Descartesen folioa

Descartes-en folioa Descartes-ek 1638an proposatutako kurba aljebraiko bat da, ekuazio inplizituarekin:

Descartesen flioa x³ + y3–3axy = 0, a = 1.

$x^{3}+y^{3}-3axy=0$

Era berean, esplizituki deskribatu daiteke koordenatu polarretan:

$r(\theta )={\frac {3a\sin \theta \cos \theta }{\sin ^{3}\theta +\cos ^{3}\theta }}$

Kurbaren ezaugarriak

Tangentearen ekuazioa

Desberdintze inplizituko metodoa erabiliz, aurreko ekuazioa y'-rako ebatz daiteke:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {ay-x^{2}}{y^{2}-ax}}$

Lerro baten ekuazioaren puntu-malda forma erabiliz, kurbaren ukitzailerako ekuazio bat aurki daiteke:$(x_{1},y_{1})$

$y-y_{1}={\frac {ay_{1}-x_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-ax_{1}}}(x-x_{1})$

Tangente horizontala eta bertikala

Descartesen folioaren lerro tangentea horizontala da $ay-x^{2}=0$ denean. Beraz, lerro ukitzailea horizontala da kasu hauetan:

$x^{6}=2a^{3}x^{3}$

Descartesen folioaren lerro ukitzailea bertikala da $y^{2}-ax=0$ denean. Beraz, linea tangentea bertikala da kasu hauetan:

$y^{6}=2a^{3}y^{3}$

Kurbaren simetriaren propietate bati esker azal daiteke hori. Grafikoari begira, ikus daiteke kurbak bi ukitzaile horizontal eta bi ukitzaile bertikal dituela. Hala, bada, Descartes-en folioaren kurba simetrikoa da $y=x$-rekiko; beraz, tangente horizontal batek $(x_{1},y_{1})$-ren koordinatua badu, dagokion tangente bertikala dago, $(y_{1},x_{1})$.

Asintota

Kurbak asintota bat du:

$x+y+a=0$

Asintotak -1eko gradientea du, eta koordenatu-ardatzak ebakitzen ditu y puntuetan.$(0,-a)$ eta $(-a,0)$.

Descartesen folioaren osagai algebraikoak

$x^{3}+y^{3}=3axy$ funtzioaren $y$ ebazten bada, ekuazio hau lortzen da grafikoaren zati baterako, $x<=0$ eta $a{\sqrt[{3}]{4}}<=x$ ($a>0$ dela suposatuz)

$y={\sqrt[{3}]{-{\frac {1}{2}}x^{3}+{\sqrt {{\frac {1}{4}}x^{6}-a^{3}x^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {1}{2}}x^{3}-{\sqrt {{\frac {1}{4}}x^{6}-a^{3}x^{3}}}}}$

eta beste atalerako, forma trigonometrikoko hiru ekuazio, horietako bik folioaren begizta marrazten dute.

Kanpo estekak

• Datuak: Q837771
• Multimedia: Folium of Descartes / Q837771