Probabilitate teoria

Probabilitatea gertakari edo ekintza bat gertatzeko aukera neurtzen duen kontzeptu matematikoa da. 0 eta 1 arteko balio batekin neurtzen da, non, gertaera baten probabilitatea 0 bada, gertaera hori inoiz ez dela gertatuko adierazten duen eta, aldiz, probabilitatea 1 bada, gertaera hori ziur gertatuko dela esan nahi duen. Hau da,  zenbat eta balioa handiagoa izan, orduan eta gertakaria probableagoa da. Askotan, probabilitatea ehunekotan ($\%$) adierazten da eta, kasu honetan, $\%\ 0$tik $\%\ 100$erako balioak hartzen ditu.

Eguneroko bizitzan, askotan erabiltzen dugu probabilitatea, hala nola euria egingo duen ikusteko, dadoarekin 6 bat aterako dugun jakiteko edo loterian irabazteko aukerak zenbat diren kalkulatzeko. Probabilitatea lagungarria da eguneroko erabakiak hartzen laguntzeko, arriskuak neurtzeko eta etorkizunean zer gertatu daitekeen hobeto ulertzeko. Hala ere, gertaera bat gertatzeko probabilitate handia izan arren, ezin dugu inoiz erabat ziurtatu gertatuko dela (probabilitatea 0 edo 1 ez bada). Adibidez, euria egiteko probabilitatea 0.8 bada, nahiz eta 1etik oso gertu egon, ez du zertan euririk egin.

Dado batean, 5 zenbakia ateratzeko probabilitatea 1/6 da.

Laburbilduz, probabilitatea emaitza bat lortzea erraza edo zaila den adierazten duen zenbakia da, emaitza hori gertatuko den ziur ez gaudenean.

Esate baterako, demagun zorizko esperimentua dado bat botatzea dela. Aukera posibleen artean, $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$ direnak, zenbaki bat aterako da. Hortaz, 5 zenbakia ateratzeko probabilitate ${\frac {1}{6}}=0.1{\widehat {6}}$ da, eta bikoitia ateratzekoa ${\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}=0.5$ da. Beraz, probableagoa da zenbaki bikoiti bat ateratzea, 5 ateratzea baino.

Historia

Probabilitatearen historia XVII. mendean hasi zen, Pierre Fermat eta Blaise Pascal ausazko jokoekin zerikusia duten zenbait arazo konpontzen saiatu zirenean. Nahiz eta batzuek dioten hasiera Cardanok 1520an Zorizko Jokoen Liburua idatzi zuenean izan zela, ez zen 1660ra arte jokoei buruzko teoria onargarri bat lantzen hasi.

Christian Huygens zientzialari holandarrak Blaise Pascalen eta Pierre Fermaten arteko korrespondentzia aurkitu zuen, partida bat irabazteko probabilitatea zehazteko eztabaida planteatu zuenean. Ondorioz, Huygensek probabilitateari buruzko lehen liburua argitaratu zuen 1657an: De Ratiociniis in Ludo Aleae (Kalkulua Ausazko Jokoetan).

Andréi Kolmogórov matematikari errusiarra.

XVIII. mendean zehar, batez ere zorizko jokoen ospeari esker, probabilitateen kalkuluak garapen nabarmena izan zuen aurreko probabilitatearen definizioan oinarrituta. 1713an, Bernoulliren teorema eta banaketa binomiala agertzen dira eta, 1738an, De Moivrek aztertutako lehenengo kasu partikularra: Limitearen Teorema Zentrala (LTZ). 1809an, Gauss erroreen teoria aztertzen hasi zen eta, 1810ean, Laplacek teoria honen garapena osatu zuen. 1812an, Pierre Laplacek Théorie analytique des probabilités argitaratu zuen, non zorizko jokoei buruzko analisi matematiko bat azaltzen den.

XIX. mendearen erdialdean, Gregor Mendel, Austriako fraide agustindarra, herentzia eta genetika aztertzen hasi zen. Bere lana, La matemática de la herencia, probabilitatearen teoriaren lehen aplikazio garrantzitsua izan zen natur zientzietarako.

Hasiera-hasieratik, probabilitatea matematikaren adartzat hartzeko zailtasun nagusia teoria zehatz bat egitea izan zen, matematika-forma gisa onartzeko modukoa. XX. mende hasieran, Andréi Kolmogórov matematikari errusiarrak probabilitate teoria modu axiomatikoan definitu zuen eta neurriaren teoriaren oinarriak ezarri zituen.

Probabilitatearen definizioa

Lagin-espazioa izeneko multzo infinitu edo zenbakarri bat definituko da, $\Omega$ sinboloaren bidez adierazia, zeina emaitza posible guztien multzoarekin erlazionatzen den. Orduan, suposatzen da $x\in \Omega$ elementu bakoitzarentzat $f(x)$probabilitate balio bat egokitzen dela, honako propietate hauek betetzen dituena:

1. $f(x)\in [0,1],x\in \Omega \ guztietarako$
2. $\sum _{x\in \Omega }f(x)=1$

Hau da, $f(x)$ probabilitate-funtzioa 0 eta 1 artean dago $x$ guztietarako $\Omega$ lagin-espazioan; eta $f(x)$ guztien batura 1 da. Gertaera bat $\Omega$ lagin-espazioaren edozein E azpimultzo gisa definitzen da. Gertakariaren E probabilitatea honela definitzen da:

$P(E)=\sum _{x\in E}f(x)$

Orduan, lagin-espazio osoaren probabilitatea 1 da, eta gertaera nuluaren probabilitatea 0 da.

