Faktorizazio: berrikuspenen arteko aldeak
Ezabatutako edukia Gehitutako edukia
t Robota: Testu aldaketa automatikoa (-{{HezkuntzaPrograma}} +{{HezkuntzaPrograma|Matematika}}) |
t Robota: Aldaketa kosmetikoak |
||
1. lerroa:
{{HezkuntzaPrograma|Matematika}}
[[Matematika|Matematikan,]] '''faktorizazio''' deritzo adierazpen matematiko bat ([[
Zenbakien faktorizazioaren aurkakoa da horien biderketa eta, polinomio baten faktorizazioarena, aldiz, [[hedapena]]. Polinomioa faktorizatutakoan sortzen diren faktoreak biderkatuz, polinomio bakar bat lortzen da, terminoen gehiketa dena. Adibidez, 4''x'' <sup>2</sup> termino bat da.
Zenbaki osoak faktorizatzeko,
== Zenbaki osoen faktorizazioa ==
13. lerroa:
Zenbait irizpide daude zatigarritasuna aztertzeko:
* <nowiki/><nowiki/>Zatitu nahi den zenbakiaren azken [[Zifra|digitu]]<nowiki/>[[Zifra|a]] 2ren [[Multiplo (matematika)|multiplo]]<nowiki/>[[Multiplo (matematika)|a]] bada, orduan, zenbaki osoa 2rekin zatigarria da.
* Zatitu nahi den zenbakiaren azken digitu<nowiki/>a 5en multiploa<nowiki/> bada, orduan, zenbaki osoa 5ekin zatigarria da.
* Zatitu nahi den zenbakiaren digituen batuketa 3ren multiploa bada, zenbaki osoa 3rekin zatigarria da.
19. lerroa:
=== Adibidea ===
n= 1386 zenbakia faktorizatzeko:
* <nowiki/><nowiki/>Hasi probako zatiketa 2 zenbakiarekin. Nabarmena da 1386 [[bikoiti]]<nowiki/>[[bikoiti|a]] dela; beraz, n = 2 · n', non n' = 1386 / 2 = 693 den. 693 zenbaki [[Bakoitia|bakoiti]]<nowiki/>[[Bakoitia|a]] da; beraz, ez dago 2ren berretura handiagorik n zatitzen duenik.
* Jarraitu probako zatiketa 3 zenbakiarekin, n' = 693 izanik. 6+9+<nowiki/>3=18 3ren multiploa da eta, gainera, 3²=9ren multiploa ere bada; beraz, n" <nowiki/>= 693 / 9 = 231 / 3 = 77. 7+7=14 ez da 3ren multiploa. Hortaz, joan hurrengo zenbaki lehenera.
* Hurrengo zenbaki lehena 5 da, eta 77 ez da 5en multiploa.
* Hurrengo zenbaki lehena 7 da. n"=77 7rekin zatigarria da,
* Geratzen den faktorea, n"'=11, lehena da eta, beraz,
* 1386=2·3²·7·11.
== Polinomioen faktorizazioa ==
Polinomioak faktorizatzeko teknika modernoak azkarrak eta efizienteak dira, baina algoritmo sofistikatuak erabiltzen dituzte (Ikusi [[polinomioen faktorizazioa]]). Teknika horiek ordenagailuek erabiltzen dituzte [[Aljebra-sistema|aljebra-sistemetan]]. Eskuzko faktorizazioan, polinomioak maila txikikoak edo mota jakin batekoak izan behar dira. Horregatik, eskuzko teknikak ez dira baliagarriak ordenagailuetan lan egiteko. Artikulu honetan, beraz,
Adierazpen bat sinpleagoak diren beste batzuen biderketa moduan idaztea da faktorizazioa. “Sinple” hitzaren esanahia azaldu behar da. Polinomioen faktorizazioan "sinple" hitzak esan nahi du faktoreak hasierakoak baino maila txikiagoko polinomioak izan behar direla. Adibidez, <math> {\displaystyle x^{2}-y=(x+{\sqrt {y}})(x-{\sqrt {y}})}</math> bada faktorizazioa, baina ez polinomioen bidezkoa, faktoreak ez baitira polinomioak<ref name=":0">{{Cite book|hizkuntza=|izenburua=College Algebra (Revised)|urtea=1921|abizena=Fite|izena=William Benjamin|orrialdeak=|orrialdea=20|argitaletxea=Boston D.C. Health & Co.|ISBN=978-1143158322}}</ref>. Halaber, termino konstante batekin faktorizatzea, <math> {\displaystyle 3x^{2}-6x+12=3(x^{2}-2x+4)}</math> , ez da polinomioen faktorizaziotzat hartzen,
40. lerroa:
=== Faktorizazioaren historia ===
[[Ekuazio koadratiko
{| class="wikitable"
|''a'' − ''b''
57. lerroa:
|
|}
Horrela, ''aa'' − ''ba'' + ''ca'' − ''bc'' ekuazioaren terminoak faktorizatzen zituen.
