Erlazio bitar: berrikuspenen arteko aldeak
Ezabatutako edukia Gehitutako edukia
No edit summary |
|||
1. lerroa:
<!--[[Matematika]]n, <math> R </math> '''erlazio bitarra''' [[matematika-erlazio]] bat da <math> A </math> eta <math> B </math> bi multzoen elementuen artean. Mota horretako erlazioa [[bikote ordenatu]]en bidez adierazten da, <math> (a,b)\in A \times B </math>:
: <math>
R =
33. lerroa:
{{Matematika-erlazioak}}
[[Kategoria:Matematika-erlazioak|Bitarra]]
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX-->
[[Matematika]]n, '''erlazio bitar''' bat <math>A</math> eta <math>B</math> [[multzo]]en [[elementu (multzo-teoria)|elementuen]] artean definitutako <math> \mathcal{R}</math> [[matematika-erlazio]] bat da.
<math>A</math> eta <math>B</math> multzoen arteko <math>\mathcal{R}</math> erlazio bat <math>\mathcal{P} (a, b)</math> propietatea betetzen duten <math>(a, b)</math> [[bikote ordenatu]]ren bidez adierazi ahal da, <math> A \times B </math> [[biderkadura cartesiar]]raren <math> (a,b)\in A \times B </math> bikote ordenatuen azpimultzo batekoak. Notazio matematikoa erabiliz
<math>
\mathcal{R} =
\Big\{
(a,b): \; a \in A \quad \land \quad
b \in B \quad \land \quad
\mathcal{P}(a,b) = </math> egiazkoa <math> \Big\} </math>
idatz daitekeena eta mintzatuz
'<math>\mathcal{R}</math> erlazio bitarra haietan <math>\mathcal{P}</math> propietatea betetzen den <math>A</math> multzoaren <math>a</math> elementuak <math>B</math> multzoaren <math>b</math> elementuekin lotzen dituzten <math>(a, b)</math> bikote ordenatuen multzoa da'
adierazi.
Notazio matematiko ohikoenetan <math>a</math> eta <math>b</math> elementuen arteko <math>\mathcal{R}</math> erlazio bitarra hurrengo eratan adierazten da:
: <math>a \mathcal{R} b</math> edo <math>
\mathcal{R}(a,b)</math> edo <math>
(a,b) \in \mathcal{R}
</math>
edo baita ere
: <math>
\mathcal{R} \; a \; b
</math> edo. <math>
a \; b \; \mathcal{R}
</math>
[[poloniar notazio]]a edo [[alderantzizko poloniar notazio]]a erabiltzen badira.
== Adibidea ==
* <math> \mathbb{R} </math> [[zenbaki erreal]]en multzoa emanda, <math>\mathbb{R}^2</math> planoko <math>x</math> abzisen eta <math>y</math> ordenatuen arteko <math> P (x,y) </math> erlazio bitar bat definitu ahal dugu, <math> y = 2 x^2 - 3x +5 </math> [[funtzio koadratiko]]a betetzen duten [[puntu (geometria)|puntuak]] aukeratuz.
Notazio matematikoaz <math>
P = \{ (x,y): \; (x,y) \in \mathbb{R}^2 \;
\land \; y = 2 x^2 - 3x +5 \}
</math>
adierazten dena.
== Erlazio bitarren taxonomia, sailkapen orokorra ==
Erlazio bitarren [[taxonomia]] erakusteko grafikoan, definizio orokorragoetatik espezifikoagoetara joateko jarrai gezien noranzkoa.
[[Fitxategi:Binary_relations_classification_20150811eu.svg|700px|center]]
Erlazio bitarren garrantzia matematikan, multzoren zenbakidun eta ez zenbakidun elementuen arteko elkartze asko eta asko sarritan binaka egitetik dator; eta hori elementuak bai multzo berekoak direnean eta baita ere multzo ezberdinekoak direnean.
Goiko eskeman [[egitura aljebraiko]] edo erlazio bitarren azpimota batzuk agertzen dira. Eskema hori lagungarri izango dugu aurrerago erlazio mota horiek aztertzerakoan.
Lehenengo eta behin erlazio homogeneo eta heterogeneoak bereizi behar dira; lehenengoetan erlazio bitarrak multzo bereko elementuen artekoak dira eta, horren ondorioz, multzo horren barne egitura bati lotuta daude; bigarrenetan erlazioak bi multzo ezberdinen elementuen artekoak dira eta kalkulu-eragiketa edo funtzioei lotuta izaten ohi dira.
Erlazio homogeneo bat erlazio heterogeneoen moduan ere sailkatu ahal da, baina ez alderantziz.
<br clear=all>
=== Erlazio homogeneoak ===
Multzo biren arteko erlazio bitar bat homogeneoa da multzo biak multzo bera direnean:
: <math>
R (a,b): \;
(a,b)\in A \times B
\quad \land \quad
A = B
</math>
A eta B multzoak multzo bera direnez,
: <math>
R (a,b): \;
(a,b)\in A \times A
</math>
idatzi ohi da, edo
: <math>
R (a,b): \;
(a,b)\in A^2
</math>
=== Erlazio heterogeneoak ===
A eta B multzo biren arteko erlazioa heterogeneoa da A eta B multzoak multzo bera ez direnean:<ref>{{erreferentzia
|url= http://eneayudas.cl/index.php?option=com_content&task=view&id=103&Itemid=132
|izenburua= RELACIÓN BINARIA
|añoacceso= 2010
|urtea= 2007
|hilabetea= 11
|hizkuntza= espainiera
}}</ref>
: <math>
R (a,b): \;
(a,b)\in A \times B
\quad \land \quad
A \ne B
</math>
<math>A</math> multzoari erlazioaren ''abiaburu-multzoa'' deitzen zaio eta <math>B</math> multzoari erlazioaren ''helburu-multzoa''.
Erlazio batean partaideak diren <math>A</math> multzoko elementuek erlazioaren ''aurreirudi-multzoa'' edo erlazioaren ''[[izate-eremu]]a'' (ingelesez ''domain'') osatzen dute eta <math>B</math> multzokoek erlazioaren ''irudi-multzoa''<!--o--><ref>{{erreferentzia |abizena=Zurutuza |izena=Iñaki |urtea=2000 |izenburua=Oinarrizko aljebra |non=Donostia |argitaletxea=Elhuyar |isbn=84-95338-18-1 }}</ref><!--o--> (ingelesez ''range'').
