Cauchyren irizpidea
aldatu
Cauchy ren irizpidea (edo erroaren irizpidea) gai positiboko serieen izaera aztertzeko erabiltzen da.
∑
a
n
{\displaystyle \sum a_{n}}
gai positiboko seriea bada eta hurrengo limitea existitzen bada:
lim
n
→
∞
a
n
n
=
l
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=l}
Orduan,
(i) Baldin eta
l
<
1
{\displaystyle l<1}
bada, orduan
∑
a
n
{\displaystyle \sum a_{n}}
konbergentea da.
(ii) Baldin eta
l
>
1
{\displaystyle l>1}
bada, orduan
∑
a
n
{\displaystyle \sum a_{n}}
dibergentea da.
l
=
1
{\displaystyle l=1}
bada ezin da ezer esan
∑
a
n
{\displaystyle \sum a_{n}}
-ren izaerari buruz.
(i) atalaren froga:
l
<
1
{\displaystyle l<1}
da, eta
ε
=
1
−
l
2
>
0
{\displaystyle \varepsilon ={\frac {1-l}{2}}>0}
hartuz,
∃
n
0
∈
N
:
{\displaystyle \exists n_{0}\in \mathbb {N} :}
∀
n
≥
n
0
{\displaystyle \forall n\geq n_{0}}
|
a
n
n
−
l
|
<
1
−
l
2
{\displaystyle \left\vert {\sqrt[{n}]{a_{n}}}-l\right\vert <{\frac {1-l}{2}}}
Bi aldeetan
l
{\displaystyle l}
gehituz,
∀
n
≥
n
0
{\displaystyle \forall n\geq n_{0}}
a
n
n
<
1
−
l
2
+
l
=
1
+
l
2
=
q
<
1
⟹
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{n}}}<{\frac {1-l}{2}}+l={\frac {1+l}{2}}=q<1\Longrightarrow }
∀
n
≥
n
0
{\displaystyle \forall n\geq n_{0}}
a
n
<
q
n
{\displaystyle a_{n}<q^{n}}
Hau da,
∑
a
n
{\displaystyle \sum a_{n}}
∑
q
n
{\displaystyle {\displaystyle \sum q_{n}}}
seriearen serie minorantea da
(
∑
a
n
{\displaystyle (\sum a_{n}}
<<
∑
q
n
)
{\displaystyle <<{\displaystyle \sum q^{n}})}
. Gainera, argi ikusten da
∑
q
n
{\displaystyle {\displaystyle \sum q_{n}}}
seriea konbergentea dela,
0
<
q
<
1
{\displaystyle 0<q<1}
baita. Bukatzeko, konparazio-irizpidea aplikatuz,
∑
a
n
{\displaystyle \sum a_{n}}
konbergentea dela ondorioztatzen da.
(ii) atalaren froga:
l
>
1
{\displaystyle l>1}
denez,
l
=
+
∞
{\displaystyle l=+\infty }
edo
l
∈
R
{\displaystyle l\in \mathbb {R} }
izan daiteke.
l
=
+
∞
{\displaystyle l=+\infty }
bada,
M
=
1
{\displaystyle M=1}
denean, existitzen da
n
0
∈
N
{\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }
non
n
≥
n
0
{\displaystyle n\geq n_{0}}
guztietarako
a
n
n
>
1
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{n}}}>1}
den. Beste era batera esanda,
n
≥
n
0
{\displaystyle n\geq n_{0}}
denean
a
n
>
1
{\displaystyle a_{n}>1}
da.
l
∈
R
{\displaystyle l\in \mathbb {R} }
bada,
l
>
1
{\displaystyle l>1}
izanik,
ϵ
=
l
−
1
>
0
{\displaystyle \epsilon =l-1>0}
hartuz,
∃
n
0
∈
N
:
{\displaystyle \exists n_{0}\in \mathbb {N} :}
∀
n
≥
n
0
{\displaystyle \forall n\geq n_{0}}
|
a
n
n
−
l
|
<
l
−
1
⟹
{\displaystyle \left\vert {\sqrt[{n}]{a_{n}}}-l\right\vert <l-1\Longrightarrow }
∀
n
≥
n
0
{\displaystyle \forall n\geq n_{0}}
a
n
n
>
1
−
l
+
l
=
1
⟹
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{n}}}>1-l+l=1\Longrightarrow }
∀
n
≥
n
0
{\displaystyle \forall n\geq n_{0}}
a
n
>
1
{\displaystyle a_{n}>1}
Beraz, ikusten da existitzen dela
n
0
∈
N
{\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }
non,
n
≥
n
0
{\displaystyle n\geq n_{0}}
bada,
a
n
>
1
{\displaystyle a_{n}>1}
den. Ondorioz,
lim
n
→
∞
a
n
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}
ez da 0 izango eta
∑
a
n
{\displaystyle \sum a_{n}}
dibergentea da.
Adibidez, azter dezagun
∑
n
=
1
∞
n
n
(
2
n
+
1
)
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{n}}{(2n+1)^{n}}}}
seriearen izaera.
a
n
=
n
n
(
2
n
+
1
)
n
>
0
{\displaystyle a_{n}={\frac {n^{n}}{(2n+1)^{n}}}>0}
da
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
guztietarako eta, beraz, aplika daiteke Cauchyren irizpidea.
lim
n
→
∞
n
n
(
2
n
+
1
)
n
n
=
lim
n
→
∞
n
(
2
n
+
1
)
=
1
2
<
1
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {n^{n}}{(2n+1)^{n}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{(2n+1)}}={\frac {1}{2}}<1}
Hau da,
lim
n
→
∞
a
n
n
<
1
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}<1}
da eta, ondorioz, Cauchyren irizpidearen arabera,
∑
n
=
1
∞
n
n
(
2
n
+
1
)
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{n}}{(2n+1)^{n}}}}
seriea konbergentea da.