Russellen paradoxa

Russell-en paradoxa» orritik birbideratua)

Russellen paradoxa Bertrand Russellek proposaturiko paradoxa bat da, Cantorrek eta Fregek aurkeztutako multzoen jatorrizko teoria kontraesankorra dela frogatzen du.

Demagun euren multzoaren parte diren multzoen adibideak. Adibide bat "ideia abstraktuez" osatutako multzoa da. Multzoa bere multzoaren kide da, multzoa bera ideia abstraktua baita. Beste adibide bat diruz beteriko poltsak dituen poltsa da. Bestalde, "liburuz" osatutako multzo bat ez da bere buruaren parte, multzoa bera ez baita liburua. Russellek galdetu zuen (Fregeri 1902an idatzitako gutunean) ea bere baitan ez dauden multzoen multzoa (hau da, bere baitan sartuta ez dauden multzo guztiak biltzen dituen multzoa, aurreko adibideko "liburuak", esaterako) bere baitan bilduta ote dagoen. Paradoxa honetan datza: bere buruaren parte ez bada, bere buruaren parte ez diren eta, beraz, bere buruaren parte diren multzo-motari dagokio. Hau da, bere buruaren parte izango da bakarrik bere buruaren parte ez bada.[1]

Paradoxaren enuntziatu formala aldatu

Dei diezaiogun   "kide gisa beren burua ez duten multzo guztien multzoari". Hau da:

(1)  

Cantorren multzoen teoriaren arabera, (1) ekuazioa honela adieraz daiteke:

(2)  

Hau da, "multzo bakoitza bere buruaren   osagaia da, bakarrik bere buruaren osagaia ez bada". Baina, multzo   bat denez, (2) ekuazioan   ordezka daiteke  rengatik, eta ekuazio horretatik hau lortzen da:

(3)  

Hau da,   izango da  ren elementu bat bakarrik   elementua ez bada  ren parte, eta hori zentzugabea da.

Erreferentziak aldatu

  1. J. Heijenoort: From Frege to Gödel, ed. Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts, 1967; pp. 124-125

Kanpo estekak aldatu