== Aurrez ikusi beharreko kontzeptuak ==
Erlazio bitarrak aztertu baino lehen badaude ezagutzea komeni den kontzeptu batzuk; garrantzitsuenak hurrengoak dira:
=== Bikote ordenatuak ===
{{sakontzeko|Bikote ordenatu}}
'''bikote ordenatu''' bat ''lehenengo elementu'' bat eta ''bigarren elementu'' bat dituen objektu matematikoren bikote bat da. Lehenengo elementua '''a''' eta bigarren elementua '''b''' dituen bikote ordenatua irudikatzeko '''(a,b)''' idazten da.
'''(a,b)''' bikote ordenatua ez da '''{a,b}''' idazten den '''a''' eta '''b''' elementuez osatuta dagoen [[multzo]]a. Multzo bat bera osatzen duten elementuez baino ez dago definitua, bikote ordenatu bat [[definizio (matematikoa)|definitzerakoan]], aldiz, elementuen [[ordena-erlazio|ordena]] ere kontuan hartu behar da. Adibidez, '''{0, 1}''' eta '''{1, 0}''' multzoak multzo bera dira baina '''(0, 1)''' eta '''(1, 0)''' bikote ordenatuak bi bikote ezberdinak dira.
Bikote ordenatuak 2-tuplak edo 2 dimentsioko bektoreak ere izendatzen dira. Ordenatuta dauden objekturen bilduma finituaren nozioa objektu pare bat baino gehiagorako zabaldu ahal da eta [[n-kote|''n''-kote]]ren kontzeptua sortu.
'''(a, b)''' bikote ordenatu baten osagaiak hurrengoak dira:
:Lehenengo multzoari dagokion '''a''' lehenengo osagaia
:Bigarren multzoari dagokion '''b''' bigarren osagaia
=== Biderkadura cartesiarra ===
{{sakontzeko|Biderkadura cartesiar}}
'''A''' eta '''B''' multzoen '''A'''x'''B''' '''biderkadura cartesiarra''' lehenengo osagaia '''A''' multzoko elementuez eta bigarrena '''B''' multzoko elementuez osatutako '''bikote ordenatu''' guztien multzoa da.
Eta notazio matematikoan
: <math>
A \times B =
\{(x,y) \; | \quad
x \in A \quad \land \quad
y \in B \}
</math>
idazten da.
{| style="margin:2em" align="right"
| <math>
\begin{array}{|r|ccc|}
\hline
5 & (1,5) & (4,5) & (6,5) \\
3 & (1,3) & (4,3) & (6,3) \\
2 & (1,2) & (4,2) & (6,2) \\
\hline
A \times B & 1 & 4 & 6 \\
\hline
\end{array}
</math>
|}
Hurrengo bi multzoak baditugu:
: <math> A = \{1, 4, 6 \} \, </math>
: <math> B = \{2, 3, 5 \} \, </math>
'''A'''x'''B''' biderkadura cartesiarra lortzeko '''A''' multzoaren elementuak taula baten ardatz horizontalean eta '''B''' multzoarenak ardatz bertikalean jartzen dira eta gurutzaketa gelaxketan gagozkien bikote ordenatuak; kontuan izanda bikote ordenatuetan lehenengo tokian ardatz horizontaleko '''A''' multzoaren elementuak jarri behar direla eta bigarren tokian ardatz bertikaleko '''B''' multzoarenak.
Bikote ordenatuen multzoaren elementuak hurrengoak lirateke:
: <math>
A \times B = \{
(1,2), (1,3), (1,5),
(4,2), (4,3), (4,5),
(6,2), (6,3), (6,5)
\} \,
</math>
=== Erlazio bitarrak: biderkadura cartesiarraren azpimultzoak ===
'''A'''x'''B''' biderkadura cartesiarra ikusita, erlazio bitar bat, adibidez '''baino txikiagoa''' erlazioa, biderkadura cartesiar horren azpimultzo baten bidez adierazi ahal da.
:::''<strong>Oharra: a>b</strong> adierazpen matematikoaren esangura hurrengoa da:''
:::''ingelesez 'a (is) greater than b', frantsesez 'a (est) plus grand que b', espainieraz 'a (es) mayor que b' ''
:::''eta euskaraz 'a handiagoa (da) b baino' edo, gauza bera dena, 'a baino txikiagoa (da) b' ''
:::''eta irakurtzen denean, aditza ezabatuz, hurrengoa esan ohi dute matematikariek: ''
:::''ingelesez 'a greater than b', frantsesez 'a plus grand que b', espainieraz 'a mayor que b' ''
:::''eta euskaraz, jende arruntarentzat ulergarria izateko inguruko hizkuntzen formari hurbilegi jarraituz, 'a handiago b' ''
:::''baina hau jende arruntarentzat ia ulertu ezina da, konparaketa nolakoa den jakiteko funtsezkoa den <strong>baino</strong>a ere, ezabatzen delako; ''
:::''hori dela eta, jende arruntarentzat ulergarriagoa gerta dadin ''
:::'' artikulu honetan <strong>a>b</strong> adierazpena 'a baino txikiagoa b' irakurriko da.''
<math>
R = \{(a,b) : \quad
a \in A \quad \land \quad
b \in B\ \quad \land \quad
a > b \}
</math>
eta parte hartzen duten bikote ordenatu guztiak banan banan idatziz:
<math>
R = \{ (4,2), (4,3), (6,2), (6,3), (6,5) \} \,
</math>
Erlazio bitarra definitzen duten bikote ordenatuak multzoen biderkadura cartesiarraren azpimultzo bat direla.<ref>{{erreferentzia|apellidos=Gutiérrez Gómez|nombre=Andrés|coautores=García Castro, Fernando|título=Álgebra lineal|edición=1|año=1981|editorial=Ediciones Pirámide, S.A.|idioma=español|isbn=978-84-368-0174-3|capítulo=2.2 Relaciones binarias|páginas=71}}</ref>
<math>
R \subset A \times B
</math>
Hori dela eta, multzo biren artean izan litezkeen erlazio bitarren kopurua estimatu ahal da.
<math>\alpha = \mathrm{card}(A), \qquad \beta = \mathrm{card}(B)</math> badira
'''A''' eta '''B''' multzoen artean izan litezkeen erlazio bitarren kopurua hurrengoa da:
<math>
2^{\alpha\cdot\beta}
\quad \Leftarrow \quad
\mathrm{Rel}_{bin} \subset \mathcal{P}(A\times B)
</math>
Multzoren bat infinitua izanez gero aurreko kopurua [[zenbaki transfinitu]]a legez hartu behar da.
