Lankide:Eapaolaza/Proba orria

Zenbaki errealen gorputz ordenatu metrikoa, azpigorputz txikienarekiko trinkoa eta osatua den espazio euklidearra da.

Hots: azpigorputz txikienarekiko trinkoa eta osatua den espazio euklidearra, zenbaki errealen isomorfismo isometriko ordenatua da.

Baldintza hauek beharrezkoak eta nahikoak dira, zenbaki errealak eraikitzeko, eta ondorioz axiomak dira.

Zenbaki arrazionalen gorputz ordenatu metrikoa, espazio euklidearrik txikienaren isomorfismo isometriko ordenatua da. Eta baldintza horiek beharrezkoak eta nahikoak dira Zenbaki arrazionalen gain isomorfismo isometriko ordenatu bat egiteko, eta ondorioz zenbaki arrazionalak eraikitzeko axiomak dira.

Espazio euklidearrik txikienaren elementuak puntuekin konparatuz gero, lerro zuzen euklidear batean posizio arrazionaletan dauden puntuekin konpara daitezke.

Lerro zuzena, euklidesek emaniko bost axiometan oinarritutako zuzen baten eraikuntza da, eta bost axioma hauek erabiliz kokatzen dira zenbaki arrazionalak. Puntu arrazional hauek izaera euklidearra dutela kontsideratzen da. Baina espazio euklidearra eraikitzeko ez dira beharrezkoak bost axiomak. Lehenik bi puntu emanik unitateko segmentua eraikitzen da (unitateko segmentu distantzia 1 ), Segmentu bat ezker eskuin desplazatzen bada lerro zuzenean, ezkerreko erpin puntua eskuineko erpin puntua baino txikiagoa dela kontsideratzen da, ( ordena bateragarria baturarekin), segmentuaren distantzia ez dela aldatzen kontsideratzen da ( segmentu desplazatuaren distantzia berdina dela), eta bada hirugarren bat beharrezkoa dena: bi segmentu erpinez erpin elkartzearen poderioz beste segmentu bat egiten denean, bi segmentu hauek lerro zuzenean kokatzen direla kontsideratzen da ( segmentu baturaren distantzia, segmentu distantzien batura dela).

Axioma horietan oinarritutako gorputz ordenatu metrikoa espazio euklidearra izendatu da. Espazio euklidearrik txikiena zenbaki arrazionalen gorputz ordenatu metrikoa da, zeina zuzen euklidear batean posizio arrazionalean dauden puntuekin konpara daiteken.

Espazio euklidearrik txikiena trinkotu eta osatzen denean, zenbaki errealen isomorfismo isometriko ordenatu bat egiteko, beharrezkoa da, espazio trinkotu eta osatuak izaera euklidearra mantentzea. Honela zenbaki errealen isomorfismo isometriko ordenatu bat egiteko, beharrezko axiomak dira: espazio euklidear bat izatea eta bere azpigorputz txikienarekiko trinkoa eta osatua izatea.

Unitate honetan lehenik, zenbaki arrazionalak karakterizatuko dira modu axiomatikoan. Zenbaki arrazionalen gorputz ordenatu metrikoa, espazio euklidearrik txikiena dela frogatuko da. Espazio euklidearraren axiomak: nahikoak eta beharrekoak direla frogatuko da zenbaki arrazionalak modu bakarrean eraikitzeko.

Kontraadibide bat eraikiko da, zeinetan Espazio euklidear bat, trinkoa izango den azpi espazio euklidear txikienarekiko ( zenbaki arrazionalekiko). Espazio horretako puntuak zuzen euklidear batetako puntuekin konpara daitezke (bijekzioa), eta posizio ez arrazionaletan dauden puntuak, zenbaki arrazionalen metatze puntuak izango dira, baina Cauchyren segida guztiak ez dira konbergenteak izango metrika horretan: segida horiek zenbaki errealetan duten konbergentzia puntua, metrika horretan konbergenteak diren beste segida batzuen limiteak izango dira.

Kontraadibide honen bidez frogatzen da, azpigorputz txikienarekiko trinkoa den espazio euklidear batek, zenbaki errealen isomorfismo isometriko ordenatua izateko beste axioma bat behar duela.

Azpigorputz txikienarekiko trinkoa den espazio euklidear bat, osatua dela frogatuko da, baldin eta soilik baldin Gorenaren axioma betetzen badu.

Eta amaitzeko: azpigorputz txikienarekiko trinkoa eta osatua den espazio euklidear bat, zenbaki errealen isomorfismo isometrikoa ordenatua dela frogatuko da.

Ondorengoak dira axiomak

$(E,\psi ,\phi ,\preccurlyeq ,e)$ Espazio euklidearra da, baldin eta ondorengo proposizioak betetzen baditu:

1: $(E,\psi ,\phi )$ Gorputz bat da.

2: $(E,\preccurlyeq )$ Erabateko ordena da.

3: $(E,\preccurlyeq )$ bateragarria da $(E,\psi )$ rekin. Segmentu erpinak ordena mantentzen dute desplazatzean.

$\forall x,y,z\in E;x\preccurlyeq y\Rightarrow \psi (x,z)\preccurlyeq \psi (y,z)$

4: $(E,e)$ Espazio metrikoa da.

5: $e(0,1)=1$ . Unitateko segmentuarena.

6: $(E,e)$ bateragarria da $(E,\psi )$ rekin. Segmentua zuzenean desplazatzean distantzia mantentzen du.

$\forall x,y,z\in E\Rightarrow e(x,y)=e(\psi (x,z),\psi (y,z))$

7: $(E,e)$ bateragarria da $(E,\psi )$ rekin. Sementuen baturaren distantzia, segmentu distantzien batura da.

$\forall x,y,z\in E;x\preccurlyeq y\preccurlyeq z\Rightarrow e(x,y)+e(x,z)=e(x,z)$

Espazio euklidear baten azpigorputz txikiena zenbaki arrazionalen isomorfismo isometriko ordenatua denez: $\mathbb {Q} \subset E$ , idatz daiteke orokortasuna galdu gabe.

8: $(E,e)$ Espazio metrikoa trinkoa da $(\mathbb {Q} ,e)$ rekiko. Edozein elementu, zenbaki arrazionalen limitea da.

9: $(E,e)$ Espazio metrikoa osatua dago $(\mathbb {Q} ,e)$ rekiko. Cauchyren segidek badute limitea.

Oharra: Espazio euklidear baten azpigorputz txikiena zenbaki arrazionalen isomorfismo isometriko ordenatua denez: $\mathbb {Q} \subset E$ , idatz daiteke orokortasuna galdu gabe. 8 eta 9 proposizioetan egin den moduan.

Ondorioak

Zenbaki errealen elementu kopurua, infinitua da eta infinitu kontagarria baino handiagoa zela frogatu zuen Cantorrek (1874). Infinitu berri hau: Continuum izendatzen da.

Infinitu kontagarria zenbaki arrunten elementu kopurua da, eta Continuuma zenbaki errealen kopurua, edo zuzen euklidearreko puntu kopurua.

Honela Cantorrek Continuumaren hipotesia ezarri zuen: Bi infinitu horien artean ezinezkoa da beste infiniturik egotea. Baina ez zuen lortu axioma bat zenik frogatzea. Hilberten 23 problemetako bat izan zen Continuumaren hipotesia.

1963. urtean Paul Cohen-ek frogatuko du, continuumaren hipotesia ezin dela ondorioztatu multzoen teoriako beste axiometatik abiatuta: (Zermelo-Fraenkel matematikariek ezarritako multzoen teoriako axiomak), eta ondorioz axioma berri bat dela.

2. Definizioak

Gorputza

$(K,+,.)$ Gorputz bat dela esaten da, ondorengo proposizioak betetzen baditu:

1: $(K,+)$ talde trukakorra da.

2:$(K-\{0\},.)$ talde trukakorra da.

3: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$, $\forall a,b,c\in K$ . Banatze legea.

Zero karakteristika

$(K,\oplus ,\odot )$ Gorputz bat zero karakteristikakoa dela esaten da: $\forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow n\odot e_{K}\neq 0_{k}$

$e_{K}$ eta $0_{K}$ ,biderkadurarekiko eta baturarekiko elementu neutroak dira.

Ordena

$(K,\leq )$ , Multzo ez huts batean: $K$, definitu den erlazio bitarra: $\leq$, orden erlazioa dela esaten da: erreflexiboa, antisimetrikoa eta trantsitiboa bada. Kasu horretan $K$ multzoa ordenatua dagoela esaten da.

Erreflexiboa: $\forall a\in K\Rightarrow a\leq a$

Antisimetrikoa: $a\leq b;b\leq a\Rightarrow a=b$

Trantsitiboa: $a\leq b;b\leq c\Rightarrow a\leq c$

Erabateko ordena

$(K,\leq )$ multzo ordenatua bada, orden erlazioa erabatekoa dela esaten da ondorengo proposizioa betetzen bada:

$\forall a,b\in K$, emanik ondorengo proposizioetako bat betetzen bada: $a\leq b$, edo $b\leq a$.

Kasu horretan multzoa guztiz ordenatua dagoela esaten da.

Orden bateragarria

$(K,+,\cdot ,\leq )$, $K$multzo o$(K,+,\cdot ,\leq )$, $K$multzo ordenatua bada,$(K,\leq )$ ordena,$(K,+)$ barne konposizio legearekin bateragarria dela esango dugu:

$\forall a,b,c\in K;a\leq b\Rightarrow a+c\leq b+c$

Ezaugarri arkimediarra

$(K,\leq )$ Ordenaturik dagoen multzoa bada, arkimediarra dela esaten da, ondorengo proposizioa betetzen badu:

$\forall a\in K,\exists b\in K$, non: $a\leq b$ eta $a\neq b$.

Ondorioa: Erraz ondorioztatzen da ondorengo proposizioa: Multzo ordenatu bat arkimediarra bada, guztiz ordenatua dago.

Metrika edo distantzia

$(K,d)$, eta $K\neq \emptyset$ espazio metriko bat dela esaten da baldin eta:

1: $d:K\times K\longrightarrow \mathbb {R}$, aplikazioa bada.

2: $d(a,b)\geq 0$, eta $d(a,a)=0$.

3: $d(a,b)=d(b,a)$

4: $d(a,b)\leq d(a,c)+d(b,c)$

5: $a\neq b\Rightarrow d(a,b)>0$

2, 3, 4 eta 5 erlazioak $\forall a,b,c\in K$, betetzen dira.

Ordenarekiko metrika bateragarria

$(K,+,\cdot ,\leq ,e)$ $K$gorputz ordenatu ordenatu metrikoa bada: $(K,\leq )$ ordena,$(K,e)$ espazio metrikoarekiko bateragarria dela esango dugu, baldin eta:

$\forall a,b,c\in K;a\leq b\leq c\Rightarrow e(a,b)+e(b,c)=e(a,c)$

Gorputzen arteko: isomorfismoa, isomorfismo ordenatua eta isomorfismo ordenatu isometrikoa.

Biz $(E,\psi ,\phi ,\preccurlyeq ,e)$ eta $(K,+,\cdot ,\leq ,d)$, bi gorputz ordenatu metriko.

Isomorfoak direla esaten da:

1: $\exists \lambda :K_{1}\rightarrow K_{2}$, non: $\lambda$ bijektiboa.

2: $\forall x,y\in E\Rightarrow \lambda (\psi (x,y))=\lambda (x)+\lambda (y)$

3: $\forall x,y\in E-\{0_{E}\}\Rightarrow \lambda (\phi (x,y))=\lambda (x)\cdot \lambda (y)$

Hiru proposizio hauez gain ondorengo bi proposizio hauetako bakar bat betetzen bada isomorfismo ordenatu dela esaten da:

4: a) $\forall x,y\in E;x\preccurlyeq y\Rightarrow \lambda (x)\leq \lambda (y)$, ala b) $\forall x,y\in E;x\preccurlyeq y\Rightarrow \lambda (y)\leq \lambda (x)$

Lau proposizio hauez gain ondorengoa betetzen badu: isomorfismo ordenatu isometrikoa dela esaten da.

5: $\forall x,y\in E\Rightarrow e(x,y)=d(\lambda (x),\lambda (y))$

Espazio metriko trinkoa

$(X,e)$ espazio metrikoa $(K,d)$ azpiespazio metrikoarekiko trinkoa dela esaten da. ( $K\subset X;d=e\mid _{K}$ )

$\forall x\in E;\forall \varepsilon >0\Rightarrow \exists k\in K;x\neq k:e(x,k)<\varepsilon$

Segida konbergenteak

$(X,d)$ espazio metrikoa eta $\phi :\mathbb {N} \rightarrow X$, aplikazioa. $\{\phi (n):n\in \mathbb {N} \}$ segida konbergentea dela esaten da, baldin eta $\exists a\in X$ ondorengo ezaugarria duena: $\forall \varepsilon >0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall n\geq n_{0}\Rightarrow d(\phi (n),a)<\varepsilon$

Laburduraz: $\lim _{n\to \infty }\phi (n)=a$, adierazten da.

