Ireki menu nagusia

Matematikaren historia

Matematikaren historia izenez ezagutzen den ikerketa-alorrean, bereziki, matematikan izan diren aurkikuntzen jatorria aztertzen da, baina, baita, neurri txikiagoan bada ere, metodo matematikoa eta iraganeko notazioak ere bai. Aro modernoa baino lehen, eta ezagutza mundu-mailan hedatu aurretik, oso leku gutxitan ageri dira garapen matematiko berrien adibide idatziak. K.a. 3000tik aurrera, Mesopotamiako zenbait estatutan (Sumer, Akad eta Asiria), Antzinako Egipton eta Eblan, aritmetika, aljebra eta geometria; zergetan, merkataritzan, trukeetan, astronomian, egutegiak egitean eta denbora erregistroan erabiltzen hasi ziren.

Al-Khwārizmī liburuko orri bat.

Eskuragarri dauden testu matematiko zaharrenak Mesopotamiakoak eta Egiptokoak dira – Plimpton 322 (Babilonia K.a. c.3000),[1] Ahmesen papiroa (Egipto K.a. c. 2000-1800)[2] eta Moskuko matematika-papiroa (Egipto K.a. c. 1890). Testu guzti hauek Pitagorasen hirukotea aipatzen dute eta, inferentziagatik, Pitagorasen teorema. Hau, oinarrizko aljebra eta geometria ostean, garapen matematiko zaharrena eta hedatuena dirudi.

K.a. VI. mendean matematikaren ikerketa "diziplina erakusle" bat bezala hasten da eskola pitagorikoarekin, zeina "matematika" terminoa sortu baitzuen antzinako grezieratik μάθημα (mathema), "aginduen irakasgaia"[3] esanahia duena. Greziako matematikak Matematika graziarrak metodoak asko hobetu zituen (bereziki, frogen arraziobide deduktiboaren eta zorroztasun matematikoaren sarreraren bidez) eta matematika irakasgaiaren materia azaldu zuen.[4] Nahiz eta matematika puruan ia ez zuten ekarpenak egin, antzinako erromatarrek matematika aplikatuak erabili zituzten lur-neurketan, egituren ingeniaritzan, ingeniaritza mekanikoan, liburu-eramailetzan, ilargi eta eguzki egutegien eraketan, artean eta artisautzan. Txinatako matematikak ekarpen goiztiarrak egin zituen, posizio-sistema bat eta zenbaki negatiboen lehen erabilera barne.[5][6] Zenbaki-sistema hindu-arabikoa eta honen eragiketak egiteko arauak, Indian zabaldu ziren K.o. I. mendean zehar eta Mendebaldera Muhammad ibin Mūsā al-Khwārizmī matematikari persiarraren lanaren bidez igorri ziren.[7][8] Arabiako matematikak, berriz, zibilizazio horien matematika garatu eta zabaldu zituen. Garaikide, baina horien tradizioekin mendekotasunik gabe, ziren Maien zibilizazioan (Mexiko eta Erdialdeko Amerika) garatutako matematikak, non zenbakikuntza maian zero kontzeptua sinbolo estandarizatu bat baitzuen.

XII. mendetik aurrera, latinera itzuli ziren testu matematiko greziar eta arabiar asko, Erdi Aroko Europako matematikak garapen handia izatera eraman zuena. Antzinatik Erdi Aroraino, aurkikuntza matematikoen periodoak askotan mendeetako geldialdiekin jarraituak egon ziren. XV. mendeko Italiako Pizkundean hasiz gaur egunera arte, garapen matematiko berriak, aurkikuntza zientifiko berriekin elkarri eraginez, egin izan dira hazkuntza esponentzial batekin. Honek barne hartze ditu, Isaac Newton-en eta Gottfried Wilhelm Leibniz-en lan berritzaileek eragindako garapena kalkulu diferentzialean XVII. mendean. XIX. mendearen bukaeran, Matematikarien Nazioarteko Biltzarra sortu zen eta alorreko aurrerapenen buru izaten jarraitzen du.


HistoriaurreaAldatu

Pentsaera matematikoaren jatorria zenbaki, magnitude eta forma kontzeptuetan dago. Animalien kognizioaren ikerketa modernoak erakutsi dute gizakiena soilik ez diren kontzeptuak direla. Horrelako kontzeptuak gizarte ehiztari/biltzaileen eguneroko bizitzan parte izan ziren. "Zenbaki" kontzeptua denboraz gradualki garatzenaren ideia aldetuta dago, "bat, "bi" eta "asko", baina ez bi baino handiagoak diren zenbakien, arteko bereizketa babestu duten hizkuntzen existentziatik.

Afrikan aurkitutako historiaurreko artefaktuak, 20000 urte baino gehiagoko antzinatasunarekin, denbora kuantifikatzeko ahalegin goiztiarrak adierazten dituzte. Ishangoren hezurra, Kongoko ipar-ekialdean Nilo ibaiaren iturburutik gertu aurkitu zena, 20000 urte baino gehiago izan ahal ditu eta hezurrak marka batzuk ditu zizelkatuta hiru zutabeetan antolatuta. Ishangoren hezurra adierazten duenaren ohiko bi interpretazioak dira: zenbaki lehenen segida baten kontaketa eta 6 hilabeteko ilargi egutegia.[9] Peter Rudman zenbaki lehenen garapena zatiketa kontzeptuaren ondoren gertatu behar izan zela eztabaidatzen du; zatiketa K.a. 10000 aurkitu bazen, segur aski zenbaki lehenak ez ziren ulertu K.a. 500 ingurura arte. "ez dira ahaleginik egin azaltzeko zergatik zerbaiten kontaketa bat 2ren multiploak, 10 eta 20 arteko zenbaki lehenak eta 10en multipoak ia diren zenbakiak erakutsi behar dituen" idatzi zuen.[10] Alexander Marshack-en jakitunaren arabera, Ishango hezurra seguruenik Egiptoko matematiken garapenean eragin zuen, Ishango hezurraren sarrera batzuk bezala, aritmetika egiptoarra 2ren biderketak erabil zituzten, hala ere, hau eztabaidan dago.[11]

K.a. V. milurteko historiaurreko egiptoarrak diseinu geometrikoak piktorikoki irudikatzen zituzten. Ingalaterran eta Eskozian K.a. III. milurteko antzinatasuneko monumentu megalitikoak haien diseinuan ideia geometrikoak eransten zituztela baieztatzen da, hala nola, zirkuluak, elipseak eta Pitagorasen hirukoteak.[12] Hala ere, aurreko guztia eztabaidan dago, eta gaur egungo dokumentu matematiko zaharrenak Babilonia eta Egiptoko dinastia iturrikoak dira.[13]

BabiloniaAldatu

 
Mesopotamiako taula, 2 zenbakiaren errokarratuaren hulbilketarekin.