== Erlazio bitar homogeneoak ==
Aurrerago esan den legez, erlazio bitar homogeneo bat multzo bakar baten elementuen artekoa da; multzo hori '''A''' multzoa bada notazio matematikoz honela adierazten da:
: <math>
R (a,b): \;
(a,b)\in A^2
</math>
[[Fitxategi:Relación binaria 11.svg|200px|right]]
Erlazio bitarrak multzo bakar baten elementuen artekoak direnean, erlazio horiek multzoak modu ezberdinetan egituratu ahal dituzte, egitura bat ematen diete multzoei eta multzoak sortutako egitura horien arabera sailka daitezke. Eredu baten bidez ikusiko dugu nola irudikatu horrelako erlazioak:
Alboko irudian geziez irudikatzen den <math> A = \{a, b, c, d \} \, </math> multzoaren elementuen arteko erlazioan <math>A</math> multzo bakar bat dagoela eta erlazionatuta duden elementu guztiak haren barnekoak direla ikusten da.
: <math>R \subset A^2 </math>
Erlazio berbera erlazionatuta dauden elementuen eralzio zerrenda batez irudikatu ahal da:
:<math> a \mathcal{R} b \quad b \mathcal{R} a \quad b \mathcal{R} c </math>
:<math> c \mathcal{R} d \quad d \mathcal{R} b \quad d \mathcal{R} d </math>
edo bikote ordenaturen multzo baten bidez:
: <math> R = \{ (a,b),(b,a),(b,c),(c,d),(d,b),(d,d) \} \, </math>
[[Fitxategi:Relación binaria 12.svg|200px|right]]
Erlazio bitar homogeneo bat '''A'''tik '''A'''rako [[Korrespondentzia matematiko|korrespondentzia]] bat bezala ere, irudikatu ahal da:
: <math> R: A \rightarrow A </math>
'''A''' multzoa abiaburu-multzo legez hartuz eta, baita ere, helburu-multzo bezala.<!-- nos permite asociar un elemento inicial a otro final dentro de un mismo conjunto, determinando una '''[[operación matemática]]''' o función de cálculo y no una estructura interna, teniendo siempre en cuenta, que si bien el conjunto inicial y final son un mismo conjunto, la relación es unidireccional, y si el elemento '''a''' está relacionado con el '''b''' no implica, necesariamente, que el '''b''' lo este con el '''a'''.-->
Kasu honen erlazio bitarra aztertzeko erlazio bitar heterogeneoak aztertzerakoan erabiltzen diren irizpideak erabili ahal dira, eta haien arabera sailkatu erlazioa.
Erlazio bitar baten irudikapena biderkadura cartesiarraren azpimultzo batez:
{| class="wikitable" align="right"
|- align="center"
| bgcolor="F0F0F0" | d || (a, d) || (b, d) || '''(c, d)''' || '''(d, d)'''
|- align="center"
| bgcolor="F0F0F0" | c || (a, c) || '''(b, c)''' || (c, c) || (d, c)
|- align="center"
| bgcolor="F0F0F0" | b || '''(a, b)''' || (b, b) || (c, b) || '''(d, b)'''
|- align="center"
| bgcolor="F0F0F0" | a || (a, a) || '''(b, a)''' || (c, a) || (d, a)
|- align="center"
| bgcolor="F0F0F0" | A×A
| bgcolor="F0F0F0" | a
| bgcolor="F0F0F0" | b
| bgcolor="F0F0F0" | c
| bgcolor="F0F0F0" | d
|}
Alboko taulan <math> A \times A </math> biderkadura cartesiarraren bikote ordenatu guztiak agertzen dira; ereduaren erlazioa irudikatzeko balio dutenak letra lodiz nabarmenduta daudela.
Beraz, hurrengoa da <math>R</math> erlazioa irudikatzeko erabili ahal den <math>A \times A</math> biderkadura cartesiarraren azpimultzoa:
: <math> R = \{ ( a, b ), ( b, a ), ( b, c ), ( c, d ), ( d, b ), ( d, d ) \} \,</math>
''Kontuan hartu ardatz horizontalean abiaburu-multzoa irudikatzen dela eta bertikalean helburu-multzoa.''
=== Erlazio bitar homogeneoen propietateak ===
Bera osatzen duten bikote ordenatuen arabera, erlazio bitar batek propietate ezberdin batzuk izan ditzake. Ikus ditzagun euretariko batzuk:
==== Propietate erreflexiboa ====
{{sakontzeko|Erlazio erreflexibo}}
<math>A</math> multzoaren elementuen arteko <math>R</math> erlazio bitar homogeneo batek propietate erreflexiboa du <math>A</math> multzoaren elementu guztiak euren buruekin erlazionatuta daudenean.
: <math>
\forall a \in A : \;
(a,a) \in R
</math>
<math>A</math> multzoaren <math>a</math> elementu guztientzako <math>A \times A</math> biderkadura cartesiarraren <math>(a,a)</math> bikote ordenatua <math>R</math> erlazio bitarrarena da.
Kontuan izan multzoaren elementu guztiak egon behar direla erlazionatuta euren buruekin, euretariko batzuk ez badaude erlazionatuta euren buruekin erlazioa ''erlazio ez-erreflexibo''a dela esaten da.
Goiko adierazpen matematikoaren baliokidea da hurrengoa:
: <math>
\nexists a \in A : \;
(a,a) \notin R
</math>
Ez dago <math>A</math> multzoaren <math>a</math> elementurik <math>R</math> erlazio bitarrean <math>(a,a)</math> bikote ordenatua ez duenik.
==== Propietate irreflexiboa ====
{{sakontzeko|Erlazio irreflexibo}}
Erlazio bitar batek propietate irreflexiboa du ez dagonean berberarekin erlazionatuta dagoen ezein elementurik:
: <math>
\forall a \in A : \;
(a,a) \notin R
</math>
Propietate honi ''propietate antierreflexibo''a ere, esaten zaio batzuetan, eta beste era honetara ere, irudikatu ahal da notazio matematikoaz:
: <math>
\nexists a \in A : \;
(a,a) \in R
</math>
Ez dago berberarekin erlazionatuta dagoen<math>A</math> multzoaren ezein <math>a</math> elementurik.