Cauchyren segidak

$(X,d)$ espazio metrikoa eta $\phi :\mathbb {N} \rightarrow X$, aplikazioa. $\{\phi (n):n\in \mathbb {N} \}$ Cauchyren segida dela esaten da. baldin eta:

$\forall \varepsilon >0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall n,m\geq n_{0}\Rightarrow d(\phi (n),\phi (m))<\varepsilon$

Laburduraz: $\phi (n)=a_{n}$, eta $\{\phi (n):n\in \mathbb {N} \}=(a_{n})_{n\geq 1}$, adierazten da.

Espazio metriko osatua.

$(X,e)$ espazio metrikoa eta $(K,d)$ azpiespazio metrikoarekiko osatua dela esaten da.

$(K,d)$ espazio metrikoko Cauchyren segida guziak konbergenteak badira $(X,e)$, espazio metrikoan.

Multzo barnatuak:

$(K,d)$ espazio metrikoa bada, $A\subset K$, eta $A\neq \emptyset$. $A$ barnatua dagoela esaten da baldin eta:

$\exists x\in \mathbb {R}$ non $\forall a,b\in A\Rightarrow d(a,b)\leq x$.

Gorenaren axioma

$(K,d)$ espazio metrikoak gorenaren axioma betetzen duela esaten da baldin eta edozein azpimultzo barnatuk, gorena baldin badu. Hots:

$\emptyset \neq A\subset K$, $A\neq \emptyset$ emanik, baldin eta $\exists x\in \mathbb {R}$, non $|A|\leq x$, orduan: $\exists \alpha \in \mathbb {R}$ non:

1: Goi bornea den: $|A|\leq \alpha$

2: Goi borne txikiena den: $y\in \mathbb {R} ;|A|\leq y\Rightarrow \alpha \leq y$.

3. Espazio euklidear txikiena.

Atal honetan zenbaki arrazional ordenatu metrikoa: $(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq ,d)$ ohiko eragiketekin definitua, karakterizatuko da. Bere eraikuntzarako beharrezkoak eta nahikoak diren baldintzak definituaz. Baldintza horiek Espazio euklidear moduan definitu direnak izango dira.

Ondorengoak dira ohiko eragiketak: $\mathbb {Q} =\{{\frac {a}{b}}:a\in \mathbb {Z} ;b\in \mathbb {N} \}$, zenbaki arrazionalen multzoa izango da.

Ohiko batura: ${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+cb}{bd}}$

Ohiko biderkadura: ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$

Ohiko desberdintza: ${\frac {a}{b}}\leq {\frac {c}{d}}\Leftrightarrow ad\leq bc$

Metrika euklidearra: $d(x,y)=|x-y|$

3.1. Proposizioa

$(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq ,d)$ ohiko eragiketenik definitua, espazio euklidearra da.

Froga. Zailtasunik gabe frogatzen dira espazio euklidearraren proposizioak.

I: Zenbaki arrazionalen gorputza zero karakteristikako gorputz txikiena da.

3.2. Proposizioa:

Zenbaki arrazionalen gorputza $(\mathbb {Q} ,+,\cdot )$ zero karakteristikako gorputza da.

Froga: Zenbaki arrazionalen gorputza: $(\mathbb {Q} ,+,\cdot )$ zero karakteristikakoa da:$\forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow \overbrace {1+1+\cdots +1} ^{n}\neq 0$.

3.3. Proposizioa:

$\Gamma :(\mathbb {Q} ,+,\cdot )\rightarrow (K,\psi ,\phi )$ monomorfismoa bada, $K$ zero karakteristikako gorputza da.

Froga: Absurdura bideratuz $(K,\psi ,\phi )$ , n karakteristikako gorputza bada: $\phi (n,e_{K})=0_{K}$ . Honela $\Gamma (n)=\phi (n,e_{K})=0_{K}\Rightarrow n=0$ ezinezkoa.

Ondorioz gorputz bat zenbaki arrazionalen isomorfoa bada, beharrezkoa da zero karakteristikakoa izatea.

Teorema3.1: $(K,\psi ,\phi )$ zero karakteristikako gorputza bada, azpigorputz txikiena zenbaki arrazionalen gorputzaren isomorfoa da.

Froga:

Notazioa. $\forall n\in \mathbb {N}$-rentzat: $\psi (n\cdot e_{k},e_{k})=(n+1)\cdot e_{K}$ adieraziko da, $\psi (n\cdot {\overline {e_{K}}},{\overline {e_{K}}})=-(n+1)\cdot e_{K}$ adieraziko da, zeinetan $\psi (e_{K},{\overline {e_{K}}})=0_{K}$ , eta $0\cdot e_{K}=0_{K}$ adieraziko da. Honela azioa. $\forall n\in \mathbb {Z}$-rentzat, $n\cdot e_{K}$ adierazpenak badu zentzua. $\forall m\in \mathbb {N}$-rentzat: $m\cdot e_{K}$-ren alderantzizkoa: $\phi (m\cdot e_{K},(m\cdot e_{K})^{-1})=e_{K}$, adieraziko da. Ondorengo adierazpen orokorra ondorioztatzeko: $\forall n\in \mathbb {Z}$-rentzat, eta $\forall m\in \mathbb {N}$-rentzat, adierazpen orokorra adieraziz: ${\frac {n}{m}}\cdot e_{K}=\phi (n\cdot e_{K},(m\cdot e_{K})^{-1})$,

$Q\subset K$-ren azpigorputz txikiena bada, $\forall n\in \mathbb {Z}$-rentzat, eta $\forall m\in \mathbb {N}$-rentzat, ${\frac {n}{m}}\cdot e_{K}=\phi (n\cdot e_{K},(m\cdot e_{K})^{-1})\in Q$. Eta beraz: $Q'=\{{\frac {n}{m}}\cdot e_{K}:n\in \mathbb {Z} ;m\in \mathbb {N} \}\subset Q$,

$\forall m\in \mathbb {N}$-rentzat ondorengoa egia da: ${\frac {n}{m}}\cdot e_{K}=\phi (n\cdot e_{K},(m\cdot e_{K})^{-1})=\phi ((n\centerdot p)\cdot e_{K},((m\centerdot p)\cdot e_{K})^{-1})={\frac {n\centerdot p}{m\centerdot p}}\cdot e_{K}$

$\psi ({\frac {a}{b}}\cdot e_{K},{\frac {c}{d}}\cdot e_{K})=\psi ({\frac {a\centerdot d}{b\centerdot d}}\cdot e_{K},{\frac {c\centerdot b}{d\centerdot b}}\cdot e_{K})=\phi (\psi (({a\centerdot d})\cdot e_{K},({c\centerdot b})\cdot e_{K}),(({b\centerdot d})\cdot e_{K})^{-1})$

$=\phi (({a\centerdot d}+{c\centerdot b})\cdot e_{K}),(({b\centerdot d})\cdot e_{K})^{-1}))={\frac {{a\centerdot d}+{c\centerdot b}}{b\centerdot d}}\cdot e_{K}\in Q'$.

Honela: ${\frac {a}{b}}\cdot e_{K}$-ren aurkakoa ${\frac {-a}{b}}\cdot e_{K}={\frac {a}{b}}\cdot {\overline {e_{K}}}\Leftrightarrow (-a)\cdot e_{K}=a\cdot {\overline {e_{K}}}\Rightarrow \psi ({\frac {a}{b}}\cdot e_{K},{\frac {c}{d}}\cdot {\overline {e_{K}}})\in Q'$.

Ondorioz: $(Q',\psi )$ Talde egitura dauka.

$\phi (b\cdot e_{K},d\cdot e_{K})=\phi (b\cdot e_{K},\psi ((d-1)\cdot e_{K},e_{K}))=\psi (\phi (b\cdot e_{K},(d-1)\cdot e_{K}),b\cdot e_{K})=$

$\psi (\phi (b\cdot e_{K},(d-2)\cdot e_{K}),(2b)\cdot e_{K})=...=\psi (\phi (b\cdot e_{K},e_{K}),(d-1)b\cdot e_{K})=(d\centerdot b)\cdot e_{K}$, eta

$\phi (\phi ((b\cdot e_{K})^{-1},(d\cdot e_{K})^{-1}),(b\centerdot d)\cdot e_{K})=\phi (\phi ((b\cdot e_{K})^{-1},(d\cdot e_{K})^{-1}),\phi (b\cdot e_{K},d\cdot e_{K})=e_{K}$

$\Rightarrow \phi ((b\cdot e_{K})^{-1},(d\cdot e_{K})^{-1})=((b\centerdot d)\cdot e_{K})^{-1}$ .Ondorioz:

$\phi ({\frac {a}{b}}\cdot e_{K},{\frac {c}{d}}\cdot e_{K})=\phi (\phi (a\cdot e_{K},(b\cdot e_{K})^{-1}),\phi (c\cdot e_{K},(d\cdot e_{K})^{-1})=$$\phi ((a\centerdot c)\cdot e_{K},((b\centerdot d)\cdot e_{K})^{-1})={\frac {a\centerdot c}{b\centerdot d}}\cdot e_{K}\in Q'$.

Honela: $({\frac {c}{d}}\cdot e_{K})^{-1}={\frac {d}{c}}\cdot e_{K}$, eta $\phi ({\frac {a}{b}}\cdot e_{K},({\frac {c}{d}}\cdot e_{K})^{-1})\in Q'$. Eta beraz $(Q',\psi ,\phi )$ gorputz egitura dauka.

Ondorioz: ${\begin{cases}Q'\subset Q\\Q'Gorputza\end{cases}}\Rightarrow Q\subset Q'$, $(Q,\psi ,\phi )$ Azpigorputz txikiena aukeratu delako. Eta beraz: $Q=Q'$ .

Monomorfismoa: $\Gamma :\mathbb {Q} \rightarrow K$ , modu honetan eratzen da: $\Gamma ({\frac {n}{m}})={\frac {n}{m}}\cdot e_{K}$.

$\Gamma ({\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}})={\frac {ad+bc}{bd}}\cdot e_{K}=\psi ({\frac {a}{b}}\cdot e_{K},{\frac {c}{d}}\cdot e_{K})=\psi (\Gamma ({\frac {a}{b}}),\Gamma ({\frac {c}{d}}))$

$\Gamma ({\frac {a}{b}}\centerdot {\frac {c}{d}})={\frac {a\centerdot c}{b\centerdot d}}\cdot e_{K}=\phi ({\frac {a}{b}}\cdot e_{K},{\frac {c}{d}}\cdot e_{K})=\phi (\Gamma ({\frac {a}{b}}),\Gamma ({\frac {c}{d}}))$

Eta, ${\frac {a}{b}},{\frac {c}{d}}\in \mathbb {Q} :\Gamma ({\frac {a}{b}})=\Gamma ({\frac {c}{d}})\Rightarrow {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$.

Honela $\Gamma :\mathbb {Q} \rightarrow K$ monomorfismoa da eta: $\Gamma :\mathbb {Q} \rightarrow \Gamma (\mathbb {Q} )=Q$, isomorfismoa.

II: Zenbaki arrazionalen gorputz ordenatua: $(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq )$: guztiz ordenaturiko gorputz txikiena da zeinetan ordena bateragarria den baturarekiko.

Kontradibidea1.

Zenbaki arrazionalen gain eraiki daitezke, baturarekiko bateragarriak ez diren ordenak.

$(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,{\mathcal {R}})$ zenbaki arrazionalen gorputza. Eta ordena $x,y\in \mathbb {Q} ,x{\mathcal {R}}y\Leftrightarrow {\begin{cases}x=y\\edo\\x\leq y;y>0\end{cases}}$

Ondorioak: zenbaki arrazionalen gain definitzen den ohiko desberdintza bateragarria da baturarekiko. Honela zenbaki arrazional ordenatuen eta $(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}})$ Gorputz ordenatuaren arteko isomorfismo ordenatua eraiki ahal izateko, gorputza zero karakteristikakoa izatea eta ordena baturarekiko bateragarria izatea eskatuko da.

Kontradibidea2.

Zenbaki arrazionalen gain eraiki daitezke, baturarekiko bateragarriak diren ordenak, eta arkimediarrak ez direnak.

$(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,{\mathcal {R}})$ zenbaki arrazionalen gorputza. Eta ordena $x,y\in \mathbb {Q} ,x{\mathcal {R}}y\Leftrightarrow x=y$.

Ondorioa: Zenbaki arrazional ordenatuen isomorfismo ordenatu bat eraikitzeko, $(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}})$ Gorputz ordenatua izango da, zeinetan ordena bateragarria den $\psi$-rekiko, zero karakteristikako gorputza izango da, eta ordena arkimediarra izango da.

Proposizioa3.3: $(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}})$ Gorputz ordenatu bateragarria bada $\psi$-rekiko, eta ordena arkimediarra bada zero karakteristikako gorputza da.

Froga.

Absurdura bideratuz suposa dezagun $charK=n\in \mathbb {N}$ dela. $\forall a\in K\Rightarrow n\cdot a=0_{k}$, $\psi (m\cdot a,a)=(m+1)\cdot a$ , notazioa erabiliz.