Probabilitatearen propietate nagusiak

$\Omega$ lagin-espazioa sortzen duen ausazko esperimentu bat kontuan hartzen badugu, probabilitatea da $\Omega$ -ko A gertaerei 0 eta 1 arteko zenbaki bat esleitzen dien funtzio bat.

Oinarrizko propietateak:

1. Gertaera ziur edo osoaren probabilitatea 1 da: $P(\Omega )=1$.
2. Ezinezko gertaeraren probabilitatea zero da: $P(\emptyset )=0$.
3. Gertaera baten osagarriaren probabilitatea, 1 ken gertaeraren probabilitatea da; hau da: $P({\bar {A}})=1-P(A)$ .
4. A gertaera B gertaeraren parte bada (A gertatzen den kasu guztietan B gertatzen da), orduan $P(A)\leq P(B)$.
5. A eta B bi gertaera bateraezin badira ($A\cap B=\emptyset$), orduan $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ beteko da. Oro har, n gertaera binaka bateraezinak badira, orduan $P(A_{1}\cup A_{2}\cup ...\cup A_{n})=P(A_{1})+P(A_{2})+...+P(A_{n})$ da.
6. A eta B edozein gertaera badira (bateraezinak izan edo ez), hurrengoa beteko da: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. Propietate honen orokortzeari barne-kanpo printzipioa deritzo: $|A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{n}|=\sum _{i}|A_{i}|-\sum _{i<j}|A_{i}\cap A_{j}|+\sum _{i<j<k}|A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}|-\cdots +(-1)^{n+1}|A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots \cap A_{n}|$
7. Diferentziaren probabilitatea ondoko hau da: $P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)$.

Baldintzapeko probabilitatea

Baldintzapeko probabilitatea, probabilitate baldintzatua edo baldintzazko probabilitatea probabilitate teoriako kontzeptu garrantzitsuenetariko bat da. $P(A|B)$ ikurraz adierazten da eta, $B$ gertatu dela jakinda, $A$ gertatzeko probabilitatea adierazten du. Informazio partziala eskuragarri dugunean, gertaera baten probabilitatea kalkulatzea interesgarria da.

Baldintzapeko probabilitatea kalkulatzeko, erregelarik arruntenetako bat hau da:

$P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$

Formula honek $A$ eta $B$ gertaeren arteko harremana aztertzen laguntzen digu, eta horrek estatistika, ikerketa zientifiko eta iragarpen matematikoetan funtsezko papera betetzen du.  

Adibidez, demagun 100 pertsonako multzo batean 60 gizon ($G$) eta 40 emakume ($E$) ditugula. Gainera, gizonezkoen artean,  40 beltzaranak ($B$) eta 20 ilehoriak ($H$) dira. Emakumezkoen artean, berriz, 30 beltzaranak eta 10 ilehoriak dira.

	Gizonak (G)	Emakumeak (E)	Guztira
Beltzaranak (B)	40	30	70
Ilehoriak (H)	20	10	30
Guztira	60	40	100

Orain, pertsona bat zoriz aukeratzen badugu, jakinda gizona dela, zein da ilehoria izateko probabilitatea?  Kasu honetan, probabilitatea zuzenean kalkula daiteke; izan ere, gizona izanda, populazioa 60 pertsonatara murrizten da:  

$P(Ilehoria\ izateko,gizona\ dela\ jakina)=P(H|G)={\frac {20}{60}}={\frac {1}{3}}$

Alabaina, aurreko erregela orokorraz ere kalkula daiteke:

$P(H|G)={\frac {P(H\cap G)}{P(B)}}={\frac {\frac {20}{100}}{\frac {60}{100}}}={\frac {1}{3}}$

Probabilitate banaketak

Probabilitate banaketak zorizko aldagai motaren arabera sailka daitezke: zorizko aldagaia diskretua denean, probabilitate banaketa diskretuak ditugu; eta, berriz, zorizko aldagaia jarraitua denean, probabilitate banaketa jarraitua da.

Banaketa diskretuak  

Probabilitate banaketa diskretu garrantzitsuenak honako hauek dira:

Bernoulliren banaketa:

Bernoulliren banaketa zorizko aldagai baten probabilitate banaketa da, non aldagaiak 1 (arrakasta) balioa hartzen duen $p$probabilitatearekin eta 0 (porrota) balioa hartzen duen $q=1-p$ probabilitatearekin. Beraz,  $P(X=1)=p$ eta $P(X=0)=q$. Gainera, $X\sim Bernoulli(p)$ idazten da $X$ zorizko aldagaiak Bernoulliren banaketa jarraitzen duela adierazteko.