==== Propietate simetrikoa ====
{{sakontzeko|Erlazio simetriko}}
Erlazio bitar batek propietate simetrikoa du <math>(a,b)</math> bikote ordenatu bat erlaziokoa izateak halabeharrez <math>(b,a)</math> bikote ordenatua ere, erlaziokoa izatera behartzen duenean:
: <math>
\forall a, b \in A : \;
(a,b) \in R
\quad \longrightarrow \quad
(b,a) \in R
</math>
Gorago esandakoa kontuan izanda, <math>(a,b)</math> bikote ordenatua <math>R</math> erlazioarena ez bada <math>(b,a)</math> bikotea ere, ezin da izan erlazioarena. Hori argi ikusten da goiko adierazpen matematikoaren baliokidea den hurrengo adierazpenean:
: <math>
\nexists a, b \in A : \;
(a,b) \in R
\quad \land \quad
(b,a) \notin R
</math>
Ezin da egon <math>R</math>ko ezein <math>(a,b)</math> bikote ordenaturik <math>(b,a)</math> bikote ordenatua ere <math>R</math>koa ez bada.
==== Propietate antisimetrikoa ====
{{sakontzeko|Erlazio antisimetriko}}
Erlazio bitar batek propietate antisimetrikoa du <math>(a,b)</math> eta <math>(b,a)</math> bikote ordenatuak aldi berean erlaziokoak izateak <math>a = b</math> izatera behartzen duenean, hau da <math>a</math> eta <math>b</math> elementuak elementu berbera izatera behartzen duenean:
: <math>
\forall a,b \in A : \;
\Big (
(a,b) \in R
\quad \land \quad
(b,a) \in R
\Big )
\quad \longrightarrow \quad
a = b
</math>
Beste era batera esanda, ez daude lehengoa bigarrenarekin eta aldi berean bigarrena lehenengoarekin erlazionatuta dauden <math>a</math>eta <math>b</math> elementu ezberdin bi:
: <math>
\nexists a, b \in A : \;
(a,b) \in R
\quad \land \quad
(b,a) \in R
\quad \land \quad
a \ne b
</math>
==== Propietate iragankorra ====
{{sakontzeko|Erlazio iragankor}}
Erlazio bitar batek propietate iragankorra du multzoaren <math>a</math> elementu bat <math>b</math> elementuarekin eta <math>b</math> elementua <math>c</math> elementu batekin erlazionatuak egoteak <math>a</math> elementua halabeharrez <math>c</math> elementuarekin erlazionatuta egotera behartzen duenean:
: <math>
\forall a, b, c \in A : \;
\Big (
(a,b) \in R
\quad \land \quad
(b,c) \in R
\Big )
\quad \longrightarrow \quad
(a,c) \in R
</math>
==== Osotasun-propietatea ====
{{sakontzeko|Erlazio osoa}}
Erlazio bitar batek osotasun propietatea du eta, beraz, erlazio osoa da elementu guztiak euren artean erlazionatuta daudenean; hau da multzoaren <math>a</math> eta <math>b</math> edozein elementu beti daudenean erlazionatuta lehenengoa bigarrenarekin edo/eta bigarrena lehenengoarekin:
: <math>
\forall a, b \in A : \;
(a,b) \in R
\quad \lor \quad
(b,a) \in R
</math>
==== Erlazio ondo sortuak ====
{{sakontzeko|Erlazio ondo sortuak}}
<math>A</math> multzo baten elementuen arteko <math>R</math> erlazioa erlazio ondo sortua da <math>A</math> multzoaren <math>B</math> azpimultzo guztietan <math>m</math> ez den <math>B</math> azpimultzoaren <math>b</math> edozein elementua <math>(b,m)</math> bikotea erlazioarena ez izatea egiten duen <math>m</math> elementua badago.
: <math>
\forall B \subset A
\; , \quad
\exists m \in B
\; : \quad
\forall b \in B
\; \land \;
b \ne m
\; : \quad
(b,m) \notin R
</math>
Hau da <math>A</math> multzoaren <math>B</math> azpimultzo guztietan azpimultzo horien elementu txikiena den <math>m</math> elementu bat dago.
=== Erlazio bitar homogeneoen motak ===
{{Erlazio homogeneoen motak}}
Erlazio bitar homogeneoek izan ditzaketen propietateak kontuan hartuta, sailka daitezke erlazio horiek. Hemen nahiko interesgarriak diren batzuk aurkezten dira:
<br clear=all>
==== Erlazio erreflexiboak ====
Propietate erreflexiboa duten erlazioei erlazio erreflexiboak deitzen zaie eta beste erlazio mota konplexuago batzuk aztertzeko abiaburu dira. Kontuan izan erlazio bitar ez-erreflexiboak eta irreflexiboak oso kasu berezietan agertzen direla eta, kasu arruntenetan daukaten garrantzi txikiagatik, gutxi ikertuak direla.
Erlazio erreflexiboen definizioa hurrengoa da:
{{teorema|<math>A</math> multzoaren elementuen arteko <math>
R =
\{
(a,b)\in \; A^2
: \quad
R(a,b)
\}
</math> erlazio bitar homogeneoa '''erlazio erreflexibo'''a da hurrengo propietatea duenean:
1.- Propietate erreflexiboa: <math>
\forall a \in A : \;
(a,a) \in R
</math>
}}
Propietate erreflexiboa duen erlazio baten eredurik argiena [[berdintza]] matematikoarena da; zenbaki multzo batean, zenbaki arrunten <math>\N</math> multzoan adibidez, edozein zenbakia berdina da berberarekin.
[[Fitxategi:RelaRef 01.svg|200px|right]]
<math>A = \{ a, b, c, d \} \;</math> multzoaren elementuen arteko <math>R = \Big \{ (a,a), (a,b), (b,b), (b,c), (c,c), (d,b), (d,d) \Big \}</math> erlazioak '''propietate erreflexibo'''a du eta, beraz, '''erlazio erreflexibo'''a da, multzoaren elementu guztiak euren buruekin erlazionatuta daude eta.
Multzoaren elementu guztiak agertzen dira termino biak berdinak dituzten erlazioaren bikote ordenatuetan.
: <math> (a,a) \in R \quad (b,b) \in R \quad (c,c) \in R \quad (d,d) \in R</math>
<!--[[Fitxategi:RelaRef 11.svg|120px|right]]-->
[[Fitxategi:RelaRef 21.svg|120px|right]]
<math>R</math> erlazioa [[koordenatu cartesiar]]ren bidez ere, irudikatu ahal da.
Horretarako, ardatz horizontalean (abszisena) ezkerretik eskuinera abiaburu-multzoaren elementuak, ardatz bertikalean (ordenatuena) behetik gora helburu-multzoenak ''(kontuan izan erlazio homogeneotan abiaburu-multzoa eta helburu-multzoa multzo berbera direla)'' eta bikote ordenatu bat erlazioarena bada koordenatu biak gurutzatzen diren gelaxkan gurutze bat jarriz ''(kontuan izanda bikotearen lehengo terminoa ardatz horizontalari dagokiola eta bigarrena ardatz bertikalari)''.