$0_{k}\in K$, eta $K$ arkimediarra, $\exists b\in K:b\neq 0_{K};0_{K}{\mathcal {R}}b$, eta $(K,{\mathcal {R}})$ bateragarria denez: $(K,\psi )$-rekiko, ondorengo desberdintzen segida eraiki daiteke: $0_{K}{\mathcal {R}}b{\mathcal {R}}(2\cdot b){\mathcal {R}}(3\cdot b)...{\mathcal {R}}((n-1)\cdot b){\mathcal {R}}(n\cdot b)=0_{K}$, eta beraz: $0_{K}=b$. Ezinezkoa.

Ondorioa: $charK=0$ baldintza ez da beharrezkoa.

Kontradibidea3.

$(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,{\mathcal {R}})$ -ren gain ordena modu honetan definitua: $x,y\in \mathbb {Q} ,x{\mathcal {R}}y\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb {N} :y=x+k-1$. Orden hau bateragarria da baturarekiko, eta arkimediarra da, baina ez da erabateko ordena.

Froga: $x,y\in \mathbb {Q} ,x{\mathcal {R}}y\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb {N} :y=x+k-1$, orden erlazioa da.

i) $\forall x\in \mathbb {Q} ,x=x+1-1\Rightarrow x{\mathcal {R}}x$. Erreflexiboa.

ii) ${\begin{cases}x{\mathcal {R}}y\Rightarrow \exists k\in \mathbb {N} :y=x+k-1\\y{\mathcal {R}}x\Rightarrow \exists q\in \mathbb {N} :x=y+q-1\end{cases}}\Rightarrow y=y+q-1+k-1\Rightarrow k+q=2;k,q\in \mathbb {N} \Rightarrow k=q=1\Rightarrow x=y$. Antisimetrikoa.

iii)${\begin{cases}x{\mathcal {R}}y\Rightarrow \exists k\in \mathbb {N} :y=x+k-1\\y{\mathcal {R}}z\Rightarrow \exists q\in \mathbb {N} :z=y+q-1\end{cases}}\Rightarrow z=x+(k+q-1)-1\Rightarrow x{\mathcal {R}}z$. Trantsitiboa.

Ordena bateragarria da baturarekiko:

$x{\mathcal {R}}y\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb {N} :y=x+k-1\Rightarrow \forall z\in \mathbb {Q} ,y+z=x+z+k-1\Rightarrow (x+z){\mathcal {R}}(y+z)$

Ordena ez da erabatekoa

$0,{\frac {1}{2}}\in \mathbb {Q}$, eta ez daude ordenatuak. $\forall k\in \mathbb {N} ,{\frac {1}{2}}\neq 0+k-1$ eta $\forall k\in \mathbb {N} ,0\neq {\frac {1}{2}}+k-1$.

Ordena arkimediarra da. $\forall x\in \mathbb {Q} \Rightarrow x{\mathcal {R}}(x+1);x\neq x+1$

Ondorioa: $(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq )$-ren isomorfismo ordenatu bat eraikitzeko, ela $(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}})$ Gorputzari ondorengo baldintzak eskatuko zaizkio: Guztiz ordenatua izatea, ordena bateragarria izatea $\psi$-rekiko, eta ordena arkimediarra izatea.

Proposizioa3.4.

$(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}})$ Gorputza guztiz ordenatua badago, eta ordena bateragarria bada, orduan $(K,{\mathcal {R}})$ arkimediarra da. Eta Azpigorputz txikiena $Q\subset K$ bada, $(Q,{\mathcal {R}})$ arkimediarra da.

Froga: $Q$ azpigorputz txikiena bada, $0_{K}\in Q;e_{K}\in Q-\{0_{K}\}$ , neutroa eta unitatea hurrenez hurren.

$(K,{\mathcal {R}})$ Guztiz ordenatua dagoenez: $0_{K}{\mathcal {R}}e_{K}$ edo $e_{K}{\mathcal {R}}0_{K}$.

$e_{K}{\mathcal {R}}0_{K}\Leftrightarrow \psi (e_{K},{\overline {e_{K}}}){\mathcal {R}}\psi (0_{K},{\overline {e_{K}}})\Leftrightarrow 0_{K}{\mathcal {R}}{\overline {e_{K}}}$. $(K,{\mathcal {R}})$ ordena bateragarria delako $(K,\psi )$ rekin.

Orduan: $0_{K}{\mathcal {R}}e_{K}$ ematen bada: $\forall a\in K$, $0_{K}{\mathcal {R}}e_{K}\Rightarrow \psi (0_{K},a){\mathcal {R}}\psi (e_{K},a)$, eta $a\neq \psi (e_{K},a)$.

Eta: $e_{K}{\mathcal {R}}0_{K}$ ematen bada: $\forall a\in K$, $0_{K}{\mathcal {R}}{\overline {e_{K}}}\Rightarrow a=\psi (0_{K},a){\mathcal {R}}\psi ({\overline {e_{K}}},a)$, eta $a\neq \psi ({\overline {e_{K}}},a)$.

Honela: $(K,{\mathcal {R}})$ arkimediarra da. Partikularki $a\in Q$, hartzen bada, $\psi (e_{K},a),\psi ({\overline {e_{K}}},a)\in Q$, denez $(Q,{\mathcal {R}})$ arkimediarra.

Ondorioa: Zenbaki arrazional ordenatuen isomorfismo ordenatu bat eraikitzeko, $(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}})$ Gorputz guztiz ordenatu bada eta bateragarria $(K,\psi )$-rekiko, ez da beharrezkoa $(K,{\mathcal {R}})$ arkimediarra izatea.

Kontradibidea4

$(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,{\mathcal {R}})$ -ren gain ordena modu honetan definitua: i) $x,y\in \mathbb {Q} -\{0\},x{\mathcal {R}}y\Leftrightarrow x\leq y$, ii) $x,y\in \mathbb {Q} -\{1\},x{\mathcal {R}}y\Leftrightarrow x\leq y$ eta iii) $1{\mathcal {R}}0$.

Ordenamendu hau erabatekoa da, arkimediarra ere bada, baina ez da bateragarria $(\mathbb {Q} ,+)$.

Ondorioa: Zenbaki arrazional ordenatuen isomorfismo ordenatu bat eraiki nahi bada:$(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}})$ Gorputz ordenatuaren gain, beharrezkoa da ordena bateragarria izatea kontradibidea3 gatik, eta beharrezkoa da ordena erabatekoa izatea kontradibidea4 gatik.

Teorema

$(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}})$ Gorputz ordenatu bat non: i) $(K,{\mathcal {R}})$ Gorputza guztiz ordenatua, eta ii) $(K,{\mathcal {R}})$ ordena bateragarria bada $(K,\psi )$ barne konposizio legearekin. Orduan $(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}})$ ren azpigorputz txikiena zenbaki arrazional ordenatuen isomorfismo ordenatua da.

Froga:

$(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}})$ Guztiz ordenaturiko gorputza bada eta $(K,\psi )$ -rekiko bateragarria, orduan proposizioa3.4-gatik: $(K,{\mathcal {R}})$ arkimediarra da, eta partikularki azpigorputz txikienaren gain $(Q,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}})$ arkimediarra da.Proposizioa3.3-gatik $(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}})$ zero karakteristikako gorputza da, eta Teorema3.1-engatik: azpigorputz txikiena zenbaki arrazionalen gorputzaren isomorfoa da. Isomorfismoa modu honetan ezartzen da,

$\Gamma :\mathbb {Q} \rightarrow Q$ , modu honetan eratzen da: $\Gamma ({\frac {n}{m}})={\frac {n}{m}}\cdot e_{K}$, zeinetan $Q=\{{\frac {n}{m}}\cdot e_{K}:n\in \mathbb {Z} ;m\in \mathbb {N} \}$, Teorema3.1-eko notazioa errespetatuz.

Guztiz ordenatua dagoenez: $0_{K}{\mathcal {R}}e_{K}$ ala $e_{K}{\mathcal {R}}0_{K}$.

$0_{K}{\mathcal {R}}e_{K}$ ematen bada. $0_{K}{\mathcal {R}}e_{K}$, $\Gamma (a){\mathcal {R}}\Gamma (b)\Leftrightarrow a\leq b$. ematen da. Ikus dezagun:

Batetik: $\forall m\in \mathbb {N} ,0_{K}{\mathcal {R}}{\frac {1}{m}}\cdot e_{K}$, betetzen da. Absurdura bideratuz: $\exists m\in \mathbb {N} ,{\frac {1}{m}}\cdot e_{K}{\mathcal {R}}0_{K}$ suposatzen bada guztiz ordenatua dagoelako: $e_{k}={\frac {m}{m}}\cdot e_{K}{\mathcal {R}}{\frac {m-1}{m}}\cdot e_{K}...{\frac {2}{m}}\cdot e_{K}{\mathcal {R}}{\frac {1}{m}}\cdot e_{K}{\mathcal {R}}0_{K}$ ondorioztatzen da, eta ezinezkoa da, $0_{K}{\mathcal {R}}e_{K}$ suposatu delako.

Bestalde: $\forall m\in \mathbb {N} ,0_{K}{\mathcal {R}}{\frac {1}{m}}\cdot e_{K}$, betetzen bada Ondorengo desberdintzen segida betetzen da, ordena $(K,\psi )$ -rekiko bateragarria delako: $...({\frac {3}{m}}\cdot {\overline {e_{K}}}){\mathcal {R}}({\frac {2}{m}}\cdot {\overline {e_{K}}}){\mathcal {R}}{\overline {e_{K}}}{\mathcal {R}}0_{K}{\mathcal {R}}e_{K}{\mathcal {R}}({\frac {2}{m}}\cdot e_{K}){\mathcal {R}}({\frac {3}{m}}\cdot e_{K})...$

Eta honela ondorioztatzen da $\Gamma (a){\mathcal {R}}\Gamma (b)\Leftrightarrow a\leq b$.

$e_{K}{\mathcal {R}}0_{K}$ ematen bada, $\Gamma (a){\mathcal {R}}\Gamma (b)\Leftrightarrow b\leq a$. ematen da.

Batetik: $\forall m\in \mathbb {N} ,{\frac {1}{m}}\cdot e_{K}{\mathcal {R}}0_{K}$ ematen da arestian bezala, eta bateragarritasuna erabiliz ondorioztatzen da ondorengo desberdintzen segida: $...({\frac {3}{m}}\cdot e_{K}){\mathcal {R}}({\frac {2}{m}}\cdot e_{K}){\mathcal {R}}e_{K}{\mathcal {R}}0_{K}{\mathcal {R}}{\overline {e_{K}}}{\mathcal {R}}({\frac {2}{m}}\cdot {\overline {e_{K}}}){\mathcal {R}}({\frac {3}{m}}\cdot {\overline {e_{K}}})...$

Eta honela ondorioztatzen da $\Gamma (a){\mathcal {R}}\Gamma (b)\Leftrightarrow b\leq a$.

Oharra: Bi ordenamendu hauek, baliokideak dira. Hots ordenamendu berdin bat sinbolo desberdin batez adieraztea da.

Definizioa:

$(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}})$ Gorputz ordenatu bat non: i) $(K,{\mathcal {R}})$ Gorputza guztiz ordenatua da, eta ii) $(K,{\mathcal {R}})$ ordena bateragarria bada $(K,\psi )$ barne konposizio legearekin. Orduan $(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}})$ ren azpigorputz ordenatu txikiena bakarra da, isomorfismo ordenatuak salbu, eta zenbaki arrazional ordenatuen multzoa bezala izendatzen da.

Ondorioa:

Zenbaki arrazional ordenatuen eraikuntzarako beharrezkoak dira ondorengo axiomak:$(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}})$-ren gain.

1: $(K,\psi ,\phi )$ Gorputza da. 2:$(K,{\mathcal {R}})$ Erabateko ordena da eta 3:$(K,{\mathcal {R}})$ bateragarria da $(K,\psi )$- rekin.

Karakterizazioa:

Zenbaki arrazionalen gorputz ordenatua:$(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq )$ guztiz ordenaturiko gorputz txikiena da, zeinetan ordena bateragarria den baturarekiko.

III: Zenbaki arrazionalen gorputz ordenatu metrikoa: $(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq ,d)$ espazio euklidearrik txikiena da.

Zenbaki arrazionalen gorputz ordenatu metrikoa:$(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq ,d)$, ohiko eragiketak, ohiko desberdintza, eta distantzia euklidearra duena bezala ulertzen da:$\forall x,y\in \mathbb {Q} \Rightarrow d(x,y)=|x-y|$.

Honela, $(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}},e)$ Gorputz ordenatu metrikoa izango da zeinetan: 1: $(K,\psi ,\phi )$ Gorputza da. 2:$(K,{\mathcal {R}})$ Erabateko ordena da 3:$(K,{\mathcal {R}})$ bateragarria da $(K,\psi )$ rekin, eta 4: $(K,e)$ espazio metrikoa da.

Kontradibidea

$(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq )$, gorputz ordenatuaren gain a:$(\mathbb {Q} ,e)$, metrika bat da:$e(x,y)={\begin{cases}0,x=y\\2,x\neq y\end{cases}}$, baina ez da euklidearra: $e(0,1)=2$.