Babiloniako matematikak babiloniarra Mesopotamiako (gaur egungo Irak) herritarrak egindako edozein matematikei buruzkoa da, Sumertarren lehen garaietatik helenismoan zehar ia kristautasunaren hasierara arte. Babiloniako matematika gehiena bi aro oso bereizitan eman zen: K.a. II. milurteko lehen ehunka urteak (Babiloniako lehen dinastia), eta K.a. I. milurteko azken ehunka urteak (Seleukotar Inperioa). Matematika babiloniarra deitzen zaio Babilonia ikerketa leku bezala eginkizun nagusia izan zuelako. Geroago Kalifatzaren azpian, Mesopotamia, Bagdad bereziki, Arabiako matematikentzako ikerketa leku garrantzitsua bilakatu zen berriro.

Babiloniako matematikatik daukagun ezagutza 1850etik aurrera aurkitu diren 400 buztin-taula baino gehiagotik eratorrita dago. Idazkera kuneiformean idatzita, taulak inskribatu ziren buztina umel zegoen bitartean, eta gero egosten zen labe batekin ala eguzkiaren beroarekin. Hauetako batzuk kalitatezko lanak direla dirudi.

Matematika idatzien ezagutzen den ebidentzia goiztiarrena antzinako sumertarrena da, Mesopotamiaren lehen zibilizazioa eraiki zutenak. K.a. 3000tik aurrera metrologia sistema konplexu bat garatu zuten. K.a. 2500 ingurutik aurrera, sumertarrak biderkatzeko taulak idatzi zituzten buztin-tauletan eta ariketa geometrikoaz eta zatiketa problemaz arduratu ziren. Zenbakikuntza babiloniarraren lehen aztarnak ere aro honetakoak dira.

Babiloniako matematikak zenbaki-sistema hirurogeitar batekin idatziak daude. Hemendik dator gaur egungo erabilera hauek: 60 segundo minutu batean, 60 minutu ordu batean eta 360 (60 x 6) gradu zirkulu batean. Segundoen eta minutuen erabilera graduen frakzioak adierazteko ere dator hemendik. Litekeena da sistema hirurogeitarra hautatu izatea 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 eta 30 zenbakiek 60 zatitu ahal baitute. Halaber, egiptoarrak, greziarrak eta erromatarrak ez bezala, babiloniarrak benetako posizio-sistema bat zuten, non ezkerreko zutabean idatzitako zifrak zenbaki handiagoak adierazten zuten, sistema dezimalean bezala. Zenbaki-sistema babiloniarraren gaitasuna zatikiak adierazteko eta biderkatzeko erraztasunean oinarritzen da. Zenbaki-sistema babiloniarra zibilizazio guztietatik hoberena izan zen Pizkundera arte, eta bere gaitasuna aparteko zehaztasun konputazionala lortzea baimendu zion; adibidez, YBC 7289 taula babiloniarra √2ren 5 hamartarreko hurbilketa ematen du. Babiloniarrak, ordea, ez zuten komaren baliokidea, horregatik askotan ikur baten lekua ondorioztatu behar zen testuingurutik. Seleukotar Inperiorako, babiloniarrak zero sinbolo bat garatu zuten posizio hutsen adierazle bezala; hala ere, soilik bitarteko posizioetan erabili zen. Zero sinbolo hau ez da agertzen muturretako posizioetan, hortaz, babiloniarrak benetako posizio-sistema bat garatzetik gertu egon ziren.

Babiloniako matematikak jorratutako beste gai batzuk zatikiak, aljebra, ekuazio koadratiko eta kubikoak eta zenbaki erregular erreziprokoen bikoteen kalkulua barne hartzen ditu. Taulak, orobat biderkatzeko taulak eta ekuazio linealak, koadratikoak eta kubikoak ebazteko metodoak zituzten, aipatzeko arrakasta dena garai horretarako. Babiloniako lehen dinastiaren taulak Pitagorasen teoremaren ezagutzen den lehenengo adierazpena ere daukate. Hala ere,Babiloniako matematikak ez du erakusten: soluzio zehatzak eta hurbilpenen arteko diferentzia, problemen ebazgarritasuna eta printzipio logiko edo frogen beharraren adierazpena.

EgiptoAldatu

 
Moskuko matematika-papiroa

Egiptoko matematikak egiptoeraz idatzitako matematikak dira. Antzinako Egipton gehien garatu zen zientzia arloa izan zen. Garai helenistikotik jakitunen hizkuntza idatzian egiptoeraren ordez greziera erabiltzen zen. Momentu hortik aurrera Egiptoko matematikak grekoekin eta babilonekoekin batu zen matematika helenikoa sortzeko bidea emanez. Geroago Egipton, matematiken ikerketa arabieren eraginpean jarraitu zuen Arabiako matematiken partez, arabiera jakitun egiptoarren hizkuntz idatzia bihurtu zenean.

Aurkitu den testu matematiko zaharrena Moskuko matematika-papiroa da, Egiptoko Inperio Ertainean K.a. 2.000-1.800 inguruan aurkitu zena. Beste testu zahar ugari bezala, gaur egun "hitzak dituzten problemak" edo "historia duten problemak" deitzen denaren datza, antza denez entretenitzeko asmoarekin. Enbor baten bolumena kalkulatzeko metodoa eskaintzen duen problema garrantzi berezia dauka: <<Esaten badizute: 6 altuera bertikala, bider 4 oinarrian (beheko oinarria) eta 2 goialdean (goiko oinarria) duen piramide-enbor (oinarri karratua duena). 4ren karratua egin eta 16 lortzen duzu. 4 bikoiztu eta 8 lortu. 2ren karratua egin eta 4 lortzen duzu. 16a, 8a eta 4a batu eta 28 lortzen duzu. 6ren herena hartu eta 2 lortzen duzu. 28a bi aldiz hartu eta 56 lortzen duzu. Begira, 56 da. Zuzena aurkituko duzu.>> Papiro honetan dagoen beste erregela multzo bat esfera baten bolumena kalkulatzeko da.

