Borweinen algoritmoa Jonathan eta Peter Borweinek gauzatutako algoritmo bat da 1/π kalkulatzeko.
Honela jokatu behar da:
- Balio hauekin hasten da
![{\displaystyle a_{0}=6-4{\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4da9ffb678dda2fa784c70dfa69bd531fa80e65)
![{\displaystyle y_{0}={\sqrt {2}}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a8c66c9fe57c1d08a78d5d4cfb002607e7d6dd8)
- Ondoren, formula hauekin iteratzen da
![{\displaystyle y_{k+1}={\frac {1-(1-y_{k}^{4})^{1/4}}{1+(1-y_{k}^{4})^{1/4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e2323571b7177eedf4942c4a250ae280e3f438e)
![{\displaystyle a_{k+1}=a_{k}(1+y_{k+1})^{4}-2^{2k+3}y_{k+1}(1+y_{k+1}+y_{k+1}^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30801659848ef1dd12b3bcb5af3833cfac22b21d)
Orduan, ak serieak konbergentzia laukoitza du 1/π-rantz; hau da, iterazio bakoitzean lau bider, gutxi gorabehera, handitzen da digitu zehatzen kopurua.
Konbergentzia-maila desberdintza honen bidez lortzen da:
![{\displaystyle \left|{\frac {1}{\pi }}-a_{n}\right|<=16\;(4^{n})(e^{-2\pi 4^{n}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cd355f5138b18958a173276e2f91efb4c7971a4)