San Petersburgo paradoxa

San Petersburgo paradoxa erabaki teorian agertzen den paradoxa bat da, zori-joko batean probabilitate ezberdinekin gertatzen diren irabaziei buruzkoa. Kalkulu matematiko batek itxarondako irabazia infinitua dela erakusten du, baina aldi berean inork ez luke diru kopuru handirik emango jokoan parte hartzeagatik. Paradoxaren azaltzeko pertsonek kopuruak baino utilitateak baloratzen dituztela baieztatu da. Daniel Bernoulli matematikaria izan zen ebazkizunaren soluzioa eta paradoxaren azalpena eman zituena 1738 urtean, San Petersburgo hiriko zientzia-akademian eta hortik dator paradoxaren izena. Paradoxaren soluzioa Daniel Bernoulliri zor bazaio ere, Nicolas Bernoulli izan zen ebazkizuna asmatu zuena urte batzuk lehenago, probabilitateak ikertzen zituen Pierre Raymond de Montmort pertsonaiari bidaliko gutun batean.

Jokoa

Txanpon bat airera bota eta aurpegiko suertatzen bada, 1/2 probabilitateaz, 2 dukat irabazten da. Gurutzeko suertatzen bada, txanpona berriz ere bota eta bigarrenean aurpegiko suertatzen bada, (1/2)×(1/2)=1/4 probabilitateaz, 4 dukat irabazten da. Bigarren honetan, gurutzekoa suertatzen bada, hirugarren aldiz bota behar da txanpona eta aurpegiko suertatzen bada, (1/2)×(1/2)×(1/2)=1/8 probabilitateaz, 8 dukat irabazten da. Jokoa era horretan garatzen harik eta n-garren aldian aurpegikoa ateratzen den arte, (1/2)ⁿ probabilitateaz, eta 2ⁿ dukat irabaziz.

Aldi bakoitzean irabaziz gero, itxaron behar den irabazia dukat bakar batekoa da. Adibidez, bigarren aldian irabazita 4 dukat irabazten dira baina 4 dukat irabazteko probabilitatea 1/4 da eta, beraz, batez bestez aldi horretan 1 dukat irabaziko dela espero behar da. Jokoa infinituraino luza daitekeenez, jokoaren batez besteko irabazia hau da:

$I={\frac {1}{2}}\times 2+{\frac {1}{4}}\times 4+{\frac {1}{8}}\times 8+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}\times 2^{n}+\cdots =1+1+1+\cdots =\infty$

Paradoxa

Jokoak batez besteko irabazi infinitua izan arren, inork ez luke diru kopuru handirik ordainduko horretan jokatzeagatik.

Azalpen moduan, probabilitate txikiz gertatzen diren irabazi handiak baztertu egiten direla aipatu da. Izan ere, pertsonek diru-kopuruak baino, utilitateak baloratzen dituzte eta utilitatea beheraka doa probabilitatea zenbat eta txikiagoa den. Irabazien utilitate-funtzio moduan, logaritmoa erabili da. Horrela, aldi bakoitzean irabazien 10 oinarriko logaritmoa erabiltzen bada, batez besteko utilitatea 4 dukat ingurukoa litzateke. Beraz, jokalari batek gehienez 4 dukat ordainduko lituzkete jokoan parte hartzeagatik.

Kanpo estekak

• (Ingelesez) The St. Petersburg Paradox, Stanford Encyclopedia of Philosophy webgunean.

• Datuak: Q874375