Rhind-en papiroa (K. a. 1650 inguruan) funtsezkoa den matematika-testua, aritmetikaren eta geometriaren eskuliburu bat da. Laburbilduz, azalerak kalkulatzeko formulak, biderketak eta zatiketak egiteko metodoak eta abar hornitzen ditu. Gainera, beste ezagutza matematiko batzuen frogak biltzen ditu, adibidez; zenbaki konposatuak, zenbaki lehenak, batezbesteko aritmetikoa, geometrikoa eta harmonikoa, zenbaki perfektuen teoria baita Eratostenes-en baheketaren azalpen erraza ere. Papiroak, lehen mailako ekuazio linealak, serie aritmetikoak eta serie geometrikoak ebazteko modua ere erakusten du.

Izan ere, Rhind-en papiroak biltzen dituen honako hiru elementu geometrikoak, geometria analitikoaren hastapenak erakusten dituzte: nola lortu pi zenbakiaren hurbilketa; zirkulua karratu batean bihurtzeko saiakera zaharra; eta ezagutzen den kotangente mota baten erabilera zaharrena. Une jakin batean, papiroak matematikari buruzko hausnarketa egiten du: "Natura aztertzeko eta existitzen den guztia, misterio oro, sekretu oro ulertzeko arauak".

Azkenik, Berlingo papiroak (K. a. 1300 inguruan) antzinako egiptoarrek ekuazio koadratikoak ebatz zezaketela erakusten du.

IndiaAldatu

Indiako matematiken aurrerapenen artean denbora handiko tarteak ematen dira.

Azpikontinente indiarreko lehenengo zibilizazioa; Indo haraneko Zibilizazioa da, K.a. 2600 eta K.a. 1900 urteen inguruan sortu zen Indus ibaiaren inguruan. Beraien hiriak egitura geometriko erregularrak erabiliz sortzen zituzten, gaur egunera ez zaizkigu zibilizazio honen dokumentu matematikorik ailegatu.

Indiako dokumentu matematiko zaharrenak Sulba Sutras (K.a. VIII. mendetik, K.o. II. mendeen bitartean datatua). Testu erlijiosoa da eta forma ezberdinetako aldareak eraikitzeko araua sinplea ematen ditu (karratuak, laukizuzenak, paralelogramoak… ). Sulba Sutra idatzian karratu baten neurriak ezagutuz, antzeko azalera duen zirkulu bat eraikitzeko metodoa deskribatzen da, honek π-ren hurbilpenak dakartza. Gainera, 2 zenbakiaren erro karratuaren zenbait dezimal kalkulatu, Pitagorasen laukiak zerrendatu eta Pitagorasen teoremaren adierazpen bat ematen du. Emaitza guzti hauek Babiloniaren matematiketan aurki daitezke, Mesopotamiako influentzia nabarmenduz. Ez dakigu zenbateraino eragin zuen Sulba Sutrak Indiako matematikarietan.

Panini K.a. V. mendean sanskrito erregelak formulatu zituen. erregela hauek idazteko erabili zuen notazioa, matematika modernoen notazio oso antzekoa izan zen. Paninik bere idazkietan meta erregelak, transformazio linealak eta errekurtsibitatea erabili zituen.

Pingalak (c. K.a. III-I. mendeetan) musika eta metriken liburu bat idatzi zuen. Bertan metrika musikalen konbinaziorako planteatzen duen ideia, Newtonen binomioaren teoremaren oinarrizko bertsio bat da. Gainera liburu honetan  Fibonacciren zenbakien oinarrizko ideiak agertzen dira, mātrāmeru  izenekoak.

Jainasko matematikariak (c. K.a. IV-I. mendeetan)  matematika ikertzen dute, aplikazio edo bestelako helbururik izan gabe. Beraiek izan ziren zenbaki transfinituak, talde teoria, logaritmoak, indizeen funtsezko legeak, ekuazio kubiko eta koadrikoak, segidak, permutazio eta konbinazioak, karratu eta erro karatuak eta berreketa finitu eta infinituak landu zituzten lehenengoak.

IV eta V. mendeetan Suria-siddhanta astronomia-hitzarmenetan lehenengo aldiz agertzen dira erlazio trigonometrikoak; sinu, kosinu eta arku kosinu funtzio trigonometrikoak eraikitzen ditu. Hitzarmen hau itzultzerakoan eta errore batzuen erruz jiya eta kojiya hitzak[14] sinu eta kosinu bilakatzen dira.

V. mendean Aryabhata zenbaki-sistema hamartarra garatu zuen lehenengo aldiz, baita ere sinuaren lehenengo taula trigonometriko garatu, aljebraren teknikak eta algoritmoak sortu, infinitesimalak lortu, ekuazio diferentzialak ebatzi eta π=3,14159265359 hurbilketa lortu.

VII. mendean Brahmagupta 0aren erabilpenak azaldu zituen.

XII. mendean Bhaskara II.a matematikaren adar ezberdinak landu zituen. Gaur egungo infinitesimal, deribatu, koefiziente diferentzial eta diferentziazioaren ideietara nahiko urbildu zen, baita ere Rolleren teorema ezarri zuen, Pellen ekuazioa eta sinuaren deribatua aztertu zituen.[15]

XII. mendetik aurrera Madhava Sangamagramakoa, Kerala eskolaren fundatzaileak, Madhava-Leibniz seriea aurkitu zuen, eta 21 termino erabiliz π=3,14159265359ra urbildu zuen. Mádhavak ere Madhava-Gregoryren seriea aurkitu zuen arku tangentearentzat eta Madhava-Newtonen berretura-seriea sinu eta kosinoarentzat.

Antzinako GreziaAldatu

Matematika helenikoa, edo matematika grekoa, K.a. 600. urtetik K.o. 300. urtera arte[16] grekoz idatzitako matematika da. Matematikari grekoak Ekialdeko Mediterraneotik sakabanaturiko hirietan bizi ziren, hizkuntza eta kultura komun baten bitartez elkartuak. Alejandro Handiaren ondoren egindako matematikei matematika helenistiko deitu ohi zaie.

Matematika grekoak aurreko herriek egindako matematikak baino sofistikatuagoak ziren. Matematika prehelenikoaren erregistro guztiek arrazoiketa induktiboaren erabilera erakusten dute; hau da, erregela orokorrak sortzeko zenbait behaketaren erabileran oinarritzen zen. Matematikari grekoek, aldiz, arrazoiketa deduktiboa erabiltzen zuten. Logikaz baliatuz, konklusioak edo teoremak ondorioztatzen zituzten; horretarako, definizioetatik edo axiometatik abiatuz.[17] Matematika axiometan oinarrituriko teorema multzo bat delako ideia Euklidesen "Elementuak" tratatuan dago azalduta.

Matematika grekoa Tales eta Pitagorasekin batera hasi zela uste da. Hala ere, eta matematikari horien eragina zenbaterainokoa izan zen eztabaidatu daitekeen arren, matematika grekoa egiptoar, mesopotamiar eta indiar matematikan dago oinarrituta.