Ondorioa

$(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}},e)$ Gorputz ordenatu metrikoari A1 axioma: $e(0,1)=1$, betetzea eskatuko zaio, zenbaki arrazional ordenatu metrikoaren isomorfismo ordenatu isometrikoa eraikitzeko.

Kontradibidea5

$(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq )$, gorputz ordenatuaren gain a:$(\mathbb {Q} ,e)$, metrika bat da:$e(x,y)={\begin{cases}0,x=y\\1,x\neq y\end{cases}}$, A1 axioma betetzen du: $e(0,1)=1$ eta A2 axioma ere betetzen du: $\forall x,y,z\in \mathbb {Q} \Rightarrow e(x,y)=e(x+z,y+z)$.

Ondorioa: Metrika berriari ez diskretua izatea eskatuko zaio.

Kontradibidea6

$(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq )$ zenbaki arrazionalen gorputz ordenatua eta $(\mathbb {Q} ,e)$ honela definitua: $e(x,y)={\sqrt {|x-y|}}$

1: $(\mathbb {Q} ,e)$ espazio metrikoa da. a) $e(x,y)\geq 0$, b) $e(x,y)=e(y,x)$, c) $e(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$ berehalakoak dira. Ikus dezagun desberdintza triangeluarra betetzen dela: d) $\forall x,y,z\in \mathbb {Q} \Rightarrow e(x,y)\leq e(x,z)+e(z,y)$

$|x-y|\leq |x-z|+|z-y|\leq |x-z|+|z-y|+2{\sqrt {|x-z|}}{\sqrt {|z-y|}}\Leftrightarrow$

$({\sqrt {|x-y|}})^{2}\leq ({\sqrt {|x-z|}}+{\sqrt {|z-y|}})^{2}\Leftrightarrow |x-y|\leq |x-z|+|z-y|$

2: $(\mathbb {Q} ,e)$ espazio metrikoak A1 betetzen du: $e(0,1)={\sqrt {|0-1|}}=1$

3: $(\mathbb {Q} ,e)$ espazio metrikoa bateragarria da $(\mathbb {Q} ,+)$ ekin: $\forall x,y,z\in \mathbb {Q} \Rightarrow e(x,y)={\sqrt {|x-y|}}={\sqrt {|(x+z)-(y+z)|}}=e(x+z,y+z)$.

4: $(\mathbb {Q} ,e)$ espazio metrikoa ez da diskretua.

5: $(\mathbb {Q} ,e)$ espazio metrikoa ez da euklidearra. Metrika euklidearrak segmentu baturaren distantzia, segmentu distantzien batura bilakatzen du.

$x\leq y\leq z\Rightarrow e(x,y)+e(y,z)=e(x,z)$ . Eta kasu honetan: $1\leq 5\leq 14\Rightarrow 2+3=e(1,5)+e(5,14)\neq (1,14)={\sqrt {13}}$ .

Ondorioa: A1, A2 eta A3 proposizioak bete behar dira $(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}},e)$ Gorputz ordenatu metrikoan, zenbaki arrazional ordenatu metrikoaren isomorfismo ordenatu isometriko bat eraikitzeko. Ikus dezagun aipaturiko proposizioak axiomak direla.

Azken kontradibideak erakusten du, A1 eta A2-rekin ez dela A3 ondorioztatzen. Ikus dezagun A1 eta A3-rekin ez dela A2 ondorioztatzen.

kontradibidea7

$(\mathbb {Q} ,+,\cdot )$ zenbaki arrazionalen gorputz ordenatua eta $(\mathbb {Q} ,e)$ honela definitua: $e(x,y)={\begin{cases}|x^{2}-y^{2}|,xy\geq 0\\|x^{2}+y^{2}|,xy<0\end{cases}}$

$(\mathbb {Q} ,e)$ Metrika bat da.

1: $e:\mathbb {Q} {\text{x}}\mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {R}$ aplikazioa da. 2: $\forall x,y\in \mathbb {Q} \Rightarrow e(x,y)\geq 0$. 3: $\forall x,y\in \mathbb {Q} \Rightarrow e(x,y)=e(y,x)$. Berehalakoak dira.

4: $e(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$. Froga: $\Leftarrow$ $x=y\Rightarrow xy\geq 0\Rightarrow e(x,y)=0$ eta $\Rightarrow$ $e(x,y)=0\Rightarrow xy\geq 0\Rightarrow x^{2}=y^{2};xy\geq 0\Rightarrow x=y$. 5: desberdintza triangeluarra: $\forall x,y,z\in \mathbb {Q} \Rightarrow e(x,y)\leq e(x,z)+e(z,y)$.

5a: $xy\geq 0;x,y\geq 0;z\geq 0\Rightarrow$$e(x,y)=\mid x^{2}-y^{2}\mid \leq \mid x^{2}-z^{2}\mid +\mid z^{2}-y^{2}\mid =e(x,z)+e(z,y)$

5b: $xy\geq 0;x,y\geq 0;z\leq 0\Rightarrow$$e(x,y)=x^{2}+y^{2}\leq x^{2}+z^{2}+y^{2}+z^{2}=e(x,z)+e(z,y)$

5c: $xy\geq 0;x,y\leq 0;z\geq 0\Rightarrow$$e(x,y)=x^{2}+y^{2}\leq x^{2}+z^{2}+y^{2}+z^{2}=e(x,z)+e(z,y)$

5d: $xy\geq 0;x,y\leq 0;z\leq 0\Rightarrow$$e(x,y)=\mid x^{2}-y^{2}\mid \leq \mid x^{2}-z^{2}\mid +\mid z^{2}-y^{2}\mid =e(x,z)+e(z,y)$

5e: $xy<0;x>0;y<0;z\geq 0\Rightarrow$$e(x,y)=x^{2}+y^{2}=x^{2}+z^{2}+y^{2}-z^{2}\leq e(x,z)+e(z,y)$

5f: $xy<0;x>0;y<0;z\leq 0\Rightarrow$$e(x,y)=x^{2}+y^{2}=x^{2}+z^{2}+y^{2}-z^{2}\leq e(x,z)+e(z,y)$

5g: $xy<0;x<0;y>0;z\geq 0\Rightarrow$$e(x,y)=x^{2}+y^{2}=x^{2}+z^{2}+y^{2}-z^{2}\leq e(x,z)+e(z,y)$

5h: $xy<0;x<0;y>0;z\leq 0\Rightarrow$$e(x,y)=x^{2}+y^{2}=x^{2}+z^{2}+y^{2}-z^{2}\leq e(x,z)+e(z,y)$

Desberdintza triangeluarra betetzen denez, $(\mathbb {Q} ,e)$ espazio metrikoa dela ondorioztatzen da.

6: A1 Proposizioa betetzen da: $e(0,1)=\mid 1^{2}-0^{2}\mid =1$.

7: A3 Proposizioa ere betetzen da: $\forall x<y<z\Rightarrow e(x,z)=e(x,y)+e(y,z)$

7a: $0\leq x<y<z\Rightarrow$$e(x,z)=z^{2}-x^{2}=z^{2}-x^{2}+y^{-}2-x^{2}=e(x,y)+e(z,y)$

7b: $x<0\leq y<z\Rightarrow$$e(x,z)=x^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-y^{2}=e(x,z)+e(z,y)$

7c: $x<y<0\leq z\Rightarrow$$e(x,z)=x^{2}+z^{2}=x^{2}-y^{2}+z^{2}+y^{2}=e(x,z)+e(z,y)$

7d: $x<y<z<0\Rightarrow$$e(x,z)=x^{2}-z^{2}=x^{2}-y^{2}+y^{2}-z^{2}=e(x,z)+e(z,y)$

Espazio metriko honek, segmentu baturaren distantzia, segmentuen distantzien batura bilakatzen du, baina ez du segmentu luzera kontserbatzen. Ikus dezagun: $e(1,2)=\mid 1^{2}-2^{2}\mid =3\neq 1=e(0,1)$.

Ondorioak.

$(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}},e)$ Gorputz ordenatu metrikoaren eta ohiko zenbaki arrazional ordenatu metrikoaren $(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq ,d)$ arteko isomorfismo ordenatua eraikitzeko beharrezko axioma dira:$(K,{\mathcal {R}})$ Guztiz ordenatua egotea, eta ordena $(K,\psi )$-rekiko bateragarria izatea, arestian ikusi denez. Horretaz gain isomorfismo ordenatua isometria bat izateko, hiru proposizio betetzea beharrezkoa dela ikusi da: A1 proposizioa: $e(0,1)=1$, A2 proposizioa: $\forall x,y,z\in E\Rightarrow e(x,y)=e(\psi (x,z),\psi (y,z))$ eta A3 proposizioa:$\forall x,y,z\in E;x{\mathcal {R}}y{\mathcal {R}}z\Rightarrow e(x,y)+e(x,z)=e(x,z)$. Kontradibideek erakusten dute proposizio horiek beharrezko axiomak direla, zenbaki arrazional ordenatu metrikoaren $(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq ,d)$ isomorfismo ordenatu isometrikoa eraikitzeko. Horrela ez balitz: A1 eta A2 $\Rightarrow$ A3 proposizioa ondorioztatuko lukete, eta kontradibidea6-ek hori ukatzen du, edo A1 eta A3 $\Rightarrow$ A2 ondorioztatuko lukete, eta kontradibidea7-k hori ukatzen du. Azkenik A2 eta A3 $\Rightarrow$ A1 ematea ezinezkoa da, $e(x,y)=2\mid y-x\mid$ metrikak ukatzen duenez.

Honela espazio euklidearra definituko da, $(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq ,d)$-ren eraikuntzarako beharrezkoak diren axiomekin.

Definizioa: $(E,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}},e)$ Espazio euklidearra da, baldin eta ondorengo axiomak betetzen baditu:

1: $(E,\psi ,\phi )$ Gorputz bat da.

2: $(E,{\mathcal {R}})$ Erabateko ordena da.

3: $(E,{\mathcal {R}})$ bateragarria da $(E,\psi )$ rekin. Segmentu erpinak ordena mantentzen dute desplazatzean.

$\forall x,y,z\in E;x{\mathcal {R}}y\Rightarrow \psi (x,z){\mathcal {R}}\psi (y,z)$

4: $(E,e)$ Espazio metrikoa da.

5: $e(0,1)=1$ . Unitateko segmentuarena.

6: $(E,e)$ bateragarria da $(E,\psi )$ rekin. Segmentua zuzenean desplazatzean distantzia mantentzen du.

$\forall x,y,z\in E\Rightarrow e(x,y)=e(\psi (x,z),\psi (y,z))$

7: $(E,e)$ bateragarria da $(E,\psi )$-rekin. Segmentu baturaren distantzia, segmentu distantzien batura da.

$\forall x,y,z\in E;x{\mathcal {R}}y{\mathcal {R}}z\Rightarrow e(x,y)+e(x,z)=e(x,z)$

Proposizioa: $(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq )$ ohiko zenbaki arrazional ordenatuengan.

$(\mathbb {Q} ,e)$ metrika batek: A1, A2 eta A3 proposizioak betetzen ditu $\Leftrightarrow e(x,y)=\mid y-x\mid$ .

Froga: $\Leftarrow e(x,y)=\mid y-x\mid$, metrika bat da eta A1, A2 eta A3 betetzen ditu.

A1: $e(0,1)=1$, A2: $\forall x,y,z\in \mathbb {Q} \Rightarrow e(x,y)=\mid y-x\mid =\mid (y+z)-(x+z)\mid =e(x+z,y+z)$ eta A3:

$x\leq y\leq z\Rightarrow e(x,z)=z-x=z-y+y-x=e(x,y)+e(y,z)$.

$\Rightarrow \forall n\in \mathbb {N} ;0<1<2<...<n$.

$e(0,n)=e(0,1)+e(1,2)+...+e(n-1,n)=e(0,1)+e(0,1)+...+e(0,1)=n$. A3, lehen berdintzan, A2 bigarren berdintzan eta A1 hirugarren berdintzan.

$\Rightarrow \forall m\in \mathbb {N} ;0<{\frac {1}{m}}<{\frac {2}{m}}<...<{\frac {m-1}{m}}<{\frac {m}{m}}=1$, eta beraz $1=e(0,1)=e(0,{\frac {1}{m}})+e({\frac {1}{m}},{\frac {2}{m}})+...+e({\frac {m-1}{m}},{\frac {1}{m}})$. A1 eta A3 aplikatuz. $1=e(0,{\frac {1}{m}})+e(0,{\frac {1}{m}})+...+e(0,{\frac {1}{m}})$, m aldiz A2 aplikatuz$\Rightarrow e(0,{\frac {1}{m}})={\frac {1}{m}}$.

