Ostolaza Zubia

Polinomio irreduzible

Eraztunen teorian, $K$ gorputza izanik, $p(x)\in K[x]$ polinomio ez-nulu bat irreduziblea dela diogu baldin eta honako polinomioaren edozein faktorizaziotan $p(x)=q(x)r(x)$ berdintzako $q(x)$ eta $r(x)$ polinomioetako bat unitatea bada. Hau da, ez badira existitzen $q(x),r(x)\in K[x]$ zeinek $p(x)$ polinomioaren maila baino maila hertsiki txikiagoa duten eta $p=r\cdot q$ betetzen den. Beraz, $r\in R$ edo $q\in R$ da derrigor; beste era batera esanda, bietako bat polinomio konstante bat izango da. Kontrako kasuan, $p(x)$ polinomio erreduziblea dela esaten da.

Erreduzible izatea edo ez gorputzaren arabera aldatzen da eta $K$ gorputza, $\scriptstyle \mathbb {R}$ zenbaki errealen multzoa, $\scriptstyle \mathbb {C}$ zenbaki konplexuen multzoa, $\scriptstyle \mathbb {Q}$ zenbaki arrazionalen multzoa edo $\scriptstyle \mathbb {Z}$ zenbaki osoen multzoa (eraztuna) izan daiteke.

Adibideak

Ondorengo bost polinomioek polinomio erreduzible eta irreduzibleen oinarrizko ezaugarri batzuk erakusten dizkigute, definiturik dauden eremuaren arabera:

$p_{1}(x)=x^{2}+4x+4\,=(x+2)(x+2)$,

$p_{2}(x)=x^{2}-4\,=(x-2)(x+2)$,

$p_{3}(x)=x^{2}-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3)$,

$p_{4}(x)=x^{2}-2\,=(x-{\sqrt {2}})(x+{\sqrt {2}})$,

$p_{5}(x)=x^{2}+1\,=(x-i)(x+i)$.

• $\scriptstyle \mathbb {Z}$ zenbaki osoen eraztunaren gainean, lehen bi polinomioak erreduzibleak dira, baina azken hirurak irreduzibleak dira.
• $\scriptstyle \mathbb {Q}$ zenbaki arrazionalen gorputzaren gainean, lehen hiru polinomioak erreduzibleak dira, baina azken biak irreduzibleak dira.
• $\scriptstyle \mathbb {R}$ zenbaki errealen gorputzaren gainean, lehen lau polinomioak erreduzibleak dira, baina azkena irreduziblea da.
• $\scriptstyle \mathbb {C}$ zenbaki konplexuen gorputzaren gainean, bost polinomioak erreduzibleak dira. Izan ere, $\scriptstyle \mathbb {C}$-n polinomio ez konstante bakoitza, faktore linealetan faktorizatu daiteke:

$p(z)=a_{n}(z-z_{1})(z-z_{2})\cdots (z-z_{n})$

non $a_{n}$ polinomioaren koefiziente nagusia den eta $z_{1},\ldots ,z_{n}$ $p(x)$-ren erroak diren. Beraz, polinomio irreduzible guztiak 1 mailakoak dira.

Irreduzibilitate irizpideak

Polinomio bat irreduziblea den edo ez frogatzeko hainbat irizpide erabil daitezke, horien artean, erredukzio irizpidea, Gauss-en lema eta Einstein-en irizpidea aurki ditzakegu.

Lehen mailako polinomioak

Irreduzibleak dira beti, $p(x)=q(x)r(x)$ bada, $deg(p)=deg(q)+deg(r)$ delako eta $deg(p)=1$ denez eta $deg(q),deg(r)\geq 1$ izan behar duenez, ez da posible.

Bigarren edo hirugarren mailako polinomioak

Baldin eta $deg(p)=2$ edo $deg(p)=3$ bada, orduan $p(x)$ irreduziblea da $K$-ren gainean baldin eta soilik baldin ez badu errorik.

$Q$ gorputzeko erroak

Baldin eta $P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}\in Z[x]$ bada eta $deg(p)\geq 2$ bada, orduan $P(x)$-k $Q$-n $\alpha =r/s$ erroren bat izatekotan $zkh(r,s)=1$ izanik, derrigorrez, $r|a_{0}$ eta $s|a_{n}$ izan behar du.

Gaussen lema

Baldin eta $p(x)\in Z[x]$ bada, orduan $Q[x]$-n $p(x)$ polinomioa $q(x),r(x)\in Q[x]$ maila txikiagoko bi polinomio ez-konstanteren biderkadura gisa adieraz daiteke, baldin eta soilik baldin $q_{0}(x),r_{0}(x)\in Z[x]$-ko maila txikiagoko bi polinomio ez-konstanteren biderkadura gisa adieraz badaiteke. Hau da, $Z$ eta $Q$-n irreduzible izatea baliokidea da.

Einseinstein-en irizpide orokortua

Baldin eta $P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}\in Z[x]$ bada, $p\in N$ zenbaki lehena bada, eta

• $p|a_{0},p|a_{1},...,p|a{\scriptstyle {\text{r-1}}}$ non $1\leq r\leq n$
• $p^{2}\nmid a_{0}$
• $p\nmid a_{r}$

Orduan $p(x)$-k $Z[x]$ eraztunean $r$ edo $r$ baino maila handiagoko faktore irreduzible bat dauka. Bereziki, $r=n$ bada, $p(x)$ irreduziblea da $Q[x]$-ren gainean.