Elezaharraren arabera, Pitagorasek Egiptora bidaiatu zuen matematika, geometria eta astronomia egiptoar apaizengandik ikasteko. Uste da Pitagoras izan zela haren izena daraman teoremaren lehenengo frogapenaren egilea; hala eta guztiz ere, teorema horren enuntziatuak istorio oso luzea dauka.[18] Talesek, bestalde, geometria erabili zuen zenbait problema ebazteko, hala nola piramideen altuera edota urertzaren eta ontzien arteko distantzia kalkulatzea. Proklok, Euclidesi buruz egin zuen iruzkinean, Pitagorasek bere izena daraman teorema adierazi zuela baieztatzen du, baita ere terna pitagorikoak aljebraikoki eraiki zituela geometrikoki baino. Platonen Akademiak goiburu bat zuen: “Ez dadila pasa geometria ez dakien inor”

Pitagorikoek zenbaki irrazionalen existentzia frogatu zuten. Eudoxiok exhauzio-metodoa garatu zuen, gaur egungo integrazioaren aurrekaria. Aristoteles izan zen logikaren arauak idazten lehenengoa. Euklidesek gaur egun erabiltzen den metodologia matematikoaren adibiderik goiztiarrena eman zuen, axiomak, frogapenak, teoremak eta problemak barneratuz. Konikak ere ikasi zituen. Bere “Elementuak” liburuak garaiko matematika osoa biltzen du. Bertan matematikaren funtsezko problema guztiak garatzen dira. Problema geometrikoez gain beste motatako problemak jorratzen dira, hala nola aritmetikoak, aljebraikoak eta analisi matematikoaren ingurukoak.

Geometriari buruzko ohiko teoremetaz aparte, hala nola Pitagorasen Teorema, “Elementuak” liburuan bi frogapen sartzen dira; batetan biaren erro karratua zenbaki irrazional bat dela frogatzen da eta bestean zenbaki lehenen kopuru infinitua jorratzen du. Eratostenesen Kriba zenbaki lehenen aurkikuntzarako erabili zen.

Siracusako Arkimedes exhauzio-metodoa erabili zuen parabola baten arkuaren behe-parteko gainazala kalkulatzeko serie infinitu baten batukari bat erabiliz eta pi-ren hurbilketa oso ona eman zuen. Espirala ere ikertu zuen, bere izena eman ziolarik, baita biraketa-gainazalen bolumenentzako formulak eta zenbaki oso handien adierazpenerako metodo oso burutsua ere.

Txina klasikoaAldatu

 
Arte matematikoari buruzko bederatzi kapituluak

Qin Shi Huang enperadoreak K.a. 212. urtean Qin estatutik kanpoko liburu guztiak erretzea agindu zuen. Agindua ez zuten guztiek bete, baina agindu horren ondorioz Antzinako Txinako matematikari buruz oso gutxi dakigu. Erreketari biziraun zion matematika libururik zaharrena I Ching-a izan zen, helburu filosofiko, matematiko eta mistikoekin trigramak eta hexagramak erabiltzen dituela. Objektu matematiko hauek lerro oso edo zatituez eraturik daude.

Geometriaren inguruko Txinako lanik zaharrena Moziren jarraitzaileek bildutako "Mo Jinga" dugu, zeinak fisikarekin erlazionatutako arlo askoren ingurukoak deskribatu zituen, baita matematika pixka bat eman ere.

Liburu erreketaren ondoren, Han dinastiak lan matematikoak sortu zituen. Hauen artean “Arte matematikoari buruzko bederatzi kapituluak” izan zen garrantzitsuena. Izenburu osoa K.o. 179. urtean agertu zen, baina lehenago existitzen zen beste izenburu batzuen atal gisa. Lan honetan 246 problema ikus ditzakegu, problema hauetan arlo desberdinak jorratzen direlarik, hala nola nekazaritza, negozioak, pagoden dimentsioak ezartzeko geometriaren erabilerak, ingeniaritza, lur-neurketa eta triangelu zuzenei eta pi-ari buruzko nozioak. Bolumenen gainean Cavalieriren printzipioa ere erabili zen Cavalierik mendebaldean formulatu baino mila urte lehenago. Pitagorasen teoremari buruzko probak sortu ziren, baita Gaussen eta Jordanen eliminazioaren formulazio matematikoa ere. Liu Huik lanaren inguruko iruzkina egin zuen III. mendean inguru.

Txinatarrek diagrama konbinatorio konplexuak erabili zituzten “lauki magikoa” edo “zirkulu magikoa” izenez ezagutuak, antzinako garaietan deskribatuak eta Yang Huik hobetuak. V. mendean Zu Chongzhik pi-ren balioaren kalkulua egin zuen zazpi dezimalekin, pi zenbakiaren baliorik zehatzena lortuz ia mila urtez.

JaponiaAldatu

Japonian garatzen den matematika Edo Aroan zehar mendebaldeko matematikaren independentea da. Aro honetan bizi izan zen Seki Kōwa matematikaria, wasanaren (japoniar matematika tradizionala) garapenean eragin handikoa izan zena. Bere aurkikuntzak (kalkulu integralaren ingurukoak, besteak beste) Gottfried Leibniz bezalako matematikari europear garaikideekiko aldiberekoak dira.

Garai horretako matematika japoniarra matematika txinatarrean inspiratzen da eta problema geometrikoei bideraturik dago. Sangaku izeneko zurezko tauletan, «enigma geometrikoak» proposatzen eta ebazten dira. Hortik dator, esate baterako, Soddy-ren seikotearen teorema.

Islamiar InperioaAldatu

Kalifatza, Persian, Ekialde Hurbilean, Erdialdeko Asian, Iparraldeko Afrikan, Iberiar penintsulan eta Indiako zati batzuetan finkatuta zegoena, VIII. mendean matematiketan gehikuntza adierazgarriak egin zituzten. Matematikako testu islamiar gehienak arabieraz idatzita egon arren, horietako gehienak ez zituzten arabiarrak idatzi. Grekoa zeukan estatusa mundu Helenistikoan bezala, Kalifatzan arabiera erabiltzen zen arabiarrak ez ziren jakitunen hizkuntza idatzia bezala. Persiarrak mundu matematikora gehikuntzak egin zituzten arabiarrekin batera.