$\forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow e(0,{\frac {n}{m}})=e(0,{\frac {1}{m}})+e({\frac {1}{m}},{\frac {2}{m}})+...+e({\frac {n-1}{m}},{\frac {n}{m}})$, A3 erabiliaz. $e(0,{\frac {n}{m}})=e(0,{\frac {1}{m}})+e(0,{\frac {1}{m}})+...+e(0,{\frac {1}{m}})$, n aldiz A2 erabiliaz, $\Rightarrow e(0,{\frac {n}{m}})=ne(0,{\frac {1}{m}})={\frac {n}{m}}$, aurreko emaitza aplikatuaz.

Amaitzeko: $e(x,y)=e(y,x)=e(0,x-y)=e(0,y-x)=e(0,\mid y-x\mid ))=\mid y-x\mid$, Azken emaitza aplikatuz.

Korolarioa.

Izan bedi $(E,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}},e)$ Espazio euklidearra, orduan azpiespazio euklidear txikiena, $(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq ,d)$ -ren isomorfismo ordenatu isometrikoa da.

Froga: $(E,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}},e)$ Espazio euklidearra denez, $(E,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}})$ guztiz ordenaturiko gorputza da, eta ordena bateragarria denez, arestian frogatu da azpigorputz txikiena, zenbaki arrazional ordenatuen, isomorfismo ordenatua dela: $(Q,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}})$. $\exists \Gamma :Q\rightarrow \mathbb {Q}$ isomorfismo ordenatua. Ikus dezagun isometria ohiko metrikaren gain ematen dela: $e(x,y)=f(\Gamma (x),\Gamma (y))$. E espazio euklidearra denez: A1, A2 eta A3 betetzen ditu. Eta $(E,e)$ espazio metrikoa denez, isometriak $(\mathbb {Q} ,f)$, espazio metriko bilakatzen du.

$(\mathbb {Q} ,f)$, espazio metrikoak A1 betetzen du: $f(0,1)=f(\Gamma (0_{E}),\Gamma (1_{E}))=e(0_{E},1_{E})=1$. $(E,e)$-k A1 betetzen duelako.

$(\mathbb {Q} ,f)$, espazio metrikoak A2 betetzen du: zen du: $\forall p,q,r\in \mathbb {Q}$.

$f(p,q)=e(\Gamma ^{-1}(p),\Gamma ^{-1}(q))=e(\psi (\Gamma ^{-1}(p),\Gamma ^{-1}(r)),\psi (\Gamma ^{-1}(q),\Gamma ^{-1}(r)))=e(\Gamma ^{-1}(p+r),\Gamma ^{-1}(q+r))=f(p+r,q+r)$.

Garapenean isomorfismoaren ondorengo ezaugarria aplikatu da: $\psi (\Gamma ^{-1}(p),\Gamma ^{-1}(r))=\Gamma ^{-1}(p+r)$.

$(\mathbb {Q} ,f)$, espazio metrikoak A3 betetzen du: zen du: $p\leq q\leq r$, emanik, i) kasuan $\Gamma ^{-1}(p){\mathcal {R}}\Gamma ^{-1}(q){\mathcal {R}}\Gamma ^{-1}(r)$, eta ii) kasuan $\Gamma ^{-1}(r){\mathcal {R}}\Gamma ^{-1}(q){\mathcal {R}}\Gamma ^{-1}(p)$. Ordenamendu baliokideak dira, bietako bakar bat ematen da jakina.

i) kasuan $\Gamma ^{-1}(p){\mathcal {R}}\Gamma ^{-1}(q){\mathcal {R}}\Gamma ^{-1}(r)\Rightarrow$ $e(\Gamma ^{-1}(p),\Gamma ^{-1}(r))=e(\Gamma ^{-1}(p),\Gamma ^{-1}(q))+e(\Gamma ^{-1}(q),\Gamma ^{-1}(r))$. Eta ondorioz: : $e(p,r)=e(p,q)+e(q,r)$.

ii) kasuan $\Gamma ^{-1}(r){\mathcal {R}}\Gamma ^{-1}(q){\mathcal {R}}\Gamma ^{-1}(p)\Rightarrow$ $e(\Gamma ^{-1}(p),\Gamma ^{-1}(r))=e(\Gamma ^{-1}(p),\Gamma ^{-1}(q))+e(\Gamma ^{-1}(q),\Gamma ^{-1}(r))$. Eta ondorioz: : $e(p,r)=e(p,q)+e(q,r)$.

$(\mathbb {Q} ,f)$, espazio metrikok A1, A2 eta A3 betetzen dituenez: Azken proposizioa aplikatuz: $\forall p,q\in \mathbb {Q} \Rightarrow f(p,q)=\mid p-q\mid$.

Ondorioz $(E,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}},e)$ Espazio euklidearraren azpiespazio euklidear txikiena:$(Q,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}},e)$ , zenbaki arrazional ordenatu metrikoaren: $(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq ,d)$, isomorfismo ordenatu isometrikoa da. Ohiko eragiketa, desberdintza eta metrikarekin definitua.

Definizioa:

Zenbaki arrazionalen espazio euklidearra, espazio euklidearrik txikiena da.

Karakterizazioa:

Espazio euklidearrik txikiena bakarra da, isomorfismo ordenatu isometrikoak salbu, eta zenbaki arrazionalen moduan ezagutzen da: ohiko eragiketa, desberdintza eta metrikarekin. Bere eraikuntzarako beharrezkoak ditu ondorengo espazio euklidearraren 7 axiomak.

Definizioa

$(E,\psi ,\phi ,\preccurlyeq ,e)$ Espazio euklidearra da, baldin eta ondorengo proposizioak betetzen baditu:

1: $(E,\psi ,\phi )$ Gorputz bat da.

2: $(E,\preccurlyeq )$ Erabateko ordena da.

3: $(E,\preccurlyeq )$ bateragarria da $(E,\psi )$ rekin. Segmentu erpinak ordena mantentzen dute desplazatzean.

$\forall x,y,z\in E;x\preccurlyeq y\Rightarrow \psi (x,z)\preccurlyeq \psi (y,z)$

4: $(E,e)$ Espazio metrikoa da.

5: $e(0,1)=1$ . Lehen segmentuaren distantzia unitatea da.

6: $(E,e)$ bateragarria da $(E,\psi )$ rekin. Segmentua zuzenean desplazatzean distantzia mantendu egiten du.

$\forall x,y,z\in E\Rightarrow e(x,y)=e(\psi (x,z),\psi (y,z))$

7: $(E,e)$ bateragarria da $(E,\psi )$ rekin. Segmentuen baturaren distantzia, segmentu distantzien batura da.

$\forall x,y,z\in E;x\preccurlyeq y\preccurlyeq z\Rightarrow e(x,y)+e(x,z)=e(x,z)$

Edo segmentuak erpinez erpin lotzen dira lerro zuzenean.

Ondorioa:

Espazio euklidearraren baldintzek modu bakarrean determinatzen dute, batura, biderkadura, ordena eta distantzia, azpigorputz txikienaren gain.

5.1. Sarrera

Zuzen euklidearrean posizio ez arrazionaletan dauden puntuak, posizio arrazionala duten puntuetatik nahi bezain gertu daudela ulertzen da. Hots: posizio ez arrazionaletako puntuak posizio arrazionaletako puntuen metatze puntuak direla. Baldintza hau trinkoketa moduan ezagutzen dena, beharrezkoa da zenbaki errealen eraikuntzarako, baina ez da nahikoa.

Zenbaki irrazional guziak posizio ez arrazionaletan koka daitezke, espazio euklidearraren izaera mantenduz, zuzen euklidearrean. Eta hala ere zuzen euklidearreko zenbait puntu hutsik utz daitezke. Zeina kontradibide batean frogatuko den.

Espazio euklidear trinko batek beraz beste axioma baten beharra dauka zenbaki errealak eraiki ahal izateko. Baldintza hori Gorenaren axioma dela frogatuko da.

Proposizioa

$(\mathbb {R} ,+,\cdot ,\leq ,d)$ Zenbaki errealen gorputz ordenatu metrikoa, ohiko eragiketekin espazio euklidearra da.

Froga: Ez du zailtasunik.

Proposizioa

$(E,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}},e)$ gorputz ordenatu metrikoa, zenbaki errealen isomorfismo isometriko ordenatua bada, azpigorputz txikiena zenbaki arrazionalen isomorfismo ordenatu isometrikoa da.

Froga.

Zenbaki errealen gorputz ordenatu metrikoa espazio euklidearra denez, azpigorputz txikiena zenbaki arrazionalen espazio euklidearra da, eta beraz $(E,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}},e)$ gorputz ordenatu metrikoaren azpigorputz txikiena zenbaki arrazionalen isomorfismo ordenatu isometrikoa da.

Ondorioa

Honela $(E,\oplus ,\odot ,\preccurlyeq ,e)$ gorputz ordenatu metrikoa izango da, $(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq ,d)$ espazio euklidearraren hedapena.

Kontradibidea: $(\mathbb {R} ,\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )$ , zenbaki errealen gorputz ordenatua, $(\mathbb {R} ,e)$, espazio metrikoa modu honetan definitua:

$x,y\in \mathbb {R} -\mathbb {Q}$ eta $x=y$ bada: $e(x,y)=0$. $x,y\in \mathbb {R} -\mathbb {Q}$ eta eta $x\neq y$ bada: $e(x,y)=1$. $x\in \mathbb {R} -\mathbb {Q}$ eta $q\in \mathbb {Q}$ bada: $e(x,q)=q+1$.

$p,q\in \mathbb {Q}$bada: $e(p,q)=\mid q-p\mid$.

Metrika honekin: ${\overline {\mathbb {Q} }}=\mathbb {Q}$, eta beraz $\mathbb {R}$ ez da trinkoa $\mathbb {Q}$-n.

Proposizio honetatik ondorioztatzen da, trinkotasuna ez dela beste axiometatik ondorioztatzen, eta beraz inposatu beharreko axioma dela,, zenbaki errealen isomorfismo ordenatu isometrikoa eraikitzeko.

Proposizioa

$(E,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}},e)$ gorputz ordenatu metrikoa, zenbaki errealen isomorfismo isometriko ordenatua bada, azpigorputz txikienarekiko trinkoa izan behar da.

Ondorioa

$(E,\oplus ,\odot ,\preccurlyeq ,e)$ gorputz ordenatu metrikoa izango da, $(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq ,d)$ espazio euklidearraren hedapen trinkoa izan behar da, zenbaki errealen isomorfismo ordenatu isometrikoa baldin bada.

Kontradibidea:

$(\mathbb {R} ,+,\cdot ,\leq )$, zenbaki errealetan bezala definitua. $\wp =\{k+{\sqrt {2}}:k\in \mathbb {Z} \}$. $(\mathbb {R} ,e)$ espazio metrikoa honela definitua:

$e(x,y)=\lim _{n\to \infty }|x_{n}-y_{n}|$, $x,y\in \wp$ edo $x,y\notin \wp$ ematen bada. $e(x,y)=\lim _{n\to \infty }|x_{n}+1-y_{n}|$, $x\notin \wp$ eta $y\in \wp$ ematen bada.

$(\mathbb {R} ,e)$, $(\mathbb {Q} ,d)$ metrika euklidearraren hedapena da. $(\mathbb {R} ,e)$ Trinkoa da $(\mathbb {Q} ,d)$-n: $\mathbb {R} ={\overline {\mathbb {Q} }}$. $(\mathbb {R} ,e)$ osatua da $(\mathbb {Q} ,d)$-n..

Froga:

$(\mathbb {R} ,e)$ espazio metrikoa da.

1: $e:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, ondo definitutako aplikazioa da. 2: $\forall x,y\in \mathbb {R}$, $e(x,y)=e(y,x)$, defini daiteke. 3: $\forall x,y\in \mathbb {R}$, $e(x,y)\geq 0$, berehalakoa da.

4:$e(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$.

$\Leftarrow$ Berehalakoa da.

$\Rightarrow$$x,y\in \wp$, bada edo $x,y\notin \wp$ orduan $e(x,y)=\lim _{n\to \infty }|x_{n}-y_{n}|=0$, bada: $x=[\{x_{n}:n\geq 1\}]=[\{y_{n}:n\geq 1\}]=y$. Eta beste kasua ezinezkoa da: $x\notin \wp$ eta $y\in \wp$ izanik, $e(x,y)=\lim _{n\to \infty }|x_{n}+1-y_{n}|=0$, bada zenbaki errealetan ondorengo berdintza ematen da: $x+1=y\Rightarrow x\in \wp$.

5: Desberdintza triangeluarra:

5.1. $x,y\notin \wp$

$z\notin \wp$, bada: desberdintza triangeluarra zenbaki errealetan bezala ematen da.

$z\in \wp$, bada: $|x_{n}-y_{n}|=|x_{n}+1-(y_{n}+1)|\leq |x_{n}+1-z_{n}|+|y_{n}+1-z_{n}|$

eta limitera eramanez: $e(x,y)\leq e(x,z)+e(z,y)$

5.2.$x,y\in \wp$

$z\notin \wp$, bada: $|x_{n}-y_{n}|\leq |z_{n}+1-x_{n}|+|z_{n}+1-y_{n}|$, eta limitera eramanez desberdintza triangeluarra ondorioztatzen da.

$z\in \wp$, bada, desberdintza triangeluarra zenbaki errealetan bezala ematen da.