<!--[[Fitxategi:RelaRef 21.svg|120px|right]]-->
Beheko ezker muturretik goiko eskuin muturrera doan diagonal nagusiko gelaxkak elementu biak berdinak dituzten bikote ordenatuei dagozkienak dira eta erlazioa erreflexiboa izan dadin diagonal horren gelaxka guztietan gurutze bat egon behar da.
Diagraman ikus dezakegu, ereduko erlazioa erreflexiboa dela.
Hiru irudikapen moduetako edozein (bikote ordenaturen zerrendakoa, gezi-diagramakoa edo koordenatu cartesiarrekoa) erabili ahal dugu erlazio bat erreflexiboa den ala ez ikusteko.
==== Erlazio ez-erreflexibo ====
<!--[[Fitxategi:RelaRef 00.svg|180px|right]]-->
Gehien aztertu diren erlazio bitar homogeneoak erlazio erreflexiboak dira, baina erlazio guztiak ez dira erreflexiboak. Propietate erreflexiboa ez duten erlazioak '''erlazio ez-erreflexibo''' deitzen dira eta erlazio hauen kasu berezia da inongo elementurik berberarekin erlazionatuta ez duten '''erlazio irreflexibo'''rena.
Orain arte ikusitakoaren arabera erlazio bitar homogeneoak beheko diagraman adierazten den moduan sailka daitezke.
:{|
| <math>
\mbox{Erlazio homogeneoak}
\begin{cases}
{ \color{Blue}\mbox{erreflexiboak}} \\
\mbox{ez-erreflexiboak}
\begin{cases}
{ \color{Red}\mbox{irreflexiboak}}\\
{ \color{Green}\mbox{ez-erreflexiboak eta ez-irreflexiboak}}
\end{cases}\\
\end{cases}
</math>
|}
Erlazio ez-erreflexiboen kasu berezia diren erlazio irreflexiboak honela definitzen dira:
{{teorema|<math>A</math> multzoaren elementuen arteko <math>
R =
\{
(a,b)\in \; A^2
: \quad
R(a,b)
\}
</math> erlazio bitar homogeneoa '''erlazio irreflexibo'''a da hurrengo propietatea duenean:
1.- Propietate irreflexiboa: <math> \forall a \in A : \; (a,a) \notin R</math>
}}
Gorago ikusi den moduan propietate irreflexiboa horrela ere irudikatu ahal da:
: <math> \nexists a \in A \, : \quad (a,a) \in R</math>
<math>A</math> multzoan ez dago bere buruarekin erlazionatuta dagoen edozein <math>a</math> elementurik.
[[Fitxategi:RelaRef 05.svg|200px|right]]
Alboan gezi-grafo baten bidez irudikatuta dagoen <math>
A =
\{ a, b, c, d \} \,
</math> multzoaren elementuen arteko <math>
\R =
\Big \{
(a,b), (b,c), (d,b)
\Big \}
</math> erlazioan
: <math>
(a,a) \notin R \quad
(b,b) \notin R \quad
(c,c) \notin R \quad
(d,d) \notin R
</math>
eta erlazioa irreflexiboa da.
[[Fitxategi:RelaRef 25.svg|120px|right]]
Erlazioa koordenatu cartesiarren bidez irudikatuz gero diagonal nagusian inolako gurutzerik agertzen ez dela ikusten da, erlazioa irreflexiboa izateko baldintza dena.
Propietate erreflexiboa eta irreflexiboa ezin dira batera bete; propietate erreflexiboa duen erlazio batean:
: <math>
\forall a \in A : \;
(a,a) \in R
</math>
eta propietate irreflexiboa duen batean:
: <math>
\forall a \in A : \;
(a,a) \notin R
</math>
baina baldintza biak batera betetzea ezinezkoa da. Kontrako argudioa ez da zuzena, erlazio bitar bat batera izan daiteke EZ-erreflexiboa eta EZ-irreflexiboa. Ez-erreflexiboa den erlazio batean:
: <math>
\exist a \in A
\, : \quad
(a,a) \notin R
</math>
Eta ez-irreflexiboa den batean:
: <math>
\exist a \in A
\, : \quad
(a,a) \in R
</math>
Eta baldintza horiek batera bete ahal dira, erlazioa aldi berean ez-erreflexiboa eta ez-irreflexiboa izanik.
: <math>
\begin{cases}
\exist a \in A \, : \quad (a,a) \notin R \\
\exist b \in A \, : \quad (b,b) \in R
\end{cases}
</math>
[[Fitxategi:RelaRef 03.svg|200px|right]]
Alboan gezi-grafo baten bidez irudikatuta dagoen <math> A = \{ a, b, c, d \} \, </math> multzoaren elementuen arteko <math> R = \Big \{ (a,a), (a,b), (b,c), (c,c), (d,b) \Big \}</math> erlazioan
: <math>
(a,a) \in R \quad
(c,c) \in R \quad
(b,b) \notin R \quad
(d,d) \notin R
</math>
Eta horren ondorioz, erlazioa ez da ez erreflexiboa ez irreflexiboa.
[[Fitxategi:RelaRef 23.svg|120px|right]]
Koordenatu cartesiarrak erabiliz erlazioa irudikatzeko, diagonal nagusiko gelaxka guztietan gurutze bat ez dagoenez erlazioa erreflexiboa ez dela eta gelaxka horiek guztiak hutsik ez daudenez erlazioa irreflexiboa ez dela ikusten da; hau da erlazioa aldi berean da ez-erreflexiboa eta ez-irreflexiboa.
Laburbilduz, hiru motako erlazioak izan ditzakegu:
* Erlazio erreflexiboak
* Erlazio irreflexiboak
* Aldi berean ez-erreflexiboak eta ez-irreflexiboak diren erlazioak
==== Lotura erlazioak ====
{{sakontzeko|Lotura erlazio}}
Erlazio bitar homogeneo bat lotura-erlazioa da propietate erreflexiboa eta simetrikoa baditu:
{{teorema|<math>A</math> multzoaren elementuen arteko <math>
R =
\{
(a,b)\in \; A^2
: \quad
R(a,b)
\}
</math> erlazio bitar homogeneoa '''lotura-erlazio'''a da hurrengo propietateak dituenean:
1.- Propietate erreflexiboa: <math>
\forall a \in A : \;
(a,a) \in R
</math>
2.- Propietate simetrikoa: <math>
\forall a, b \in A : \;
(a,b) \in R
\quad \longrightarrow \quad
(b,a) \in R
</math>
}}
Adibidez, zenbaki arrunten <math>\N</math> multzoa hartzen badugu eta bertan zenbaki biren arteko <math>Dist</math> distantzia zenbaki horien arteko kenduraren balio absolutua dela definitu.