IX. mendean Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī, matematikari persiarra, hainbat liburu garrantzitsu idatzi zituen zenbaki-sistema hindu-arabikoan eta ekuazioak ebazteko metodoetan. Bere liburua "Burutze eta orekatze bidezko kalkuluaz", 825 inguruan idatzita, Al-Kindi lanarekin batera, indiar matematika eta zenbakikuntza indiarra mendebaldera zabaltzeko lagungarriak izan ziren. Algoritmo hitza Algoritmi hitz latindarretik eratorri zen, eta aljebra hitza bere liburu baten izenburutik dator: "Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala" (euskeraz: "Burutze eta orekatze bidezko kalkuluaz"). Erro positiboen ekuazio koadratikoentzako soluzio aljebraikoaren azalpen sakona eman zuen; aljebra oinarrizko modu batean irakasten lehena izan zen."Sinplifikazio"-rako eta "orekatze"-rako funtsezko metodoaz hitz egin zuen, kendutako gaiaren lekualdaketa ekuazioaren beste aldera aipatuz, hau da, gai berdinen ezeztapena ekuazioaren aurkako aldeetan. Eragiketa hau da al-Khwārizmī-ek al-jabr bezala deskribatu zuena.

Egipton, Abu Kamil aljebra zenbaki irrazionalen multzora hedatu zuen, erro karratua eta laugarren erroa soluzio bezala eta ekuazio koadratikoentzako koefizienteak onartuz. Hiru aldibereko ekuazio ez-lineal hiru ezezagunekin ebazteko teknika garatu zuen. Honen lanaren ezaugarri esklusiboa zen: problema batzuen emaitza posible guztiak aurkitzen saiatu zela, problema baterako 2676 soluzio aurkitu zituen. Honen ikerketak aljebraren garapenerako oinarri garrantzitsu bat osatzen zuten, geroko matematikarietan eragin zuten, hala nola, Al-Karaji eta Fibonacci.

Aljebraren hurrengo garapenak Al-Karaji-gatik egin ziren Al-Fakhri tratatuan, non kopuru ezezagunen berretura osoak eta erro osoak gehitzeko metodologia zabaltzen duen. K.o. 1000 inguruan froga baten hurbil dagoen zerbait agertzen da Al-Karaji idatzitako liburu batean, zein Newtonen binomioa, Pascalen hirukia eta integral karratuen batuketa frogatu nahi baitzituen. Matematiken historialaria, F. Woepcke, Al-Karaji zoriondu zuen "kalkulu aljebraikoaren teoria aurkezten lehena" izateagatik. X. mendean ere, Abul Wafa Diofantoren obrak arabiarrera itzuli zituen. Ibn al-Haytham 4. berreturen batura egiteko formula lortzen lehena izan zen, erabili zuen metodoa erraz orokortu daiteke edozein zenbaki osoren berreturen baturentzako. Paraboloide baten bolumena aurkitzeko integrazio bat egin zuen, eta 4. mailako polinomioetaraino integralak orokortzeko gai izan zen. Beraz, polinomioen integralentzako formula orokortu bat aurkitzetik gertu egon zen, baina 4. maiatik gorako polinomioetan jakin mina ez zeukan.

XI. mendean, Omar Khayyam "Euclidesen zailtasunen eztabaida" idatzi zuen, liburu bat Euklidesen "Elementuak" lanean hautematen zituen akatsekin, batez ere Euklidesen 5. postulatua. Ekuazio kubikoen soluzio geometriko orokorra aurkitzen lehena izan zen eta egutegi erreforman eragin handia izan zuen.

XIII. mendean, Nasir al-Din Tusi-k trigonometria esferikoan aurrerapenak egin zituen. Honek ere Euklidesen 5. postulatuaren eragin handiko lana idatzi zuen. XV. mendean, Ghiyath Al-Kashi-k π balioaren neurketa 16. hamartarrera hurbildu zuen. Kashi-k n. erroak kalkulatzeko algoritmo bat ere eman zuen, zeina mende batzuk geroago Ruffini-k eta Horner-ek emandako metodoen kasu partikularra baitzen.

Arabiako matematiken beste lorpen batzuk garai honetan dira: komaren notazioaren gehikuntza zenbakikuntza arabiarrera, sinuaz gain funtzio trigonometriko guztien aurkikuntza, Al-Kindi-ren sarrera kriptoanalisira eta maiztasun analisira, Ibn al-Hayatham-ek geometria analitikoan egindako garapena, geometria aljebraikoaren hasiera Omar Khayyam-en partez eta al-Qalasādī-k egindako garapena notazio aljebraikoan.

Otomandar Inperioan eta Safaviden dinastian zehar XV. mendetik aurrera, Arabiako matematiken garapena gelditu zen.

MendebaldeaAldatu

Mendebaldean merkataritzak aljebraren eta zenbakien domeinuen erabilpenak, zenbaki irrazionalen normalizazioa. Baita ere erantzun negatiboak, kopuru irudikariak eta hirugarren mailako ekuazioak agertzen dira.

Erdi AroaAldatu

Erdi aroan gartutako matematika orden natural baten sinesmenak bultzatu zuen. Boeciok matematikak kurrikulumaren gaitasun moduan ezarri zuen VI. mendean Quadrivium hitza erabiliz; aritmetika, geometria, astronomia eta musikaren azterketa metodikoak biltzeko, bere "institutione arithmetica" liburuan. Liburu onetan autore ezberdinen itzulpenak aurkitzen ditugu, ezaterako Nicómacorenak. Liburu hau, erdi aroko matematikaren oinarri bihurtu zen, greziar eta arabiar lanak errekuperatu ziren arte.

XII. mendean, Italia eta Espainian, batez ere, arabiar testuak itzultzen dira eta greziarrak aurkitzen dira.[19] Toledo kultura eta itzulpenen erdigune bilakatzen da, Europako jakintsuak Espainiara eta Siziliara bidaiatzen dute literatura zientifiko arabiarraren bila. Itzuli ziren lanetatik garrantzitsuenak al-Khwārizmī ren Burutze eta orekatze bidezko kalkuluaz eta Euklidesen "Elementuak" izeneko liburua izan ziren.


Europatik arabiar mendebaldera irekitzen diren ibilbide berriek, Europari hazkunde ekonomiko eta komertziala dakar. Guzti honek merkatari europarrei arabiar kulturan transmititzen diren teknikak ikastea baliatzen du. Jakintza iturri berriek bultzada garrantzitsua ematen dio matematikari. Fibonaccik bere Liber Abaci liburua idazten du 1202-an, eta berriz editatua 1254-an, honek Europako lehenengo aurrerapen garrantzitsua dakar Zenbaki-sistema hindu-arabikoa: zenbaki arabiarrak (notazio dezimala, posizionala eta zero zenbakiaren erabilpen arrunta). "Quadrivium" liburuan teorikoki azaldua eta baita ere erabilpen komertzialari zuzendua. Jakintza hauek botteghe d'abbaco edo «abako eskoletan» irakasten zen, non maestriak aritmetika, geometria eta kalkulu metodoak irakasten zizkieten etorkizuneko merkatariei. Maisu hauek jakituria transmititzeko jolas-arazoak biltzen zituen «aljebra-hitzarmenak» izeneko liburua garatu zuten.

