Kartesiar koordenatu sistema

Kartesiar koordenatu sistema, ardatz bakarreko lerro zuzenean, bi ardatzeko planoan edo hiru ardatzeko espazio batean oinarritua dagoen koordenatu sistema da. Ardatz guzti hauek bata bestearekiko elkarzutak dira eta koordenatuen jatorria izaneko puntu batean mozten dute elkar.

Historia

Izena René Descartesen(1596-1650) omenez du, frantziar filosofo eta matematikaria. Bere pentsamenduan edozein ezagutza eraikitzeko jatorri puntu bat beharrezkoa zen.

Geometria analitikoaren sortzaile izan zen eta geometria laua ordezkatzeko sistema eratu zuen. Bi zuzen perpendikular erabiliz eta haien ebaki puntuari jatorria deituz.

Kartesiar koordenatu sistemaren lorpen handiena geometria euklidearraren eta algebraren arteko lotura ezartzea izan zen. Kartesiar koordenatu sitemaren bitartez, forma geometriko oro (kurba bat esaterako) ekuazio kartesiarren bitartez deskribatu daiteke, forma horretako puntuen koordenatu kartesiarrak erabilita.

Notazioa

Puntu baten koordenatu kartesiarrak parentesi artean idazten dira eta komaz bereiztuta adibidez (10,5) edo (3,5,7). Jatorria askotan O letra larriz adierazten da. Bestalde, puntu ezezagun baten koordenatu kartesiarrak idatzi nahi ditugunean (x,y) adiera erabili ohi da planoan eta (x,y,z) espazio hiru dimentsionalean. Azkenik, n dimentsioko espazio bateko puntu baten koordenatu kartesiarrak (x₁,...,x_n) gisa adierazten dira.

Bi dimentsiotako koordenatu sistema kartesiarretan, lehen koordenatua ( literatura matematikoan abzisa deitua) ardatz horizontalean neurtzen da eta bigarren koordenatua( ordenatua) aldiz, ardatz bertikalean.

Deskripzioa

Dimentsio bakarreko koordenatu sistema kartesiarra

Dimentsio bakarrean

Dimentsio bakarreko espazioan Kartesiar koordenatu sistema aukeratzeak, zuzeneko puntu bat, jatorria O zuzena bi zuzenerditan mozten duena, luzera unitate eta zuzenaren orientazioa aukeratzea dakar. Honela P puntu bakoitza jatorriarekiko duen distantziak zehazten du, zeinu positiboarekin P zuzenerdi positibotik hartu bada eta zeinu negatiboarekin zuzenerdi negatiboarekin hartu bada.

Bi dimentsiotan

Bi dimentsioko koordenatu sistema kartesiarra

Kartesiar koordenatu sistema bi dimentsiotan bi ardatz perpendikularrek osatzen dute, ardatz hauen ebaki puntuari jatorria deritzogu.

Planoko edozein P punturako zuzenki bat marrazten da ardatz bakoitzarekiko elkarzuta dena, zuzenkiak ardatza ebakitzen duen posizioa zenbaki bezala interpretatzen bada, zenbaki hauek P puntuaren koordenatu kartesiarrak dira.

Hiru dimentsioko koordenatu sistema kartesiarra

Hiru dimentsiotan

Hiru dimentsiotako espazio baterako kartesiar koordenatu sistema zuzenki ordenatu hirukote batek osatzen du. Zuzen hauek puntu berdinean ebakitzen dute elkar (jatorrian) eta binaka perpendikularrak dira.

Espazioko edozein P punturako izan bedi P barne duen eta ardatzekiko perpendikularra den hiperplanoa eta hartu zenbaki gisa hiperplanoak ardatza mozten duen posizioa. Orduan, P puntuaren kartesiar koordenatuak hiru zenbaki horiek dira aukeratutako ordenean.

Kartesiar formulak planorako

Bi punturen arteko distantzia

$(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ planoko bi punturen arteko distantzia euklidearra honela definitzen da:

$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$

Hau Pitagorasen teoremaren bertsio kartesiarra da. Hiru dimentsioko espazioa, $(x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2})$ puntuen arteko distantzia honela definitzen da:

$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}$

Azkeneko formula hau Pitagorasen teorema bi aldiz erabilita lor daiteke.

Transformazio Euklidearrak

Translazioa

Planoko $(x,y)$ puntu oro $(a,b)$ bektore batez mugitu nahi bada $(x\prime ,y\prime )$ puntu bat emanez, adierazpen matematikoa honakoa da:

$(x\prime ,y\prime )=(x+a,y+b)$

Biraketa

Planoko $(x,y)$ puntu oro $\theta$ angelu batez biratu nahi bada $(x\prime ,y\prime )$ puntu batez ordezkatuz, aplikazio horren adierazpen matematikoa honakoa da:

$x\prime =xcos(\theta )-ysin(\theta )$

$y\prime =xsin(\theta )-ycos(\theta )$

Islapena

$(x,y)$ puntu baten koordenatuak badira, $(-x,y)$ bere y ardatzarekiko islapena den puntuaren koordenatuak dira. Antzeko era batean, $(x,-y)$ bere x ardatzarekiko islapena den puntuaren koordenatuak dira. Era orokorrago batean, puntu baten x ardatzarekiko $\theta$ angelua sortzen duen zuzenarekiko islapenak emandako puntuaren koordenatu berriak $(x\prime ,y\prime )$ honela lor daitezke:

$x\prime =xcos(2\theta )+ysin(2\theta )$

$y\prime =xsin(2\theta )-ycos(2\theta )$

Beraz, $(x\prime ,y\prime )=(xcos(2\theta )+ysin(2\theta ),xsin(2\theta )-ycos(2\theta ))$ .

Transformazio afina

Koordenatu transformazioak adierazteko bete era bat dira transformazio afinak. Transformazio afinetan dimentsio bat gehitzen da eta puntu guztiek 1 balioa hartzen dute dimentsio gehigarri honetarako.Honela $(b_{1},b_{2})$ zentzuan egindako translazioak A matrizearen azken zutabean adieraz daitezke.

${\begin{pmatrix}A_{1}&A_{2}&b_{1}\\A_{3}&A_{4}&b_{2}\\0&0&1\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}x\prime \\y\prime \\1\end{pmatrix}}$

Transformazio afinak erabilita euklidear transformazio askoren konposizioa errazten da modu erraz batean transformazio bakoitzari dagokion matrizea besteaz biderkatuta.

Transformazio ez euklidearrak

Homotezia

Euklidear transformazioa ez den transformazio afinetako bat homotezia da. Homotezia baten bitartez forma geometriko bat handiago edo txikiago bilakatu daiteke m proportzio batean. Honako hau forma geometrikoaren puntu guztien koordenatu kartesiarrak $m\in \Re$ positibo batekin biderkatuz lortzen da.

$(x\prime ,y\prime )=(mx,my)$

$m>1$ denean forma geometrikoa handiago bilakatzen da eta $m<1$ forma geometrikoa txikiago bilakatzen da, halako homoteziei kontrakzio esaten zaie literatura matematikoan.