: <math>
\forall a, b \in \N : \;
Dist= | a-b|
</math>
esaten badugu <math>a</math> eta <math>b</math> zenbaki arrunt bi hurbil daudela haien arteko distantzia <math>D</math> balio finko bat baino handiagoa ez denean, hurbiltasun-erlazio bitarra hurrengoa da:
: <math>
(a, b) \in R : \;
(a, b) \in \N^2
\quad \land \quad
|a-b| \le D
</math>
erlazio hori lotura-erlazioa da, propietate erreflexiboa:
: <math>
\forall a \in \N : \;
|a-a| \le D
</math>
eta simetrikoa:
: <math>
\forall a, b \in \N : \;
|a-b| \le D
\quad \longrightarrow \quad
|b-a| \le D
</math>
dituelako. Hala ere hurbiltasun-erlazio bitarra ez da iragankorra
: <math>
\forall a, b, c \in \N : \;
\Big (
|a-b| \le D
\quad \land \quad
|b-c| \le D
\Big )
\quad \nrightarrow \quad
|a-c| \le D
</math>
ez da betetzen eta.
Aldi berean <math>a</math> eta <math>b</math>-ren arteko distantzia eta <math>b</math> eta <math>c</math>-ren arteko distantzia <math>D</math> baino handiagoak ez izateak ez du ziurtatzen <math>a</math> eta <math>c</math>-ren arteko distantzia <math>D</math> baino handiagoak ez izatea. Distantzien araberako zenbakiren arteko lotura-erlazio honek ez du ezartzen euren artean inolako baliokidetasunik baina, euren arteko lotura bat bai.
==== Multzo aurreordenatuak ====
{{sakontzeko|Multzo aurreordenatu}}
Erlazio bitar homogeneo batek multzo bati multzo aurreordenatuko egitura ematen dio propietate erreflexiboa eta iragankorra dituenean.
{{teorema|<math>A</math> multzoaren elementuen arteko <math>
R =
\{
(a,b)\in \; A^2
: \quad
R(a,b)
\}
</math> erlazio bitar homogeneoak <math>A</math> multzoari '''multzo aurreordenatu'''ko egitura ematen dio hurrengo propietateak dituenean:
1.- Propietate erreflexiboa: <math> \forall a \in A : \; (a,a) \in R</math>
2.- Propietate iragankorra: <math> \forall a, b, c \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,c) \in R \Big ) \longrightarrow \quad (a,c) \in R</math>
}}
==== Baliokidetasun-erlazioak ====
{{sakontzeko|Baliokidetasun-erlazioa}}
Erlazio bitar homogeneo bat baliokidetasun-erlazioa da propietate erreflexibo, simetriko eta iragankorra dituenean:<ref>{{erreferentzia|abizena=Gutiérrez Gómez|izena=Andrés|coautores=García Castro, Fernando|izenburua=Álgebra lineal|edizioa=1|urtea=1981|argitaletxea=Ediciones Pirámide, S.A.|hizkuntza=es|isbn=978-84-368-0174-3|capítulo=2.3. Relaciones de equivalencia|páginas=74}}</ref>
{{teorema|<math>A</math> multzoaren elementuen arteko
<!--<math> R = \{(a,b)\in \; A^2 : \quad R(a,b) \} </math>-->
<math> R = \{(a,b)\in A^2\; : \quad R(a,b)\} </math>
erlazio bitar homogeneoa '''baliokidetasun-erlazio'''a da hurrengo propietateak dituenean:
1.- Propietate erreflexiboa: <math> \forall a \in A : \; (a,a) \in R</math>
2.- Propietate simetrikoa: <math> \forall a,b \in A : \; (a,b) \in R \longrightarrow (b,a) \in R</math>
3.- Propietate iragankorra: <math> \forall a, b, c \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,c) \in R \Big ) \longrightarrow (a,c) \in R</math>
}}
Baliokidetasun-erlazio batek <math>A</math> multzoa '''baliokidetasun-klase'''tan zatitzen du; haien elementu guztiak elkarrekin erlazionatuta dauden eta beste klase batzuetako elementuekin erlazionatuta ez dauden elementuz osatutako azpimultzotan. Azpimultzo horiek elkarrekin disjuntuak dira eta haien bilkura <math>A</math> da. Ikus dezagun adibide bat:
[[Aritmetika modular]]rean zenbaki arrunten arteko kongruentzia-erlazioa definitzen da, zenbaki bi <math>n</math> modulu batentzat kongruenteak direla definituz zenbaki biak modulu horrekin zatitzean hondar bera geratzen denean.
<!--
: <math> 5 \mathit{\; M \acute{o} d \;} 2 = 1</math>
: <math> 6 \mathit{\; Mod \;} 3 = 0</math>
: <math> 7 \mathit{\; Mod \;} 3 = 1</math>-->
: <math>
8 \equiv 17 \quad ( \mathit{ Mod \;} 3)
</math>
8 eta 17 kongruenteak dira 3 moduluarentzat, hiruz zatikatzean kasu bietan hondarra 2 delako.
Zenbaki arrunten '''n''' graduko modulu-kongruentzia baliokidetasun-erlazioa da, erreflexiboa:
: <math>
\forall a \in \N : \;
a \equiv a \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n)
</math>
simetrikoa:
: <math>
\forall a, b \in \N : \;
a \equiv b \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n)
\longrightarrow \quad
b \equiv a \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n)
</math>
eta iragankorra:
: <math>
\forall a, b, c \in \N : \;
\Big (
a \equiv b \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n)
\quad \land \quad
b \equiv c \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n)
\Big )
\longrightarrow \quad
a \equiv c \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n)
</math>
baita.
==== Multzo partzialki ordenatuak ====
{{sakontzeko|Multzo partzialki ordenatu|Hasseren diagrama}}
Multzo bat erlazio bitar homogeneo batez partzialki ordenatua dago erlazio horrek propietate erreflexiboa, iragankorra eta antisimetrikoa baditu.