PizkundeaAldatu

XIV. mendea garapen bortitza jasan zuen matematikaren arloak[20], ezaterako mugimenduaren dinamikak. Thomas Bradwardinek proposatu zuen abiadura proportzio aritmetiko batean hazi egiten dela eta indarra erresistentziari proportzio geometriko batean hazi egiten den moduan. Bere emaitzak zenbait adibide zehatz erabiliz erakusten ditu, izan ere oraindik ez zegoen logaritmoa garatuta.[21] Berak egindako analisia Al-Kindi eta Arnau Vilanovakoa erabilitako teknika matematikoaren transmisioa nolakoa izan zen ikusteko balio du.

Garai onetako matematikariak ez zituzten kalkulu diferentzialaren edota limite matematikoaren kontzepturik, beraz ideia alternatiboak garatzen dituzte, batez ere zinematikako problemak kalkulatzen saiatzen dira. Honen adibidetzat daukagu Oxfordeko, Merton Collegeko kalkulariak, talde honek garatutako teoremarik garrantzitsuena batez besteko abiaduraren teorema izan zen. Teorema hau idazkera zinematiko eta sinpleago batean Galileoren gorputzen erorketa legearen oinarria izan zen.

Nicolas Oresmek eta Giovanni di Casalik, bakoitza bere kabuz, Galileoren gorputzen erorketa legearen frogapen grafiko batera heldu ziren.[22] Geroago Oresmek analisi zehatzago bat burutu zuen, onetan frogatu zuen gorputz guztiek denboren igarotzearekin, ezaugarri bat, zenbaki bakoitiak bezala hazi egiten dela. Euklidesen emaitza, zenbakien karratuak zenbaki bakoitien batura direla, erabiliz jasotako ezaugarria denboraren karratura hazi egiten dela ondorioztatzen zuen.

1494. urtean Luca Pacioli "Summa de Arithmetica, Geometría, Proportioni et Proportionalità" liburua idazten du. Liburu hau merkatari eta merkatari ikasleei zuzenduta zegoen, honetan kontabilitate eta notazio hitzarmenak sartzen ditu Paciolik, hala ere igarkizun eta buruhauste matematikoak aurkitzen ditugu bere barnean. "Summa de Arithmetica" liburua izan zen sinboloak erabili zituen lehenengo liburu inprimatua, eta honek notazioa finkatu zuen. Liburua hau lehenengo aljebra liburua deritzo, hala ere bertan dagoen aljebrarekiko gehiengoa Piero della Francesca matematikariaren lanetatik plagiatuta dago.

XVI. medearen lehenengo erdialdean, Scipione del Ferro eta Niccolò Fontana Tartaglia funtzio kubikoen emaitza konplexuak aurkitzen dituzte, ekuazioen ebazpenean lan egiten. Ostean Tartagliak berriro lan egin zuen gaiaren inguruan Bombellirekin batera. Gerolamo Cardano "Ars magna" liburua publikatu zuen, bertan Ferrariren, bere ikasle zenaren lan batekin, non 4. mailako ekuazioak ebazten dituen. 1572. urtean Rafael Bombellik "L'Algebra" liburua argitaratu zuen, bertan kopuru irudikariak erabiltzen irakasten du Cardanoren formulan 3.mailako ekuazioetan agertu daitezkeelako.

XVI. medearen amaieran arazo matematikoak ebazteko zailtasunak izaten jarraitzen dute. 1596. urtean kalkulu sinbolikoa agertzen da, François Vièteren "Isagoge Artem Analycitem" izeneko liburuaren argitalpenarekin. Bertan konstanteentzako eta bariableentzako notazioa ezartzen da. Vieteren lana Harriot, Fermat eta Descartesek zabaldu eta hobetzen dute eta guzti honek Europan garatuko den aljebra erabat aldatuko du.

Iraultza zientifikoaAldatu

Matematikak eremu fisiko eta teknikoan landuko da batez ere garai honetan. Isaac Newton ete Gottfried Leibniz kalkulu infinitesimala sortzen dute eta honekin analisi matematikoa, deribatua, integrazioa eta ekuazio diferentzialak agertzen dira. Hau guztia limitearen sorkuntzaren ondorioa da, matematikaren ideiarik garrantzitsuena kontsideratua. Hala ere limitearen formulazio zehatza ez zen XIX. mendera arte egin.[23]

XVIII. mendeko hasieran, Leonhard Euler izan zen nabarmendutako matematikari garrantzitzuena.[24] Funtzio matematiko eta zenbaki teorian egindako aurrerapenak izan ziren Eulerren ekarpen garrantzitsuenak.

Aurreko mendean martxan jarritako kalkulu infinitesimalak, matematikaren adar berri baten sorkuntza ekarri zuen, analisi aljebraikoa. Eulerrek infinitu txikien erabilpenen erregelak finkatzen ziatzen da baita ere integrazio metodoak eta ekuazio diferentzialen ebazpenak garatzen ditu bere "Calculi différentialis" (1755) y en "Institutiones calculi integralis" liburuetan. Garai honetan garrantzia handia izan zuten matematikarien artean; Jean le Rond d'Alembert eta Joseph-Louis Lagrange ditugu. 1797. urtean Sylvestre François Lacroix Traité du calcul différentiel et intégral liburua argitaratzen du, bertan XVIII. medeko analisi lanen sintesia egiten du. Bernoulli familia ekuazio diferentzialen ebazpenean aurrerapenak egiten ditu.

Matematika modernoaAldatu


XIX. mendeaAldatu

XIX. mendeko matematikaren historia oso aberatsa da. Zorroztasunaren kontua nagusitu zen eta hori analisi matematikoan islatu zen; Cauchy-ren lanetan, funtzioen teorian eta, bereziki, kalkulu diferentzial eta integralaren oinarrietan, hain zuzen ere. Gainera, mende hartan matematika lanbide gisa ikusten hasi zen, eta aurrez inoiz ikusi gabeko garrantzia hartu zuen. Aplikazioak azkar garatu ziren hainbat arlotan eta matematikak fisikaren arloa hartu zuen indarrez: beroaren, elektrizitatearen, magnetismoaren, fluidoen mekanikaren, elastikotasunaren eta zinetika kimikoaren fenomenoak matematika erabiliz azaltzen hasi ziren.