5.3. $x\notin \wp$ eta $y\in \wp$ kasua.

$z\notin \wp$, bada: $|x_{n}+1-y_{n}|=|x_{n}-(y_{n}-1)|\leq |x_{n}-z_{n}|+|z_{n}-(y_{n}-1)|$

$|x_{n}+1-y_{n}|\leq |x_{n}-z_{n}|+|z_{n}+1-y_{n}|$, ondorioztatzen da, eta limitera eramanez desberdintza triangeluarra.

$z\in \wp$, bada: $|x_{n}+1-y_{n}|\leq |x_{n}+1-z_{n}|+|z_{n}-y_{n}|$, eta limitera eramanez desberdintza triangeluarra ondorioztatzen da.

$(\mathbb {R} ,e)$ espazio metrikoa $([\mathbb {Q} ],d)$, espazio metriko euklidearraren hedapena da.$p,q\in \mathbb {Q} \Rightarrow p,q\notin \wp$, ondorioz: $e(p,q)=\lim _{n\to \infty }|p-q|=|p-q|$.

$(\mathbb {R} ,e)$ espazio metrikoa trinkoa da $(\mathbb {Q} ,d)$ espazio metrikoan. $x\in \mathbb {R}$ emanik, $x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$ betetzen bada, zenbaki errealetan:

1: $x\notin \wp$ bada $\lim _{n\to \infty }e(x,x_{n})=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }\mid x_{m}-x_{n}\mid =0$ da $\Rightarrow x_{n}\rightarrow x$

2: $x\in \wp$ bada $\lim _{n\to \infty }e(x,x_{n}-1)=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }\mid x_{n}+1-(x_{m}+1)\mid =0$ da $\Rightarrow x_{n}-1\rightarrow x$

$(\mathbb {R} ,e)$ espazio metriko osatua da $(\mathbb {Q} ,d)$-ren gain.

Izan bedi: $\{x_{n}:n\geq 1\}\subset \mathbb {Q}$, cauchyrena $(\mathbb {Q} ,d)$-n, orduan zenbaki errealetan ohiko metrikarekin limite bakarra du:$x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

da $\Rightarrow x_{n}\rightarrow x$, metrika berrian $x\notin \wp$ bada eta da $\Rightarrow x_{n}\rightarrow (x+1)$ metrika berrian $x\in \wp$ bada.

Ikus dezagun $(\mathbb {R} ,e)$-k ez duela hedatzen espazio euklidearren A2 axioma. $\forall x,y,z\in \mathbb {R} \Rightarrow e(x,y)=e(x+z,y+z)$

$e({\sqrt {2}},{\sqrt {2}}+{\frac {1}{4}})=\lim _{n\to \infty }|({\sqrt {2}})_{n}+{\frac {1}{4}}+1-({\sqrt {2}})_{n}|={\frac {5}{4}}$

$e({\sqrt {2}}+{\frac {1}{4}},{\sqrt {2}}+{\frac {2}{4}})=\lim _{n\to \infty }|({\sqrt {2}})_{n}+{\frac {1}{4}}-({\sqrt {2}})_{n}-{\frac {2}{4}}|={\frac {1}{4}}$

Ikus dezagun ez duela hedatzen espazio euklidearren A3 axioma.

${\sqrt {2}}-{\frac {1}{4}}\leq {\sqrt {2}}\leq {\sqrt {2}}+{\frac {1}{4}}$ eta $e({\sqrt {2}}-{\frac {1}{4}},{\sqrt {2}}+{\frac {1}{4}})\neq e({\sqrt {2}}-{\frac {1}{4}},{\sqrt {2}})+e({\sqrt {2}},{\sqrt {2}}+{\frac {1}{4}})$

$e({\sqrt {2}}+{\frac {1}{4}},{\sqrt {2}}-{\frac {1}{4}})=\lim _{n\to \infty }|({\sqrt {2}})_{n}+{\frac {1}{4}}-({\sqrt {2}})_{n}+{\frac {1}{4}}|={\frac {1}{2}}$

$B_{e}(a,\varepsilon )=\{a\}\cup (B(a-1,\varepsilon )-\{a-1\})$

$e({\sqrt {2}}-{\frac {1}{4}},{\sqrt {2}})=\lim _{n\to \infty }|1+({\sqrt {2}})_{n}-{\frac {1}{4}}-({\sqrt {2}})_{n}|={\frac {3}{4}}$

$e({\sqrt {2}},{\sqrt {2}}+{\frac {1}{4}})=\lim _{n\to \infty }|1+({\sqrt {2}})_{n}+{\frac {1}{4}}-({\sqrt {2}})_{n}|={\frac {5}{4}}$

Neurri berriarekin egindako bolak ondorengoak dira zenbaki errealetan.

$B_{e}(a,\varepsilon )=\{x\in \mathbb {R} :e(a,x)<\varepsilon \}=\{a\}\cup (B(a-1,\varepsilon )-\{a-1\})$, $a\in \wp$ bada. Eta $a\notin \wp$ bada: $B_{e}(a,\varepsilon )=B(a,\varepsilon )$

Irudian: $B_{e}(a,\varepsilon )$, irudikatu da: $a\in \wp$ denean, zenbaki errealetan ordena eta distantziarekiko. Baina metrika berriarekin $a\in \wp$ zentrotik gertu dauden puntuak, zenbaki errealetan unitate bat ezkerretara desplazatzen dira

Ondorioa: Trinkotasunak eta osaketak ez dute zenbaki arrazionalen espazio euklidearra, espazio euklidear batetara hedatzen, eta zenbaki errealak Espazio euklidear egitura duenez, beharrezkoa da: A2 axioma hedatzea edo A3 axioma hedatzea.

9. Kontradibidea

$(\mathbb {R} ,+,\cdot ,\leq )$, zenbaki errealetan bezala definitua. Zenbaki errealei puntu bat erauzi $\mathbb {R} -\{\pi \}$, eta puntu hori bere baitan ez duen, $\mathbb {R}$ -ren azpigorputz maximala existitzen dela frogatuko da: $\mathbb {Q} _{\pi }$, adieraziko da.

Proposizioa

Existitzen da, $\pi$ bere baitan ez duen $\mathbb {R}$ -ren azpigorputz maximala.

Froga:

${\mathcal {F}}(\pi )=\{F:\mathbb {Q} \prec F\prec \mathbb {R} ,\pi \not \in F\}$ multzoa definituko da: $\pi$ bere baitan ez duten, $\mathbb {Q}$-ren gaineko, $\mathbb {R}$-ren azpigorputzen multzoa.

1: ${\mathcal {F}}(\pi )\neq \emptyset$. $\pi \notin \mathbb {Q} ;\mathbb {Q} \prec \mathbb {R} \Rightarrow$$\mathbb {Q} \in {\mathcal {F}}(\pi )\neq \emptyset$.

2: $({\mathcal {F}}(\pi ),\subset )$ , partzialki ordenatutako multzoa da.

3: $({\mathcal {F}}(\pi ),\subset )$ , partzialki ordenatutako multzoan, guztiz ordenaturik dagoen edozein familiak, badu maximoa.

Izan bedi: $\{F_{i}:i\in I\}\subset {\mathcal {F}}(\pi )$, guztiz ordenaturiko multzoen familia bat.

$F=\bigcup _{i\in I}F_{i}\in {\mathcal {F}}(\pi )$, frogatuko da.

1: $F$,$\mathbb {Q}$-ren gaineko, $\mathbb {R}$-ren azpigorputza da:$\mathbb {Q} \prec F\prec \mathbb {R}$ .

$\forall x,y\in F\Rightarrow \exists i,j\in I:x\in F_{i};y\in F_{j}$. Multzoen familia: $\{F_{i}:i\in I\}$, guztiz ordenatua egoteagatik: $F_{i}\subset F_{j}$, orokortasunik galdu gabe.

$F_{j}$ gorputza denez: $x,y\in F_{j}\Rightarrow x-y,xy^{-1}\in F_{j}\subset G$ ( Biderkadurarentzat: $y\neq 0$ denean ). Ondorioz: $F$, gorputza da, eta $\mathbb {Q} \prec F\prec \mathbb {R}$ erraz ondorioztatzen da.

2: $\pi \notin G$. Absurdura bideratuz: $\pi \in G$ bada, $\exists i\in I:\pi \in F_{i}$ , eta $F_{i}\in {\mathcal {F}}(\pi )\Rightarrow \pi \notin F_{i}$.Ezinezkoa.

Ondorioz: $F\in {\mathcal {F}}(\pi )$. Eta $\forall i\in I,F_{i}\subset F$, betetzen denez. $\{F_{i}:i\in I\}$, guztiz ordenaturiko familiak badu maximoa.

Honela Zorn-en lema aplikatuz: 'Partzialki ordenaturiko multzo batean, guztiz ordenaturiko edozein familiak, elementu maximoa badu, existitzen da elementu maximala' . Eta beraz: ${\mathcal {F}}(\pi )=\{F:\mathbb {Q} \prec F\prec \mathbb {R} ,\pi \not \in F\}$ multzoan existitzen da elementu maximala.

Elementu maximal bat aukeratuko da, eta $\mathbb {Q} _{\pi }\in {\mathcal {F}}(\pi )$, adieraziko da.

Proposizioa

$\mathbb {Q} _{\pi }$, $\pi$ bere baitan ez duen $\mathbb {R}$ -ren azpigorputz maximala bada, orduan bere kardinala: $\mid \mathbb {Q} _{\pi }\mid =\complement$ ez kontagarria da.

Froga:

$\mathbb {Q} _{\pi }[x]=\{\sum _{k=1}^{n}a_{k}x^{k}:a_{k}\in \mathbb {Q} _{\pi };n\in \mathbb {N} \}$,$\mathbb {Q} _{\pi }$-ren gaineko polinomioen eraztuna.

$\mathbb {Q} _{\pi }(x)=\{{\frac {P(x)}{Q(x)}}:P,Q\in \mathbb {Q} _{\pi }[x];Q\neq 0\}$,$\mathbb {Q} _{\pi }$-ren gaineko polinomioen gorputza.

$\forall \alpha \in \mathbb {R} \Rightarrow <\mathbb {Q} _{\pi },\alpha >$, $\alpha$ bere baitan duen $\mathbb {Q} _{\pi }$-ren gaineko, gorputz txikiena.

1: $\forall \alpha \in \mathbb {R} -\mathbb {Q} _{\pi }\Rightarrow \pi \in <\mathbb {Q} _{\pi },\alpha >$ frogatuko da.

$\mathbb {Q} _{\pi }\subset <\mathbb {Q} _{\pi },\alpha >$ , betetzen da $\mathbb {Q} _{\pi }$-ren gaineko, gorputz txikiena delako.

Absurdura bideratuz: $\pi \notin <\mathbb {Q} _{\pi },\alpha >$ ematen bada, orduan $<\mathbb {Q} _{\pi },\alpha >\in {\mathcal {F}}(\pi )=\{F:\mathbb {Q} \prec F\prec \mathbb {R} ,\pi \not \in F\}$. Eta $\mathbb {Q} _{\pi }$elementu maximala denez: $\mathbb {Q} _{\pi }=<\mathbb {Q} _{\pi },\alpha >\Rightarrow \alpha \in \mathbb {Q} _{\pi }$ ezinezkoa, $\alpha \in \mathbb {R} -\mathbb {Q} _{\pi }$, aukeratu delako.

2: $\pi \in <\mathbb {Q} _{\pi },\alpha >\Rightarrow \exists P(x),Q(x)\in \mathbb {Q} _{\pi }[x];zkh(P(x),Q(x))=1:\pi ={\frac {P(\alpha )}{Q(\alpha )}}$

Izan ere $<\mathbb {Q} _{\pi },\alpha >=\mathbb {Q} _{\pi }(\alpha )=\{{\frac {P(\alpha )}{Q(\alpha )}}:P,Q\in \mathbb {Q} _{\pi }[x];Q(\alpha )\neq 0\}$.

Honela $\exists P(x),Q(x)\in \mathbb {Q} _{\pi }[x]:\pi ={\frac {P(\alpha )}{Q(\alpha )}}$, eta $zkh(P(x),Q(x))=1$ aukera daiteke.

3: $\forall \alpha \in \mathbb {R} -\mathbb {Q} _{\pi }\Rightarrow \exists {\frac {P_{\alpha }(x)}{Q_{\alpha }(x)}}\in \mathbb {Q} _{\pi }(x)$ zeinetan: ${\frac {P_{\alpha }(\alpha )}{Q_{\alpha }(\alpha )}}=\pi$ eta $zkh(P_{\alpha }(x),Q_{\alpha }(x))=1$. Aurreko atala aplikatu behar da.

4: Eraiki daiteke beraz ondorengo aplikazioa: $\lambda :\mathbb {R} -\mathbb {Q} _{\pi }\rightarrow \mathbb {Q} _{\pi }(x)$ , zeinetan: $\lambda (\alpha )={\frac {P_{\alpha }(x)}{Q_{\alpha }(x)}}\in \mathbb {Q} _{\pi }(x)$ .

