Artikulu hau objektu geometrikoari buruzkoa da; beste esanahietarako, ikus «Plano (argipena) ».
Geometrian , planoaren ekuazioak hiru dimentsioko espazioan plano bat osatzen duten puntu guztiak ditu soluzio. Adibidez x+y+z-6=0 planoko soluzio guztiak (besteak beste, (x=2,y=2,z=2), (x=3, y=2, z=1), (x=4, y=1, z=1) ) hiru ardatzeko diagrama kartesiar irudikatzen badira, plano bat sortuko da.
Plano bat zenbait eratara finka daiteke:
kolinealak edo zuzen berekoak ez diren hiru puntu emanez;
puntu bat eta planoarekiko normal edo elkarzuta izango den bektore baten bitartez;puntu bat eta planoaren norabidea emango duten bi bektore zuzentzaile eta elkarrekiko independente emanez.
Ekuazio bektoriala Aldatu
Planoko hiru puntuak
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
,
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
,
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0}),(x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2})\,}
u
=
(
u
1
,
u
2
,
u
3
)
=
(
x
1
−
x
0
,
y
1
−
y
0
,
z
1
−
z
0
)
{\displaystyle \mathbf {u} =(u_{1},u_{2},u_{3})=(x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0},z_{1}-z_{0})\,}
v
=
(
v
1
,
v
2
,
v
3
)
=
(
x
2
−
x
0
,
y
2
−
y
0
,
z
2
−
z
0
)
{\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2},v_{3})=(x_{2}-x_{0},y_{2}-y_{0},z_{2}-z_{0})\,}
Horrela, hau izango da planoaren ekuazio bektoriala:
x
=
(
x
,
y
,
z
)
=
x
0
+
λ
u
+
μ
v
=
=
(
x
0
,
y
0
+
z
0
)
+
λ
(
x
1
−
x
0
,
y
1
−
y
0
,
z
1
−
z
0
)
+
μ
(
x
2
−
x
0
,
y
2
−
y
0
,
z
2
−
z
0
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} =(x,y,z)&=\mathbf {x} _{0}+\lambda \mathbf {u} +\mu \mathbf {v} =\\&=(x_{0},y_{0}+z_{0})+\lambda (x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0},z_{1}-z_{0})+\mu (x_{2}-x_{0},y_{2}-y_{0},z_{2}-z_{0}).\end{aligned}}}
Planoko puntuak
λ
,
μ
{\displaystyle \lambda ,\ \mu \,}
Ekuazio parametrikoak Aldatu
Ekuazio bektoriala deskonposatuz eratzen dira ekuazio parametrikoak:
x
=
x
0
+
λ
(
x
1
−
x
0
)
+
μ
(
x
2
−
x
0
)
{\displaystyle x=x_{0}+\lambda (x_{1}-x_{0})+\mu (x_{2}-x_{0})\,}
y
=
y
0
+
λ
(
y
1
−
y
0
)
+
μ
(
y
2
−
y
0
)
{\displaystyle y=y_{0}+\lambda (y_{1}-y_{0})+\mu (y_{2}-y_{0})\,}
z
=
z
0
+
λ
(
z
1
−
z
0
)
+
μ
(
z
2
−
z
0
)
{\displaystyle z=z_{0}+\lambda (z_{1}-z_{0})+\mu (z_{2}-z_{0})\,}
Ekuazio bektorialean bezala,
λ
,
μ
{\displaystyle \lambda ,\ \mu \,}
(x,y,z) puntuak sortuko dira.
Ekuazio orokorra Aldatu
Ekuazio bektorialetik abiatuz, hau betetzen denez:
x
−
x
0
=
λ
u
+
μ
v
{\displaystyle \mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}=\lambda \mathbf {u} +\mu \mathbf {v} \,}
honako determinante honetan lehenengo zutabea bigarren zutabearen eta hirugarren zutabearen konbinazio lineala denez, determinantearen balioa 0 da:
|
x
−
x
0
x
1
−
x
0
x
2
−
x
0
y
−
y
o
y
1
−
y
0
y
2
−
y
0
z
−
z
0
z
1
−
z
0
z
2
−
z
0
|
=
0.
{\displaystyle \left|{\begin{array}{ccc}x-x_{0}&x_{1}-x_{0}&x_{2}-x_{0}\\y-y_{o}&y_{1}-y_{0}&y_{2}-y_{0}\\z-z_{0}&z_{1}-z_{0}&z_{2}-z_{0}\\\end{array}}\right|=0.}
Determinantea garatuz eta 0 baliora berdinduz, ekuazio orokor, kartesiar edo inplizitua lortzen da:
A
x
+
B
y
+
C
z
+
D
=
0
{\displaystyle Ax+By+Cz+D=0\,}
Planoko
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)\,}
x
,
y
{\displaystyle x,y\,}
aldagaiei balio erreal bat eman eta ondoren
z
{\displaystyle z\,}
Ekuazio normala Aldatu
Bitez
P
0
=
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle \mathbf {P} _{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})\,}
n
=
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)\,}
elkarzuta den bektore bat. Orduan,
P
=
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \mathbf {P} =(x,y,z)\,}
P
P
0
→
n
=
0
{\displaystyle {\vec {PP_{0}}}\mathbf {n} =0\,}
Garatuz, planoaren ekuazio normala lortzen da:
n
P
P
0
→
=
a
(
x
−
x
0
)
+
b
(
y
−
y
0
)
+
c
(
z
−
z
0
)
=
a
x
+
b
y
+
c
z
+
d
=
0
,
{\displaystyle \mathbf {n} {\vec {PP_{0}}}=a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=ax+by+cz+d=0\,,}
d
=
−
a
x
0
−
b
y
0
−
c
z
0
{\displaystyle d=-ax_{0}-by_{0}-cz_{0}\,}
Planoko
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)\,}
x
,
y
{\displaystyle x,y\,}
aldagaiei balio erreal bat eman eta ondoren
z
{\displaystyle z\,}
Beraz, ekuazio orokorrarekin alderatuz, ekuazio okorreko
A
,
B
,
C
{\displaystyle A,B,C\,}
bektore bat osatzen dute.
Kanpo estekak Aldatu 
Datuak: Q17285
Multimedia: Euclidean planes