{{teorema|<math>A</math> multzoaren elementuen arteko <math> R = \{ (a,b)\in \; A^2 : \quad R(a,b) \}</math> erlazio bitar homogeneoak <math>A</math> multzoari '''multzo partzialki ordenatu'''ko egitura ematen dio hurrengo propietateak dituenean:
1.- Propietate erreflexiboa: <math> \forall a \in A : \; (a,a) \in R</math>
2.- Propietate iragankorra: <math> \forall a, b, c \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,c) \in R \Big ) \longrightarrow \quad (a,c) \in R</math>
3.- Propietate antisimetrikoa: <math> \forall a,b \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,a) \in R \Big ) \longrightarrow \quad a = b</math>
}}
==== Ordena osoak ====
{{sakontzeko| Ordena osoa}}
Partzialki ordenatua dagoen <math>A</math> multzo bat guztiz ordenatuta dago haren elementuen arteko erlazioak propietate erreflexiboa, iragankorra eta antisimetrikoa izateaz gain, osotasun-propietatea ere duenean.
{{teorema|<math>A</math> multzoaren elementuen arteko <math> R = \{ (a,b)\in \; A^2 : \quad R(a,b) \}</math> erlazio bitar homogeneoak <math>A</math> multzoari '''ordena osoko'''ko egitura ematen dio hurrengo propietateak dituenean:
1.- Propietate erreflexiboa: <math> \forall a \in A : \; (a,a) \in R</math>
2.- Propietate iragankorra: <math> \forall a, b, c \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,c) \in R \Big ) \longrightarrow \quad (a,c) \in R</math>
3.- Propietate antisimetrikoa: <math> \forall a,b \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,a) \in R \Big ) \longrightarrow \quad a = b</math>
4.- Osotasun-propietatea: <math> \forall a, b \in A : \; (a,b) \in R \quad \lor \quad (b,a) \in R</math>
}}
Esate baterako, [[zenbaki oso]]en <math>\Z</math> multzoan '''baino handiagoa edo berdina''' erlazio bitarra ordena osoko erlazioa da, hurrengo baldintzak betetzen direlako
: <math> \forall a \in \Z : \; a \le a</math> (propietate erreflexiboa)
: <math> \forall a, b, c \in \Z : \; \Big ( a \le b \quad \land \quad b \le c \Big ) \longrightarrow \quad a \le c</math> (propietate iragankorra)
: <math> \forall a, b \in \Z : \; \Big ( a \le b \quad \land \quad b \le a \Big ) \longrightarrow \quad a = b</math> (propietate antisimetrikoa)
: <math> \forall a, b \in \Z : \; a \le b \quad \lor \quad b \le a</math> (osotasun-propietatea)
==== Multzo ondo ordenatuak ====
{{sakontzeko|Multzo ondo ordenatua}}
Ordena osoko <math>A</math> multzo bat '''multzo ondo ordenatua''' da haren elementuen arteko erlazioa propietate erreflexibo, iragankor, antisimetriko eta osotasunekoaz hornitua izateaz gain, erlazio ondo sortua denean.
{{teorema|
Haren elementuen artean <math>
R =
\{
(a,b)\in \; A^2
: \quad
R(a,b)
\}
</math> erlazio bitarra duen <math>A</math> multzo bat '''multzo ondo ordenatu'''a da erlazioak hurrengo propietateak dituenean:
1.- Propietate erreflexiboa: <math>
\forall a \in A : \;
(a,a) \in R
</math>
2.- Propietate iragankorra: <math>
\forall a, b, c \in A : \;
\Big (
(a,b) \in R
\quad \land \quad
(b,c) \in R
\Big )
\longrightarrow \quad
(a,c) \in R
</math>
3.- Propietate antisimetrikoa: <math>
\forall a,b \in A : \;
\Big (
(a,b) \in R
\quad \land \quad
(b,a) \in R
\Big )
\longrightarrow \quad
a = b
</math>
4.- Osotasun-propietatea: <math>
\forall a, b \in A : \;
(a,b) \in R
\quad \lor \quad
(b,a) \in R
</math>
5.- Erlazioa ondo sortua da: <math>
\forall B \subset A
\; , \quad
\exists m \in B
\; : \quad
\forall b \in B
\; \land \;
b \ne m
\; : \quad
(b,m) \notin R
</math>
}}
== Erlazio bitar heterogeneoak ==
{{sakontzeko|Korrespondentzia matematiko}}
[[Fitxategi:Correspon 0102.svg|180px|right]]
A eta B multzoen arteko erlazio bitar bat heterogeneo dela esaten da A eta B multzoak ezberdinak direnean:
: <math>
R (a,b): \;
(a,b) \in A \times B
\quad \land \quad
A \ne B
</math>
Korrespondentzia (matematiko) ere, deitzen zaio.<ref>{{erreferentzia
|url= http://www.eui.upm.es/~jjcc/alg200809personal/material/Imprimir_Tema_I_ALG_MD.pdf
|izenburua= ÁLGEBRA Curso 2008/09
|sartze-data= 2010
|egilea= José Juan Carreño Carreño
|urtea= 2008
|mes= 10
|formatua= pdf
|orrialdeak= 12
|hizkuntza= es
}}</ref><ref>{{erreferentzia|izenburua=Notas de álgebra|editor=1|argitaletxea=Universidad Politécnica de Valencia. Servicio de Publicaciones|urtea=2004|hizkuntza=es|isbn=978-84-9705-623-6|orrialdeak=18}}</ref>
=== Erlazio bitar heterogeneoen motak ===
{{Korrespondentzia matematikoen motak}}
Erlazio bitar heterogeneoen artean hurrengo motak bereiz ditzakegu:
<br clear=all>
==== Korrespondentzia uníbokoak ====
{{sakontzeko|korrespondentzia uníboko}}
==== Korrespondentzia biuníbokoak ====
{{sakontzeko|Korrespondentzia biuníboko}}
Korrespondentzia bat biuníbokoa da (edo bana-banakoa) irudi bakarreko eta aurreirudi bakarreko baldintzak betetzen direnean:
==== Aplikazioak ====
{{sakontzeko|Aplikazio matematiko}}
<math>A</math> eta <math>B</math> multzoen arteko <math>
R: A \rightarrow B
</math> korrespondentzia bati '''aplikazioa''' deitzen zaio <math>A</math>ren <math>a</math> elementu guztiek <math>b</math> irudi bakar bat badute <math>B</math> irudi-multzoan,<ref> {{erreferentzia |url= http://www.eui.upm.es/~jjcc/alg200809personal/material/Imprimir_Tema_I_ALG_MD.pdf |título= ÁLGEBRA Curso 2008/09 |añoacceso= 2010 |autor= José Juan Carreño Carreño |año= 2008 |mes= 10 |formato= pdf |páginas= 13 |idioma= español }}</ref><ref> {{erreferentzia |url= http://dmaii.etsii.upm.es/~mlopez/pdfs/a1tema1-0506.pdf |izenburua= Algebra I |sartze.data= 2013 |egilea= Mario López Gómez |urtea= 2005 |mes= 9 |formatua= pdf |orrialdeak= 5 |hizkuntza= es }} </ref><ref>{{erreferentzia|izenburua=Notas de álgebra|editor=1|argitaletxea=Universidad Politécnica de Valencia. Servicio de Publicaciones|urtea=2004|hizkuntza=es|isbn=978-84-9705-623-6|orrialdeak=18}}</ref><ref>{{erreferentzia|izenburua=Matemática discreta|abizena=Gregori Gregori|izena=Valentín|abizena2=Ferrando|izena2=J. C.|argitaletxea=Editorial Reverté, S.A.|urtea=2011|edizioa=8|hizkuntza=es|isbn=978-84-291-5179-4|orrialdeak=48}}</ref><ref>{{erreferentzia|izenburua=Problemas de matemática discreta|abizena=Alegre Gil|izena=Carmen|abizena22=Martínez Pastor|izena2=Ana|abizena3=Pedraza Aguilera|izena3=M Carmen|argitaletxea=Universidad Politécnica de Valencia. Servicio de Publicaciones.|urtea=1997|edizioa=1|hizkuntza=es|isbn=978-84-7721-495-3|orrialdeak=189}}</ref><ref>{{erreferentzia|izenburua=Álgebra moderna|abizena=Ayres|izena=Frank|argitaletxea=McGraw-Hill|urtea=1992|edizioa=1|hizkuntza=es|isbn=968-422-917-8|orrialde=6}}</ref>.