XIX. mendean zehar, matematikak abstraktuagoak bihurtu ziren. Carl Friedrich Gauss-en (1777-1855) lan iraultzaileak matematika puruan, aritmetikaren oinarrizko teoremaren eta  elkarrekikotasun koadratikoaren legearen lehenengo froga egokiak biltzen ditu baita beste ekarpen batzuk ere.

Mende hartan geometria ez euklideoa garatu zen eta geometria mota horretan, geometria euklideoaren paraleloen postulatua ez da baliozkoa. Nikolai Ivanovich Lobachevsky errusiar matematikariak eta haren lehiakidea János Bolyai hungariar matematikariak, bakarka ikasten eta definitzen dute geometria hiperbolikoa. Geroago, Bernhard Riemann matematikari alemaniarrak geometria eliptikoa garatu eta barietate diferentzialaren kontzeptua sarrarazi zuen (gaur egun Riemannen geometria deitzen dena).

Aljebra abstraktuan Hermann Grassmann-ek bektore-espazioaren lehen bertsioa egin zuen eta George Boolek bakarrik 0 eta 1 zenbakiak erabiltzen duen aljebra ikustatu zuen. Izan ere,  aljebra boolearra matematika-logikaren oinarria da eta oso erabilgarria da konputazioaren zientzian.

Augustin Louis Cauchy, Bernhard Riemann y Karl Weierstrass matematikariek kalkulu diferentziala zorrotzago birformulatu zuten.

Matematikaren hazkunde azkarrak oinarri guztiak berrikusteko beharrak eragindako krisia eragin zuen, eta, horren ondorioz, matematikaren oinarriak zorroztasunez lortzeko lan egin zen.  Izan ere, XIX. mendearen amaieran jaio zen gaur egungo matematika, Richard Dedekind eta Leopold Kroneckerren lanei esker.[25]

XX. mendeaAldatu

 
Lau koloreen teoremaren aplikazioa

XX. mendean matematikak ofizialki lanbide gisa ikusi ziren. Matematikariek lekuak betetzen zituzten bai hezkuntzan bai industrian eta urtero milaka doktore graduatzen ziren. Jakintzagaiaren aurrerapenei dagokienez, garrantzitsuenak honakoak izan ziren: Gödel-en osagabetasunaren teoremen frogak, Taniyama-Shimuraren aieruaren froga, (eta horren ondorioz, Fermat-en azken teoremaren froga) eta Weil-en aieruen frogak Pierre Deligneari esker. Garatzen diren teoria berriak Poincaré matematikariaren lanen jarraipena da, adibidez; probabilitatea, topologia, geometria diferentziala, logika, geometria aljebraikoa eta Alexander Grothendieck-en lanak.

1900. urtean, Matematikarien Nazioarteko Kongresuaren aurrean egindako hitzaldi batean, David Hilbertek 23 matematika-problemen zerrenda proposatu zuen. Zerrenda horrek, erronka bat izan zen garaiko matematikarientzat. Hala ere, orain arte (2019), 12 ebatzi dira, 6 ia ebatzita daude eta 4 ebatzi gabe jarraitzen dira; geratzen dena oso modu lausoan formulatuta dago, ebatzi den ala ez erabakitzeko.

1976. urtean, Wolfgang Haken eta Kenneth Appel matematikariek konputagailu bat erabili zuten lau koloreen teorema frogatzeko. Andrew Wiles-ek, beste matematikari batzuen aurreko lanak abiapuntutzat hartuz, 1995. urtean Fermat-en azken teorema frogatu zuen eta 1998. urtean, Thomas Callister Hales-ek Keplerren aierua frogatu zuen.

Garai hartan matematikarien arteko elkarlan ugariak nabarmenak izan ziren. Adibidez, 1955 eta 1983 urteetan zehar, gutxi gorabehera 100 egileren 500 artikulu behar izan ziren talde-bakunen sailkapenaren teorema frogatzeko. Horren beste adibide bat da Frantziako matematikari talde bat, «Nicolás Bourbaki» izenekoa, non haren helburua ezagutza matematiko osoa zorroztasunez azaltzea zen. Emaitza dozenaka liburu izan ziren, "matematikako elementuetan" liburuan bildutakoak, eta eragina izan du matematikako hezkuntzan.[26]

Geometria diferentziala aztergai bihurtu zen Einsteinek erlatibitate orokorrean erabili zuenean. Matematikaren arlo berriek, hala nola logika matematikoa, topologia eta John von Neumann-en jokoen teoria, metodo matematikoen bidez erantzuna eman dakiekeen galdera motak aldatzen dituzte. Egitura mota oro axioma abstraktu talde batera murriztua izan zen, eta espazio metriko, espazio topologiko eta antzeko izenak eman zitzaizkien. Alexander Grothendieck eta Jean Pierre Serre matematikariek geometria aljebraikoa bultzatu zuten sorten teoria erabiliz. Bestalde, aurrerapen handiak egin ziren Henri Poincaré-k 1890eko hamarkadan hasitako sistema dinamikoen teoriaren azterketa kualitatiboan.

Neurriaren teoria  XX. mendearen hasieran garatu zen eta haren aplikazioak honakoak izan ziren: Lebesgueren integrala, Andrey Nikolaevich Kolmogorov-ek egindako probabilitatearen teoriaren axiomatizazioa, eta teoria ergodikoa. Gainera, korapiloen teoria zabaldu zen eta mekanika kuantikoak analisi funtzionalaren garapena eragin zuen. Beste arlo berri batzuek Laurent Schwartz-en banaketen teoria, puntu finkoaren teoremak, singularitatearen teoria, René Thom-en katastrofen teoria eta ereduen teoria eta Mandelbrot-en fraktalak biltzen dituzte. Bestalde, Lie-ren multzoak eta Lie-ren aljebra interes handikoak bihurtu ziren.

Ordenagailuen asmakuntzak eta etengabeko aurrerapenak, gero eta datu kopuru handiagoekin lan egitea ahalbidetu zuten eta arlo berriak sortu ziren, hala nola, Alan Turing-en konputazioaren teoria; konplexutasun konputazionalaren teoria; Claude Shannon-en informazioaren teoria; seinaleen prozesaketa; datuen analisia; optimizazioa eta eragiketak ikertzeko beste arlo batzuk. Aurreko mendeetan, kalkuluan eta funtzio jarraituetan arreta guztia jartzen zen baina, konputazioaren eta komunikazio-teknologiaren sorreraren ondorioz, matematika diskretuak, konbinatoriak eta grafoen teoriak garrantzia hartu zuten. Garai hartako konputazio-denbora datuak prozesatzeko,  nahikoa izan zen ezkuz ebazteko unagarriak diren problema batzuk ebazteko. Horren ondorioz, ordenagailuak erabiltzen hasi ziren zenbakizko analisian eta kalkulu formalean.

