskonposaketa horrela irudikatzen da: $f(x)/g(x)$ , non $f$ eta $g$ polinomioak diren, eta bere espresioa honakoa da:

$f(x)/g(x)$ = $p(x)$ + $\sum _{j}$ $f_{j}(x)/g_{j}(x)$ ,

$j$ bakoitzerako, $g_{j}(x)$ izendatzailea polinomio irreduzible baten potentzia izanik (hau da, faktorizatu ezin daitekeen maila positiboko polinomioa), eta aldiz, $f_{j}(x)$ zenbakitzailea aipatutako polinomio irreduzible hori baina maila txikiagoko polinomioa izanik.

Kalkulu esplizitua egitean, zakarragoa den deskonposaketa egitea nahiago izaten da, eta berau polinomio irreduziblea karraturik gabeko polinomio baten ordezkatzean oinarritzen da. Kalkulu honek, faktorizatu beharreko polinomioa, askoz errazagoa den karraturik gabeko polinomio baten ordezkatzea ahalbidetzen du. Hau nahikoa izango da aplikazio gehienetan, eta honen bidez, koefiziente irrazionalak erabiltzea ekidin daiteke, hasierako polinomioen koefizienteak zenbaki osoak edo arrazionalak izanik.

Prozedura aldatu

Demagun bi polinomio ditugula, $P(x)$ eta $Q(x)$ = $(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})...(x-\alpha _{n})$ , non $\alpha _{j}$ konstante desberdinak diren eta degP $<$ n, hau da, P polinomioaren maila n baina txikiagoa den. Orokorrean, zatiki sinpleak honakoa suposatuz lortzen dira,

$P(x) \over Q(x)$ $=$ $c_{1} \over x-\alpha _{1}$ $+$ $c_{2} \over x-\alpha _{2}$ $+$ $...$ $+$ $c_{n} \over x-\alpha _{n}$ ,

eta $c_{j}$ konstanteak lortuz. Azken horiek, berdinketarako koefizienteak erabiliz lortzen dira.

Askoz zuzenagoa den kalkulua, Lagrange-n interpolazioarekin dago zuzenki loturik, eta zehazki honetan oinarritzen da:

$P(x) \over Q(x)$ $=$ $\sum _{i=1}^{n}$ $P(\alpha _{i}) \over Q\prime (\alpha _{i})$ $1 \over (x-\alpha _{i})$

non $Q\prime$ $Q$ polinomioaren deribatua den. $1 \over x-\alpha _{i}$ -ren koefizienteak $P/Q$ -ren hondarrak dira.

Guzti hau, ordea, ezin daiteke kasu guztietan aplikatu, eta ondorioz, hainbat modifikazio aplikatu behar dira:

$degP\leq degQ$ bada, beharrezkoa izango da P eta Q-ren arteko zatiketa Euklidearra aplikatzea.P(x)-ri, P(x) = E(x) Q(x) + R(x), balioa emanik, non deg R < n . Hori, Q(x)-rekin zatituz, honakoa emango digu: $P(x) \over Q(x)$ $=$ $E(x)$ $+$ $R(x) \over Q(x)$ , eta ondoren R(x) hondarraren faktorizazioa aurkitu beharko da (honek definizioak esan bezala, deg R < deg Q beteko du.).
Q(x)-k faktore irreduzible bat badu, R-ren ondorengo deskonposizioa aplikatu beharko da: $x^{2}+1 \over (x+2)(x-1)(x^{2}+x+1)$ $=$ $a \over x+2$ $+$ $b \over x-1$ $+$ $cx+d \over x^{2}+x+1$
Demagun $Q(x)$ $=$ $(x-\alpha )^{r}$ dela. Orduan, Q(x) ondorengo moduan deskonposatuko da: $P(x) \over Q(x)$ $=$ $P(x) \over (x-\alpha )^{r}$ $=$ $c_{1} \over x-\alpha$ $+$ $c_{2} \over (x-\alpha )^{2}$ $+$ $...$ $+$ $c_{r} \over (x-\alpha )^{r}$