==== Aplikazio injektiboak ====
{{sakontzeko|Aplikazio injektibo}}
==== Aplikazio supraiektiboak ====
{{sakontzeko|Aplikazio supraiektibo}}
==== Aplikazio bijektiboak ====
{{sakontzeko|Aplikazio bijektibo}}
Korrespondentzia bat aplikazio bijektiboa da irudi bakarreko, irudien existentziaren, aurreirudi bakarreko eta aurreirudien existentziaren baldintzak betetzen badira:
Aplikazio bat bijektiboa da aldi berean injektiboa eta supraiektiboa bada.
== Propietateak ==
Erlazio bitarrek hurrengo propietateak izan ditzakete, baina ez dituzte nahitaez izan behar. Dituzten propietateen arabera ''R'' erlazioak izan litezke:
{|
| [[Erlazio simetriko]]a
| <math> \forall a,b\in A,\; (a,b)\in R \Rightarrow (b,a)\in R </math>
|-
| [[Erlazio antisimetriko]]a
| <math> \forall a,b\in A,\; (a,b)\in R \; \land \; a \neq b \Rightarrow (b,a) \notin R </math>
|-
| [[Erlazio erreflexiboa]]
| <math> \forall a\in A,\; (a,a)\in R </math>
|-
| [[Erlazio irreflexibo]]a
| <math> \forall a\in A,\; (a,a)\notin R </math>
|-
| [[Erlazio iragankor]]ra
| <math> \forall a,b,c\in A,\; (a,b)\in R \; \land \; (b,c)\in R \Rightarrow (a,c)\in R </math>
|-
| [[Erlazio iragangaitz]]a
| <math> \forall a,b,c\in A,\; (a,b)\in R \; \land \; (b,c)\in R \Rightarrow (a,c)\notin R </math>
|-
| [[Erlazio zirkular]]ra
| <math> \forall a,b,c\in A,\; (a,b)\in R \; \land \; (b,c)\in R \Rightarrow (c,a)\in R </math>
|-
| [[Erlazio oso]]a
| <math> \forall a, b \in A: \quad a R b \quad \or \quad b R a </math>
|}
== Ikus, gainera ==
{{Matematika-erlazioak}}
* [[Ordena-teoria]]
== Erreferentziak ==
{{erreferentzia zerrenda}}
=== Bibliografia ===
liburuak<ref>{{erreferentzia|abizena=González Gómez|izena=Antonia|izenburua=Álgebra lineal|urtea=2009|mes=6|argitaletxea=Fundación Conde del Valle de Salazar|hizkuntza=es|isbn=978-84-96442-28-3}}</ref>
<ref>{{erreferentzia|abizena=Baquerizo Azofra|izena=Clara|izenburua=Matemática discreta y álgebra lineal|edizioa=1|urtea=2008|mes=4|argitaletxea=Martín Gómez, Emilia|hizkuntza=es|isbn=978-84-612-3787-6}}</ref>
<ref>{{erreferentzia|abizena=Climent Coloma|izena=Joan Josep|izenburua=Álgebra. Teoría de conjuntos y estructuras algebraicas|edizioa=1|urtea=2001|mes=6|argitaletxea=Editorial Club Universitario|hizkuntza=es|isbn=978-84-8454-081-6}}</ref>
<ref>{{erreferentzia|abizena=Gutiérrez Gómez|izena=Andrés|coautores=García Castro, Fernando|izenburua=Álgebra lineal|edición=1|urtea=1981|argitaletxea=Ediciones Pirámide, S.A.|hizkuntza=es|isbn=978-84-368-0174-3}}</ref>
<ref>{{erreferentzia|abizena=Losada Rodríguez|izena=Ramón|izenburua=Análisis matemático|urtea=1978|mes=7|argitaletxea=Ediciones Pirámide, S.A.|hizkuntza=es|isbn=978-84-368-0096-8}}</ref>
<ref>{{erreferentzia|abizena=Losada Rodríguez|izena=Ramón|izenburua=Conjuntos Álgebra Lineal|edición=2|urtea=1973|mes=9|hizkuntza=es|isbn=978-84-400-6592-6}}</ref>
{{erreferentzia zerrenda}}
=== Kanpoko loturak ===
* [http://webs.uvigo.es/matematicas/campus_vigo/cursos03-04/Relacions/apuntes2.pdf Relaciones binarias]
* [http://eneayudas.cl/index.php?option=com_content&task=view&id=103&Itemid=132 Relaciones binarias]
* [http://www.eui.upm.es/~jjcc/alg200809personal/material/Imprimir_Tema_I_ALG_MD.pdf Conjuntos, aplicaciones y relaciones binarias.]
* [http://www.edicionsupc.es/ftppublic/pdfmostra/IN01206M.pdf Relaciones binarias y grafos]
* [http://www.fing.edu.uy/~webimerl/discreta1/material/relaciones.pdf Relación]
[[Kategoria:Matematika-erlazioak|Bitarra]]
| |||