Lankide:Unai Tarilonte Miguel/Proba orria

Po-Shen Loh metodoa

Po-Shen Loh metodoa, edo algoritmoa, bigarren mailako polinomioen faktorizazioa errazteko erabilia da. Izen bereko matematikari estatubatuarrak garatu zuen, 2019an. Algoritmo hau, $x^{2}+ax+b=0$ motako ekuazio koadratikoen erantzuna emateko erabilia da, Bhaskara formularen ($x={\frac {b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$) antzera.

Po-Shen Loh metodoaren erabilpena

Lehen aipatutako Bhaskara formula ez bezala, algoritmo honetan polinomioen faktorizazioaren bidez lortuko dira emaitzak.

• Hasteko, $1\cdot x^{2}+ax+b$ polinomioa faktorizatuz (x²-ren koefizientea 1 izan behar da), hurrengo ekuazioa lortuz:

$x^{2}+ax+b=(x+\alpha )(x+\beta )$

• Ondoren, jakinik bi polinomio berrien biderkadura $(x+\alpha )(x+\beta )=x^{2}+(\alpha +\beta )x+\alpha \cdot \beta$ emango digunez, α eta β-ren batura a koefizientea eta beraien arteko biderkadura c balioa emango digute, beraz hurrengo ekuazio ziztema idatziko dugu:

${\begin{cases}\alpha +\beta =a\\\alpha \cdot \beta =c\end{cases}}$

• Hurrengo pausuarentzako, α eta β-ri balioak ordezkatuko dizkiegu. α+β a balioa ematen duenez, bi ezezagunei ${\frac {a}{2}}$ balioa emanez, lehenengo ekuazioa beteko zaigu. Ahala ere, balio horiek bigarren ekuazioan sartu ezkero, $c={\frac {a}{2}}\cdot {\frac {a}{2}}={\frac {a^{2}}{4}}$ balioa emango digu, zeina ez da zertan egia izan behar. Beraz, $\alpha ={\frac {a}{2}}+\mu$ eta $\beta ={\frac {a}{2}}-\mu$ balio berriak emango dizkiegu. Balioak bigarren ekuazioan ordezkatuz, μ ezezagunarentzako sistema ebazteko gai izango gara:

$({\frac {a}{2}}+\mu )({\frac {a}{2}}-\mu )=c\Longleftrightarrow ({\frac {a}{2}})^{2}-\mu ^{2}=c\Longleftrightarrow \mu =\pm {\sqrt {({\tfrac {a}{2}})^{2}-c}}$

• μ-en balio positibo eta negatiboak jakinda, α eta β-n ordezkatuko ditugu, faktorizazioa amaituz.
• Bukatzeko, hasierako polinomioaren erroak kalkulatzeko, faktorizazioari esker lortutako lehenengo mailako polinomioen erroak kalkulatu behar dira, $x=-\alpha$ eta $x=-\beta$ zehazki.