Printzipioz, $\lambda =\mathbb {R} -\mathbb {Q} _{\pi }\rightarrow \mathbb {Q} _{\pi }(x)$ egokitzapena izango litzateke, baina irudien multzotik beti aukera daiteke elementu bakarra

Baliokidetasun erlazio bat eratuz edo partiketa bat eginez irudien multzoan: $\lambda (\mathbb {R} -\mathbb {Q} _{\pi })=\bigcup _{\alpha \in \mathbb {R} -\mathbb {Q} _{\pi }}\{{\frac {P(x)}{Q(x)}}\in \mathbb {Q} _{\pi }(x):{\frac {P(\alpha )}{Q(\alpha )}}=\pi \}$.

Irudien multzoa $\forall \alpha \in \mathbb {R} -\mathbb {Q} _{\pi }$-rentzat ez hutsa da, 2. atalagatik, eta aukeraketaren axiomagatik, elementu bakar bat har daiteke multzo bakoitzetik. ${\frac {P_{\alpha }(x)}{Q_{\alpha }(x)}}\in \{{\frac {P(x)}{Q(x)}}\in \mathbb {Q} _{\pi }(x):{\frac {P(\alpha )}{Q(\alpha )}}=\pi \}$ eta $\lambda (\alpha )={\frac {P_{\alpha }(x)}{Q_{\alpha }(x)}}$ , aukeratzen da, $zkh(P_{\alpha }(x),Q_{\alpha }(x))=1$ betetzen duena.

5:$(\mathbb {R} -\mathbb {Q} _{\pi },\backsim )$ erlazioa, zeinetan $\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {R} -\mathbb {Q} _{\pi },\alpha \backsim \beta \Leftrightarrow \lambda (\alpha )=\lambda (\beta )$ baliokidetasun erlazioa da. Eta ondorioz klaseetan banatzen du eremua. $[u]=\{\alpha \in \mathbb {R} -\mathbb {Q} _{\pi }:\lambda (\alpha )=\lambda (u)\}$ klase baliokideak eta $(\mathbb {R} -\mathbb {Q} _{\pi }/\backsim )=\{[u]:u\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} _{\pi }\}$, zatidura multzoa. Aukeraketaren axiomagatik $\exists {\mathcal {A}}\subset \mathbb {R} -\mathbb {Q} _{\pi }$, zeinetan $i:{\mathcal {A}}\rightarrow (\mathbb {R} -\mathbb {Q} _{\pi }/\backsim )$, aplikazioa: $i(u)=[u]$,bezala definitua bijekzioa den. Eta baliokidetasun erlazio honek ondorengo partiketa eratzen du eremuan:

$\mathbb {R} -\mathbb {Q} _{\pi }=\bigcup _{a\in {\mathcal {A}}}[a]$. Bilketa disjuntua.

6: $\mid \mathbb {Q} _{\pi }\mid =\complement$ frogatuko da.

Absurdura bideratuz $\mid \mathbb {Q} _{\pi }\mid =\aleph$ kontagarria dela suposatuko da.

6.1.$\mid \ \mathbb {R} -\mathbb {Q} _{\pi }\mid =\complement$ ematen da.

Izan ere: ${\begin{cases}\mathbb {R} =(\mathbb {R} -\mathbb {Q} _{\pi })\oplus \mathbb {Q} _{\pi }\\\mid \mathbb {R} -\mathbb {Q} _{\pi })\mid \preceq \aleph \end{cases}}\Rightarrow \mid \mathbb {R} \mid =\aleph$ ezinezkoa, eta beraz $\mid \ \mathbb {R} -\mathbb {Q} _{\pi }\mid =\complement$.

6.2. $\mid \mathbb {Q} _{\pi }(x)\mid =\aleph$ ematen da.

$\mid \mathbb {Q} _{\pi }(x)\mid =\mid \mathbb {Q} _{\pi }[x]\times \mathbb {Q} _{\pi }[x]\mid$. Bijekzioa erraz ezartzen da.

$\mathbb {Q} _{\pi }[x]=\{\sum _{k=1}^{n}a_{k}x^{k}:a_{k}\in \mathbb {Q} _{\pi };n\in \mathbb {N} \}=\bigcup _{n\geq 0}\{\sum _{k=1}^{n}a_{k}x^{k}:a_{k}\in \mathbb {Q} _{\pi }\}$, eta $\mid \{\sum _{k=1}^{n}a_{k}x^{k}:a_{k}\in \mathbb {Q} _{\pi }\}\mid =\mid \mathbb {Q} _{\pi }\times \mathbb {Q} _{\pi }\times ...\times \mathbb {Q} _{\pi }\mid$. n aldiz.

Eta multzo kontagarrien biderkadura kontagarria, espazio kontagarria denez, ondorengo inplikazioak ematen dira:$\mid \mathbb {Q} _{\pi }\mid =\aleph \Rightarrow \mid \mathbb {Q} _{\pi }\times \mathbb {Q} _{\pi }\times ...\times \mathbb {Q} _{\pi }\mid =\aleph \Rightarrow \mid \mathbb {Q} _{\pi }[x]\mid =\aleph \Rightarrow \mid \mathbb {Q} _{\pi }(x)\mid =\aleph$.

6.3 $\exists a\in {\mathcal {A}}:\mid [a]\mid =\complement$ dd

Izan ere ${\begin{cases}\forall a\in {\mathcal {A}},\mid [a]\mid \preceq \aleph \\\mathbb {R} -\mathbb {Q} _{\pi }=\bigcup _{a\in {\mathcal {A}}}[a];\mid \mathbb {R} -\mathbb {Q} _{\pi }\mid =\complement \end{cases}}\Rightarrow \mid {\mathcal {A}}\mid =\complement$

Eta orduan 4.ataleko aplikazioaren murrizketa, ${\overline {\lambda }}:{\mathcal {A}}\rightarrow \mathbb {Q} _{\pi }(x)$, non: ${\overline {\lambda }}(u)=\lambda (u)$, aplikazio injektiboa da.

$\lambda$, aplikazioa denez, ${\overline {\lambda }}$ aplikazioa da.

Eta $u,v\in {\mathcal {A}}:{\overline {\lambda }}(u)={\overline {\lambda }}(v)\Rightarrow \lambda (u)=\lambda (v)\Rightarrow [u]=[v];u,v\in {\mathcal {A}}\Rightarrow i(u)=i(v)\Rightarrow u=v$. ${\overline {\lambda }}$ injektiboa beraz. Ondorioz $\mid {\mathcal {A}}\mid =\mid {\overline {\lambda }}({\mathcal {A}})\mid \preceq \mid \mathbb {Q} _{\pi }(x)\mid \preceq \aleph$, ematen da, ezinezkoa.

6.4. Ezinezkoa da 6.3.-n baieztatu dena ematea.

$\exists a\in {\mathcal {A}}:\mid [a]\mid =\complement$, eta $[a]=\{u\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} _{\pi }:\lambda (u)=\lambda (a)\}$ klase baliok

$\lambda (a)={\frac {P_{a}(x)}{Q_{a}(x)}}$ , eta $\lambda (u)={\frac {P_{u}(x)}{Q_{u}(x)}},\forall u\in [a]$ , $\lambda (a)=\lambda (u)\Rightarrow \forall u\in [a],{\frac {P_{a}(x)}{Q_{a}(x)}}={\frac {P_{u}(x)}{Q_{u}(x)}}\in \mathbb {Q} _{\pi }(x)$. Orduan $\forall u\in [a]\Rightarrow {\frac {P_{a}(u)}{Q_{a}(u)}}={\frac {P_{u}(u)}{Q_{u}(u)}}=\pi$ , izan ere $f(x),g(x)\in \mathbb {Q} _{\pi }(x);f(x)=g(x)\Rightarrow \forall a\in Q_{\pi },f(a)=g(a)$.

$h(x)=P_{a}(x)-\pi Q_{a}(x)\in \mathbb {R} [x]$. Eta $h(x)$, polinomio erreala denez, n. gradukoa bada gehienez ere n, erro izango ditu: $\Rightarrow \mid [a]\mid \leq n$, ezinezkoa. Ondorioz: $h(x)=P_{a}(x)-\pi Q_{a}(x)=0\in \mathbb {R} [x]\Rightarrow P_{a}(x)=\pi Q_{a}(x)$.

$x=0\Rightarrow P_{a}(0)=\pi Q_{a}(0)$, eta $P_{a}(0)\neq 0$, bada. $P_{a}(0)=\pi Q_{a}(0)\in \mathbb {Q} _{\pi }\cap \mathbb {Q} _{\pi }^{c}$, ezinezkoa.

Ondorioz $P_{a}(0)=Q_{a}(0)=0\Rightarrow x/zkh(P_{a}(x),Q_{a}(x))=1$, ezinezkoa.

7. Ondorioa

Ezinezkoa da 6. atalean egin den hipotesia. Ezinezkoa da $\mid \mathbb {Q} _{\pi }\mid =\aleph$ izatea, eta beraz $\mid \mathbb {Q} _{\pi }\mid =\complement$ .

Notazioa: Ondorengo notazioa erabiliko da urrengo proposizioan. Zenbaki arrazionalen gaineko Cauchyren segiden multzoa: $C(\mathbb {Q} )$ adieraziko da.

$C(\mathbb {Q} )=\{\{x_{n}:n\geq 1\}\subset \mathbb {Q} :\{x_{n}:n\geq 1\}Cauchyrena\}$. Zatidura multzoa: ${\frac {C(\mathbb {Q} )}{\sim }}=[C(\mathbb {Q} )]$, adieraziko da.

Zatidura multzoko elementuak: $[\{a_{n}:n\geq 1\}]$ adieraziko dira. $[\{a_{n}:n\geq 1\}]=\{\{x_{n}:n\geq 1\}\in C(\mathbb {Q} ):\lim _{n\to \infty }|x_{n}-a_{n}|=0\}$.

Proposizioa.

$([C(\mathbb {Q} )],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq ,e)$ modu honetan definitua:

$x\oplus y=[\{x_{n}:n\geq 1\}]\oplus [\{y_{n}:n\geq 1\}]=[\{x_{n}+y_{n}:n\geq 1\}]$nnnn

$x\odot y=[\{x_{n}:n\geq 1\}]\odot [\{y_{n}:n\geq 1\}]=[\{x_{n}\cdot y_{n}:n\geq 1\}]$

$x\preccurlyeq y;x\neq y\Leftrightarrow \exists p>0;p\in \mathbb {Q} ;\exists n_{0}\in \mathbb {N} :x_{n}+p<y_{n},\forall n\geq n_{0}$

$e(x,y)=\lim _{n\to \infty }\mid y_{n}-x_{n}\mid$

Zenbaki errealen isomorfismo ordenatu isometrikoa da.

Froga: erraz frogatzen da $h:[C(\mathbb {Q} )]\rightarrow \mathbb {R}$, non $h(x)=h([\{x_{n}:n\geq 1\}])=\lim _{n\to \infty }x_{n}$, isomorfismo ordenatu isometrikoa dela.

Proposizioa

Existitzen $\theta :\mathbb {Q} _{\pi }\rightarrow [C(\mathbb {Q} )]$ bijekzioa.

Froga:

Aurreko proposizioagatik: $\mid \mathbb {Q} _{\pi }\mid =\complement$ eta $\mid \mathbb {R} \mid =\complement$ . eraz $\exists f:\mathbb {Q} _{\pi }\rightarrow \mathbb {R}$ , aplikazio bijektiboa. Eta $g:\mathbb {R} \rightarrow [C(\mathbb {Q} )]$ isomorfismo ordenatu isometrikoa da. Ondorioz: $\theta =g\circ f:\mathbb {Q} _{\pi }\rightarrow [C(\mathbb {Q} )]$ bijekzioa da.

Honenbestez kontradibidea eraikitzeko moduan gaude.

Kontradibidea

$\theta :\mathbb {Q} _{\pi }\rightarrow [C(\mathbb {Q} )]$ bijekzioa denez. $([C(\mathbb {Q} )],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq ,e)$ Honela definitu daiteke.

1: $x\oplus y=\theta (\theta ^{-1}(x)+\theta ^{-1}(y))$ 2: 1: $x\odot y=\theta (\theta ^{-1}(x)\cdot \theta ^{-1}(y))$ 3: $x\preccurlyeq y\Leftrightarrow \theta ^{-1}(x)\leq \theta ^{-1}(y)$ 4: $e(x,y)=\mid \theta ^{-1}(y)-\theta ^{-1}(x)\mid$

Espazio euklidear egitura dauka

A1: $([C(\mathbb {Q} )],\oplus ,\odot )$ Gorputz egitura duela erraz frogatzen da.

A2: $([C(\mathbb {Q} )],\preccurlyeq )$ Guztiz ordenatua dagoela erraz frogatzen da.

A3: $([C(\mathbb {Q} )],\preccurlyeq )$ bateragarria da $([C(\mathbb {Q} )],\oplus )$ ekin.

