Gertaera arraroen lege

Probabilitate teorian, gertaera arraroen legea banaketa binomialaren limitea, n saiakuntza kopurua infiniturantz eta p aldi bakoitzean gertaera suertatzeko probabilitatea zerorantz doazelarik, Poissonen banaketarako joera duela ezartzen duen teorema da. Horrela, gertaera arraroen legeak segida luze batean (hain zuzen, n infiniturantz doalarik) gertaera arraroen kopurua (0tik gertukoko probabilitatea duten gertaerak, hain zuzen) aztertzen ditu. Poissonen banaketaren probabilitateak erosoago kalkulatzen direnez n handiko eta p txikiko banaketa binomialaren probabilitateak baino, Poissonen banaketak konputazio-abantaila du banaketa binomialaren aldean kasu horietan. Abantaila da informatikaren garapena dela eta deuseztu bada ere, gertaera arraroen legea p probabilitate txikia saiakuntza batetik bestera aldatzen doan kasuetarako ere erabil daitekeela nabarmendu behar da, $\scriptstyle \lambda$ parametro moduan, saiakuntza guztietan arrakasta izateko p_i probabilitateen batura eginez. Gertaera arraroen legea Siméon Denis Poisson frantziar matematikari eta fisikariak ezarri zuen 1837 urtean Recherches sur la Probabilité des Jugements en Matière Criminelle et en Matière Civile liburuan.

Teorema

$n\rightarrow \infty \ ;p\rightarrow 0\ ;np\rightarrow \lambda$ betetzen diren kasuan:

${\frac {n!}{k!(n-k)!}}p^{x}(1-p)^{n-x}\rightarrow {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}}$

Frogapena

${\begin{aligned}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}p^{x}(1-p)^{n-x}&={\frac {n!}{k!(n-k)!}}{\Bigg (}{\frac {\lambda }{n}}{\Bigg )}^{x}{\Bigg (}1-{\frac {\lambda }{n}}{\Bigg )}^{n-x}\\&={\frac {n!}{k!(n-k)!}}{\Bigg (}{\frac {\lambda }{n}}{\Bigg )}^{x}{\Bigg (}1-{\frac {\lambda }{n}}{\Bigg )}^{n-x}\\&={\frac {n!}{k!(n-k)!}}{\Bigg (}{\frac {\lambda }{n}}{\Bigg )}^{x}{\Bigg (}1-{\frac {\lambda }{n}}{\Bigg )}^{n}{\Bigg (}1-{\frac {\lambda }{n}}{\Bigg )}^{-x}\\&={\frac {n(n-1)\cdots [n-(x+1)]}{x!}}{\frac {\lambda ^{x}}{n^{x}}}{\Bigg (}1-{\frac {\lambda }{n}}{\Bigg )}^{n}{\Bigg (}1-{\frac {\lambda }{n}}{\Bigg )}^{-x}\\&={\frac {n(n-1)\cdots [n-(x+1)]}{n^{x}}}{\frac {\lambda ^{x}}{x!}}{\Bigg (}1-{\frac {\lambda }{n}}{\Bigg )}^{n}{\Bigg (}1-{\frac {\lambda }{n}}{\Bigg )}^{-x}\\&={\frac {n}{n}}{\frac {n-1}{n}}\cdots {\frac {n-(x+1)}{n}}{\frac {\lambda ^{x}}{x!}}{\Bigg (}1-{\frac {\lambda }{n}}{\Bigg )}^{n}{\Bigg (}1-{\frac {\lambda }{n}}{\Bigg )}^{-x}\\&=1{\Bigg (}1-{\frac {1}{n}}{\Bigg )}\cdots {\Bigg (}1-{\frac {x+1}{n}}{\Bigg )}{\frac {\lambda ^{x}}{x!}}{\Bigg (}1-{\frac {\lambda }{n}}{\Bigg )}^{n}{\Bigg (}1-{\frac {\lambda }{n}}{\Bigg )}^{-x}\\\end{aligned}}$

Hurbilketaren doitasuna

i saiakuntzetako probabilitateak p_i izanik, banaketa binomialeko P(X=k) probabilitate zehatzekiko errorearen muga absolutua hau dela frogatzen da:

${\Bigg |}P(X=k)-{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}}{\Bigg |}\leq \sum p_{i}^{2}$

Kanpo estekak

• Datuak: Q7208500