Banaketa binomiala:

Banaketa binomiala probabilitate banaketa bat da Bernoulliren  $n$  saiakuntzako  sekuentzia independente bateko arrakasta-kopurua  zenbatzen  duena,  saiakuntzen  artean arrakasta gertatzeko probabilitatea $p$ izanik. $X\sim Binomial(n,p)$ idazten da $X$ zorizko aldagaiak banaketa binomiala jarraitzen duela adierazteko. $n=1$ denean $Bernoulli(p)=Binomial(n,p)$ da. Orduan, $n$ errepikapenetan $k$ aldiz arrakasta lortzeko probabilitatea ondorengo eran kalkulatzen da:  

$P(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}$.

Poissonen banaketa:

Poissonen banaketak denbora-tarte edo espazio finko batean $k$ gertaera gertatzeko probabilitatea adierazten du, tarte horretan gertatzen diren gertaeren batez bestekoa, lambda, jakinik. $X$ zorizko aldagaia Poissonen banaketa jarraitzen duela adierazteko $X\sim P(\lambda )$ idazten da, eta bere dentsitate funtzioa ondorengoa da:

$f(k,\lambda )=P(X=k)={\lambda ^{k}e^{-k} \over k!}$

Banaketa jarraituak

Banaketa uniformea:

Banaketa uniformea baliagarria da $(a,b)$ tartean probabilitate konstantea duen zorizko  aldagai bat deskribatzeko. $X$ zorizko aldagaiak banaketa uniformea jarraitzen duela adierazteko, $X\sim U(a,b)$ idazten da.  

Banaketa normala:

Banaketa normala definitzeko bi parametro erabiltzen dira: batezbestekoa ($\mu$) eta desbideratze estandarra edo desbideratze tipikoa ($\sigma$). Haren dentsitate funtzioa batezbestekoarekiko simetrikoa da, eta desbideratze estandarrak kurbaren irekiera maila adierazten digu. Kurbaren itxuragatik, Gaussen kanpaia deitzen da. $X$ zorizko aldagaiak banaketa normala jarraitzen duela adierazteko $X\sim U(\mu ,\sigma )$ idazten da eta bere dentsitate funtzioa hurrengoa da:

$f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}e^{-{1 \over 2}({x-\mu \over \sigma })^{2}}$

Banaketa esponentziala:

Banaketa esponentziala prozesu bateko gertaeren arteko denbora edo espazioa modelizatzeko erabiltzen da, eta lotura zuzena du Poissonen banaketa diskretuarekin, $\lambda$ konstante bat izanik. $X$ zorizko aldagaiak banaketa esponentziala jarraitzen duela adierazteko $X\sim Exp(\lambda )$ idazten da, eta bere dentsitate funtzioa hau da:

$f_{X}(x)=\lambda e^{-\lambda x},x\geq 0$

Aipatutako azken hiru banaketez gain, banaketa jarraitu gehiago existitzen dira: besteak beste, student t banaketa, khi karratu banaketa, gamma banaketa eta abar.

Aplikazioak

Probabilitate teoria bizitzaren ia arlo guztietan erabiltzen da. Aplikazio batzuk honako hauek dira:

Zorizko jokoak

Blackjack jokoa.

Ausazko jokoetan, probabilitateak gertaera jakin bat gertatzeko aukera adierazten du. Gertaera horiek dado-joko bateko botaldi baten emaitza edo blackjack-en esku baten azken emaitza izan daitezke. Probabilitateak zatiki edo ehuneko gisa adierazten dira, eta gertaera jakin bat gerta daitekeen modu kopuruaren eta emaitza posibleen kopuruaren arteko erlazioa islatzen dute.

Ausazko jokoetako probabilitateak irabazteko aukerak kalkulatzeko erabiltzen dira, baita kasinoek irabaziak izateko aukerak kalkulatzeko. Adibidez, erruleta-joko batean, bola zenbaki jakin batean erortzeko probabilitatea ${\frac {1}{38}}$koa da. Horrek esan nahi du 38 egoera posible daudela, eta jokalariak ekintza horietako bakar batean irabaziko duela.

Finantzak

Probabilitateak berebiziko garrantzia du finantzen esparruan, erabakiak hartzeko prozesuetan eta inbertsio-estrategien eraketan eragiten baitu. Demagun inbertitzaile batek enpresa bateko akzio bat erosi nahi duela. Adituek diote akzio horrek igoera izateko probabilitatea $\%\ 35$ dela; orduan, akzioak jaitsiera izateko probabilitatea $\%\ 65$ekoa dela ondorioztatzen da. Horrek inbertsioa egitean arrisku handia dagoela adierazten du. Probabilitate-azterketek inbertsioen portaera aurreikusteko aukera ematen digute, eta hori oso baliagarria da inbertitzeko momentua eta nola egin erabakitzeko.

Bibliografia

• Ross, Sheldon M. Introduction to Probability and Statistics for Engineers and Scientists. Academic Press, 2014.

Kanpo estekak

• Datuak: Q5862903
• Multimedia: Probability theory / Q5862903