XX. mendeko metodo eta algoritmo garrantzitsuenetako batzuk honako hauek izan dira: simplex algoritmoa, Fourier-en transformatu azkarra, RSA algoritmoa eta abar.

XXI. mendeaAldatu

2000. urtean, Clay Mathematics Institutuak milurtekoaren zazpi problemak iragarri zituen, eta 2003. urtean Grigori Perelmán-ek Poincaré-en aierua frogatu zuen.  Dena dela, Grigori Perelmán-ek ez zuen saria onartu.

Ikusi baitaAldatu

ErreferentziakAldatu

  1. Friberg, Jöran. (1981) Methods and traditions of Babylonian mathematics : Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations PMC 907837707 . Noiz kontsultatua: 2019-12-04.
  2. Neugebauer, O. (Otto), 1899-1990. ([1969]) The exact sciences in antiquity, (2d ed. argitaraldia) Dover Publications ISBN 978-0-486-22332-2 PMC 13409 . Noiz kontsultatua: 2019-12-04.
  3. (Ingelesez) Turnbull, H. W. (1931-10) «A Manual of Greek Mathematics» Nature (3235): 739–740 doi:10.1038/128739a0 ISSN 0028-0836 . Noiz kontsultatua: 2019-12-04.
  4. Sir Thomas L. Heath, A Manual of Greek Mathematics, Dover, 1963, p. 1: "In the case of mathematics, it is the Greek contribution which it is most essential to know, for it was the Greeks who first made mathematics a science."
  5. George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, Penguin Books, London, 1991, pp. 140–48
  6. Georges Ifrah, Universalgeschichte der Zahlen, Campus, Frankfurt/New York, 1986, pp. 428–37
  7. Robert Kaplan, "The Nothing That Is: A Natural History of Zero", Allen Lane/The Penguin Press, London, 1999
  8. "The ingenious method of expressing every possible number using a set of ten symbols (each symbol having a place value and an absolute value) emerged in India. The idea seems so simple nowadays that its significance and profound importance is no longer appreciated. Its simplicity lies in the way it facilitated calculation and placed arithmetic foremost amongst useful inventions. the importance of this invention is more readily appreciated when one considers that it was beyond the two greatest men of Antiquity, Archimedes and Apollonius." – Pierre Simon Laplace http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Indian_numerals.html
  9. Marshack, Alexander (1991): The Roots of Civilization, Colonial Hill, Mount Kisco, NY.
  10. (Ingelesez) ISBN 978-1-59102-477-4.
  11. Marshack, A. 1972. The Roots of Civilization: the Cognitive Beginning of Man’s First Art, Symbol and Notation. New York: McGraw-Hil
  12. Thom, Alexander, and Archie Thom, 1988, "The metrology and geometry of Megalithic Man", pp. 132–51 in C.L.N. Ruggles, ed., Records in Stone: Papers in memory of Alexander Thom. Cambridge University Press. ISBN 0-521-33381-4.
  13. ISBN 0792338162.
  14. Roy, Prodipto (2000-03) «Inequality, Mobility and Urbanization: China and India» Social Change (1-2): 208–209 doi:10.1177/004908570003000214 ISSN 0049-0857 . Noiz kontsultatua: 2019-12-08.
  15. Joseph, George Gheverghese (2011-12-31) The Crest of the Peacock Princeton University Press ISBN 978-1-4008-3636-9 . Noiz kontsultatua: 2019-12-08.
  16. Eves, Howard, 1911-2004. (1990) An introduction to the history of mathematics (6th ed. argitaraldia) Saunders College Pub ISBN 0-03-029558-0 PMC 20842510 . Noiz kontsultatua: 2019-12-09.
  17. Bernal, Martin (1992-12) «Animadversions on the Origins of Western Science» Isis (4): 596–607 doi:10.1086/356291 ISSN 0021-1753 . Noiz kontsultatua: 2019-12-09.
  18. Eves, Howard, 1911-2004. (1990) An introduction to the history of mathematics (6th ed. argitaraldia) Saunders College Pub ISBN 0-03-029558-0 PMC 20842510 . Noiz kontsultatua: 2019-12-09.
  19. Mashaal, Maurice (2006-09) «Chercheurs et vulgarisation» Reflets de la physique (1): 17–19 doi:10.1051/refdp/2006008 ISSN 1953-793X . Noiz kontsultatua: 2019-12-08.
  20. Mathematics and its applications to science and natural philosophy in the Middle Ages : essays in honor of Marshall Clagett Cambridge University Press 1987 ISBN 0-521-32260-X PMC 14215161 . Noiz kontsultatua: 2019-12-08.
  21. «The Science of Mechanics in the Middle Ages. By <italic>Marshall Clagett</italic>. [University of Wisconsin Publications in Medieval Science, Number 4. (Madison: University of Wisconsin Press. 1959. Pp. xxix, 711. $8.00.)»] The American Historical Review 1960-10 doi:10.1086/ahr/66.1.121 ISSN 1937-5239 . Noiz kontsultatua: 2019-12-08.
  22. «The Science of Mechanics in the Middle Ages. By <italic>Marshall Clagett</italic>. [University of Wisconsin Publications in Medieval Science, Number 4. (Madison: University of Wisconsin Press. 1959. Pp. xxix, 711. $8.00.)»] The American Historical Review 1960-10 doi:10.1086/ahr/66.1.121 ISSN 1937-5239 . Noiz kontsultatua: 2019-12-08.
  23. «Instalación de Fernando Abellanas» dx.doi.org . Noiz kontsultatua: 2019-12-08.
  24. «Wasted Coal» Scientific American (13): 199–199 1864-09-24 doi:10.1038/scientificamerican09241864-199 ISSN 0036-8733 . Noiz kontsultatua: 2019-12-08.
  25. Abellanas, Pedro (1979). «Unas reflexiones sobre la biografía de la matemática». Lecciones inaugurales de la Universidad Complutense de Madrid.
  26. Mashaal, Maurice. (2006) Bourbaki : a secret society of mathematicians American Mathematical Society ISBN 0-8218-3967-5 PMC 63297898 . Noiz kontsultatua: 2019-12-04.

BibliografiaAldatu

EstekakAldatu