=== Metodo orokorrak ===
63. lerroa:
==== Faktore komuna ====
Faktorizatzeko teknikarik erabilena “faktore komuna” da eta honetan datza: polinomioaren [[Zatitzaile komun handien|zatitzaile komunetako handiena]] den monomioa aurkitu eta faktore komuna atera. Adibidez<ref>{{Cite book|hizkuntza=|izenburua=College Algebra (Revised)|urtea=1921|abizena=Fite|izena=William Benjamin|orrialdeak=|orrialdea=18|argitaletxea=Boston: D.C. Heath & Co.|ISBN=978-1143158322}}</ref>:
<math>{\displaystyle 6x^{3}y^{2}+8x^{4}y^{3}-10x^{5}y^{3}=}{\displaystyle (2x^{3}y^{2})(3)+(2x^{3}y^{2})(4xy)+(2x^{3}y^{2})(-5x^{2}y)=} {\displaystyle (2x^{3}y^{2})(3+4xy-5x^{2}y).}
75. lerroa:
Adibidez, polinomio hau faktorizatzeko <math>{\displaystyle 4x^{2}+20x+3xy+15y}</math>:
# Pareko terminoak multzokatu: <math>{\displaystyle (4x^{2}+20x)+(3xy+15y)}</math>
# Multzo bakoitza
# Binomioaren faktore komuna faktorizatu: <math> {\displaystyle (x+5)(4x+3y)}</math>.
Nahiz eta multzokatzeak ez duen erabateko faktorizazioa erakusten, lau termino izan ditzake, bi binomioen biderkadura direnak ([[arau banakorra]]<nowiki/>[[Arau banakorra|ren]] arabera). Hori gertatzekotan, taldekatzeak bai erabateko faktorizazioa izango da.
110. lerroa:
= (a+b + x -y)(a+b -x + y).</math>
* Kuboen kenketa edo gehiketa modu honetan faktoriza daiteke:
# Gehiketa: <math>a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)</math>.
# Kenketa: <math>a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)</math>.
* n. berreturen kenketa edo gehiketa modu honetan faktoriza daiteke:
Izan bedi n edozein zenbaki oso positiboa, kenketaren faktorizazio orokorra hau da:
<math>a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + ba^{n-2} + b^2 a^{n-3} + \ldots + b^{n-2} a + b^{n-1} ).</math>
122. lerroa:
n 2ren berretura baldin bada, <math>{\displaystyle a^{n}+b^{n}}</math> ezin da faktorizatu.
<math>n = m \cdot 2^k,\ k > 0\ eta\ m>1\ bakoitia\ </math>bada,
<math>a^n + b^n =(a^{2^k} + b^{2^k})(a^{n-2^k} - a^{n-2 \cdot 2^k} b^{2^k} + a^{n-3 \cdot 2^k} b^{2 \cdot 2^k} - \ldots - a^{2^k} b^{n-2 \cdot 2^k} + b^{n-2^k}) =(a^{2^k} + b^{2^k}) \sum_{i=1}^m a^{(m-i)2^k}(-b^{2^k})^{i-1}.
133. lerroa:
<math>{\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right),}</math>
Formula honi [[
Formula [[
=== Zenbaki konplexuen gaineko faktorizazioa ===
==== Bi karratuen batura ====
a eta b bi zenbaki erreal badira, haien karratuen batura [[
Adibidez, <math>{\displaystyle 4x^{2}+49}</math> modu honetan faktoriza daiteke: <math> {\displaystyle (2x+7i)(2x-7i)}</math>.
154. lerroa:
* Selby, Samuel M., CRC Standard Mathematical Tables (18th ed.), The Chemical Rubber Co.
[[Kategoria:
| |||