Serie konbergentea bere gaien batura partzialen segidak limite finitua duen seriea da; kasu horretan, serieak batura finitua du, batura partzialen segidaren limitea hain zuzen[1].

Definizio formala

aldatu

Kontuan hartutako serieak zenbakizkoak (termino erreal edo konplexuekin) edo bektorialak (eratutako espazio bektorialean balioekin) dira. Termino orokorraren serieak   bat egiten du batuketa partzialen segidak bat egiten duenean.

 

Kasu honetan, seriearen batura batura partzialen segidaren limitea da.

 

Serie baten konbergentzia edo ez konbergentzia izaera ez da aldatzen seriearen termino-kopuru finitu bat aldatzen bada.

Adibideak

aldatu

Konbergenteak dira sekuentzien serieak:

  • Zenbaki oso bakoitietako elkarrekikoak, zeinuak tartekatuta dituztenak  . Leibnizen serie bezala ezagutzen dira:

 

 

 

 

  • 2ren potentzien elkarrekikoak:

 

  • 2ren berreturen elkarrekikoak, zeinu txandakatuekin:

 

 

  • Zeinu txandakatuak dituzten zenbaki naturalen elkarrekikoak  :

 

Dibergenteak dira sekuentzien serieak:

  • Zenbaki naturalen elkarrekikoak, serie harmonikoa bezala ezagutua dena  :

 

  • Zenbaki lehenen elkarrekikoak  :

 

Konbergentzia absolutua

aldatu

  seriea absolutuki konbergentea dela diogu baldin eta termino orokorraren seriea   konbergentea bada. Kasu honetan   serieak bat egiten du.

Erabateko konbergentzia oso interesgarria da Banachen espazio batean balioak dituzten serieak aztertzeko (horixe da zenbaki-serieen kasua), non nahikoa baita serieak erabateko konbergentzia izatea bat egiten duela frogatzeko. Teknika horri esker, kasu askotan, termino positiboen serieetan soilik egin daiteke azterketa; horretarako, metodo ugari daude.

Gai positiboko serieen konbergentziarako-irizpideak

aldatu

Konparazio irizpidea: izan bitez   eta   gai positiboko serieak,   izanik. Orduan:

  •   konbergentea bada,   ere konbergentea da.
  •   dibergentea bada,   ere dibergentea da.

Limitearen irizpidea: izan bitez   eta   gai positiboko serieak,   izanik   guztietarako. Izan bedi  .

  •   denean,   konbergentea da baldin eta soilik baldin   konbergentea bada.
  •   denean,   konbergentea bada,   ere konbergentea da.
  •   denean,   dibergentea bada,   ere dibergentea da.

D'Alamberten irizpidea: izan bedi   seriea gai positiboko seriea eta demagun   limitea existitu egiten dela. Orduan:

  • l < 1 bada, orduan   konbergentea da.
  • l > 1 bada, orduan   dibergentea da.

Raaberen irizpidea: izan bedi   gai positiboko seriea, zeinetarako   den, eta izan bedi  . Orduan:

  • l >1 edo l =   bada, orduan   konbergentea da.
  • l <1 bada, orduan   dibergentea da.

Cauchyren irizpidea edo erroaren irizpidea: izan bedi   gai positiboko seriea eta demagun   limitea existitzen dela. Orduan:

  • l < 1 bada, orduan   konbergentea da.
  • l >1 bada, orduan   dibergentea da.

Integralaren irizpidea: Izan bedi f funtzio positiboa eta beherakorra [1, + ) tartean. Izan bedi  ,   guztietarako. Orduan   konbergentea da baldin eta soilik baldin   existitzen bada eta finitua bada.

Erreferentziak

aldatu
  1. Elhuyar Zientzia eta Teknologiaren Hiztegi Entziklopedikoa. Serie konbergente. .

Kanpo estekak

aldatu