$x\preccurlyeq y\Leftrightarrow \theta ^{-1}(x)\leq \theta ^{-1}(y)\Leftrightarrow \theta ^{-1}(x)+\theta ^{-1}(z)\leq \theta ^{-1}(y)+\theta ^{-1}(z)\Leftrightarrow \theta ^{-1}(x\oplus z)\leq \theta ^{-1}(y\oplus z)\Leftrightarrow (x\oplus z)\preccurlyeq (y\oplus z)$

A4: $([C(\mathbb {Q} )],e)$ Espazio metrikoa da. Erraz frogatzen da.

A5: $e(0_{[C(\mathbb {Q} )]},1_{[C(\mathbb {Q} )]})=\mid \theta ^{-1}(1_{[C(\mathbb {Q} )]})-\theta ^{-1}(0_{[C(\mathbb {Q} )]})\mid =\mid 1-0\mid =1$$e(x,y)=\mid \theta ^{-1}(y)-\theta ^{-1}(x)\mid =\mid (\theta ^{-1}(y)+\theta ^{-1}(z))-(\theta ^{-1}(x)+\theta ^{-1}(z))\mid =\mid \theta ^{-1}(y\oplus z)-\theta ^{-1}(x\oplus z)\mid =e(x\oplus z,y\oplus z)$

A7: $x\preccurlyeq y\preccurlyeq z\Leftrightarrow \theta ^{-1}(x)\leq \theta ^{-1}(y)\leq \theta ^{-1}(z)$ , eta beraz:$e(x,y)+e(y,z)=\theta ^{-1}(y)-\theta ^{-1}(x)+\theta ^{-1}(z)-\theta ^{-1}(x)=\theta ^{-1}(z)-\theta ^{-1}(x)=e(x,z)$

Ondorioz $([C(\mathbb {Q} )],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq ,e)$ espazio euklidearra da.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ Trinkoa da $([\mathbb {Q} ],e)$-n.

Izan bedi $\alpha \in [C(\mathbb {Q} )]\Rightarrow \theta ^{-1}(\alpha )\in \mathbb {Q} _{\pi }\subset \mathbb {R} \Rightarrow \exists \{a_{n}:n\geq 1\}\subset \mathbb {Q} :\lim _{n\to \infty }a_{n}=\theta ^{-1}(\alpha )$.

Orduan:4: $e([a_{n}],\alpha )=\mid \theta ^{-1}(\alpha )-\theta ^{-1}([a_{n}])\mid =\mid \theta ^{-1}(\alpha )-a_{n}\mid \rightarrow 0$ .

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ ez da osatua $([\mathbb {Q} ],e)$.

$\forall \alpha \in [C(\mathbb {Q} )]\Rightarrow \theta ^{-1}(\alpha )\in \mathbb {Q} _{\pi }\Rightarrow \theta ^{-1}(\alpha )\neq \pi$ . Eta beraz: i) $\theta ^{-1}(\alpha )<\pi$ ala ii) $\pi <\theta ^{-1}(\alpha )$ ( Zenbaki errealetan ). Eta zenbaki errealak trinkoak zenbaki arrazionalekiko, $\Rightarrow \exists \{\pi _{n}:n\geq 1\}\subset \mathbb {Q} :\lim _{n\to \infty }\pi _{n}=\pi$ (zenbaki errealetan).

Absurdura bideratuz $([C(\mathbb {Q} )],e)$ osatua bada $([\mathbb {Q} ],e)$-n. $\Rightarrow [\{\theta (\pi _{n}):n\geq 1\}]\in [C(\mathbb {Q} )]\Rightarrow \exists \alpha \in [\mathbb {C} (\mathbb {Q} )]:e(\theta (\pi _{n}),\alpha )\rightarrow 0$

i) ematen bada.$\{\pi _{n}:n\geq 1\}\subset \mathbb {Q} :\lim _{n\to \infty }\pi _{n}=\pi$ , beherakorra aukeratzen da zenbaki errealetan. Honela: $\theta ^{-1}(\alpha )<\pi <\pi _{n}\Leftrightarrow \alpha \preccurlyeq \ \theta (\pi )\preccurlyeq \ \theta (\pi _{n})$ , eta da $e(\alpha ,\theta (\pi _{n}))=\mid \pi _{n}-\theta ^{-1}(\alpha )\mid =\mid \pi _{n}-\pi \mid +\mid \pi -\theta ^{-1}(\alpha )\mid >\mid \pi -\theta ^{-1}(\alpha )\mid$

Ezinezkoa da, izan ere: $e(\theta (\pi _{n}),\alpha )\rightarrow 0$

ii) ematen bada.$\{\pi _{n}:n\geq 1\}\subset \mathbb {Q} :\lim _{n\to \infty }\pi _{n}=\pi$ , gorakorra aukeratzen da zenbaki errealetan. Honela: $\pi _{n}<\pi <\theta ^{-1}(\alpha )\Leftrightarrow \theta (\pi _{n})\preccurlyeq \ \theta (\pi )\preccurlyeq \ \alpha$ , eta da $e(\alpha ,\theta (\pi _{n}))=\mid \pi _{n}-\theta ^{-1}(\alpha )\mid =\mid \pi _{n}-\pi \mid +\mid \pi -\theta ^{-1}(\alpha )\mid >\mid \pi -\theta ^{-1}(\alpha )\mid$

Ezinezkoa da, izan ere: $e(\theta (\pi _{n}),\alpha )\rightarrow 0$

Ondorioa:

Kontradibideak erakusten du, zenbaki arrazionalen hedapena euklidearra izan arren eta hedapena zenbaki arrazionalen gain trinkoa izan arren, zenbaki errealen isomorfismo ordenatu isometrikoa egiteko baldintza gehigarri bat behar dela.

Baldintza hori Gorenaren axioma dela frogatuko da. , bi pausotan: lehenik, zenbaki arrazionalen gain trinkoa den espazio euklidear bat osatua dela ikusiko da baldin eta soilik baldin Gorenaren axioma betetzen bada, eta ondoren, zenbaki arrazionalekiko trinkoa eta osatua den espazio euklidear bat zenbaki errealen isomorfismo ordenatu isometrikoa dela.

Honela $(E,\oplus ,\odot ,\preccurlyeq ,e)$ espazio euklidearra bada, azpigorputz txikiena zenbaki arrazionalen espazio metrikoa denez, zenbaki arrazionalen hedapena dela pentsa daiteke: $(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq ,d)$, ohiko eragiketa desberdintza eta metrikarekin.

Proposizioa:

$(E,\oplus ,\odot ,\preccurlyeq ,e)$ espazio euklidearra bada, eta trinkoa azpigorputz txikienarekiko. Orduan azpigorputz txikienarekiko osatua da baldin eta soilik baldin Gorenaren axioma betetzen bada.

Froga:

Orokortasuna galdu gabe azpigorputz txikiena: zenbaki arrazionalen espazio metrikoa dela suposatuko da $(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq ,d)$.

$\Rightarrow$

$A\subset E$ emanik, zeinetan $A$ barnatu a den, $\exists a\in E:\forall x\in A,x\prec a$. ( $A\prec a$ adieraziko da). Bi egoera eman daitezke: i) $A\prec 0$ , ala ii) $\exists x_{0}\in A:0\preccurlyeq x_{0}$. i) kasuan $a_{o}\in A$ aukeratuz $A\ominus a_{0}\prec a\ominus a_{0}$, eta $B=A\ominus a_{0};b=a\ominus a_{0}$ izendatzen dira. ii) kasuan $B=A\ominus ;b=a$.

$B$ multzoak Gorena baduela frogatuko da, $\beta$ . Honela ii) kasuan existitzen da gorena, eta i) kasuan Gorena tan $a_{0}\oplus \beta$ izango da. Izan ere i.1) $A\ominus a_{0}\preccurlyeq \beta \Leftrightarrow A\preccurlyeq a_{0}\oplus \beta$, Goi bornea i.2) $A\preccurlyeq \alpha \preccurlyeq a_{0}\oplus \beta \Leftrightarrow A\ominus a_{0}\preccurlyeq \alpha \ominus a_{0}\preccurlyeq \beta \Rightarrow \alpha \ominus a_{0}=\beta \Rightarrow \alpha =a_{o}\oplus \beta$, Goi borne txikiena.

$B$ multzoak Gorena baduela frogatuko da beraz.

$B\cap [0,b)=\sum _{k=0}^{2^{n}-1}B\cap [{\frac {k}{2^{n}}}\odot b,{\frac {k+1}{2^{n}}}\odot b)$, batukariak bilketa disjuntua adierazten du, eta bitarte erdi irekiak, ordenarekiko bitarte horretan dauden elementuak.

$\lambda _{n}=Max\{{\frac {k}{2^{n}}}\odot b:k\in [0,2^{n})\cap \mathbb {Z} ;B\cap [{\frac {k}{2^{n}}}\odot b,{\frac {k+1}{2^{n}}}\odot b)\neq \emptyset \}$.

$\lambda _{n}$ Gorakorra eta $\lambda _{n}\prec b$ barnatua dela frogatuko da.

$\lambda _{n}={\frac {k}{2^{n}}}\odot b\Rightarrow \emptyset \neq B\cap [{\frac {k}{2^{n}}}\odot b,{\frac {k+1}{2^{n}}}\odot b)=(B\cap [{\frac {2k}{2^{n+1}}}\odot b,{\frac {2k+1}{2^{n+1}}}\odot b))\cup (B\cap [{\frac {2k+1}{2^{n+1}}}\odot b,{\frac {2k+2}{2^{n+1}}}\odot b))$

$\lambda _{n+1}={\frac {k}{2^{n}}}\odot b$ edo $\lambda _{n+1}={\frac {2k+1}{2^{n+1}}}\odot b\Rightarrow \lambda _{n}\preccurlyeq \lambda _{n+1}$. Desberdintza zenbaki arrazionalen biderketarekiko mantentzen delako.(proposizioa)

Orduan: 1: ez da existitzen da $\lambda _{n}$ -ren azpisegida hertsiki gorakorra, ala 2: existitzen da.

1: Ez da existitzen azpisegida hertsiki gorakorrik.

Azpisegida hertsiki gorakorrik existitzen ez bada: $\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall n\geq n_{0}\Rightarrow \lambda _{n_{0}}=\lambda _{n}$.

Kasu honetan a $B\preccurlyeq \lambda _{n_{0}};\lambda _{n_{0}}\in B$ frogatuko dira, eta ondorioz $\lambda _{n_{0}}$, $B$-ren Gorena izango da.

Absurdura bideratuz: $\lambda _{n_{0}}={\frac {k_{0}}{2^{n_{0}}}}\odot b\notin B$ suposatuko da. Orduan: $\exists x_{0}\in B\cap ({\frac {k_{0}}{2^{n_{0}}}}\odot b,{\frac {k_{0}+1}{2^{n_{0}}}}\odot b)$

${\frac {2^{m}k_{0}+1}{2^{n_{0}+m}}}\odot b\rightarrow {\frac {k_{0}}{2^{n_{0}}}}\odot b$, konbergentzia ematen da. Zenbaki arrazionalen biderketarekiko konbergentzia mantentzen delako (proposizioa). $\exists x_{0}\in B\cap ({\frac {k_{0}}{2^{n_{0}}}}\odot b,{\frac {k_{0}+1}{2^{n_{0}}}}\odot b)\Rightarrow \exists m\in \mathbb {N} :{\frac {2^{m}k_{0}+1}{2^{n_{0}+m}}}\odot b\prec x_{0}$. Zeren eta: $\forall m\geq 1,{\frac {k_{0}}{2^{n_{0}}}}\odot b\prec x_{0}\prec {\frac {2^{m}k_{0}+1}{2^{n_{0}+m}}}\odot b\Rightarrow e({\frac {k_{0}}{2^{n_{0}}}}\odot b,{\frac {2^{m}k_{0}+1}{2^{n_{0}+m}}}\odot b)=e({\frac {k_{0}}{2^{n_{0}}}}\odot b,x_{0})+e(x_{0},{\frac {2^{m}k_{0}+1}{2^{n_{0}+m}}}\odot b)$, beteko litzateke izaera euklidearragatik. Ezinezkoa da ezkerreko atala zerorantz hurbiltzen da eta eskuinekoa positiboa da.

Ondorioz: $\exists m\in \mathbb {N} :{\frac {2^{m}k_{0}+1}{2^{n_{0}+m}}}\odot b\preccurlyeq x_{0}\prec {\frac {2^{m}k_{0}+2}{2^{n_{0}+m}}}\odot b$. Eta ondorioz: $\lambda _{n_{0}+m}={\frac {2^{m}k_{0}+1}{2^{n_{0}+m}}}\odot b\succ {\frac {k_{0}}{2^{n_{0}}}}\odot b=\lambda _{n_{0}}$, ezinezkoa zeren $\forall m\geq 1\Rightarrow \lambda _{n_{0}}=\lambda _{n+m}$.

Ondorioz: $\lambda _{n_{0}}={\frac {k_{0}}{2^{n_{0}}}}\odot b\in B$, eta argudioa errepikatuz: $\nexists x_{0}\in B\cap ({\frac {k_{0}}{2^{n_{0}}}}\odot b,{\frac {k_{0}+1}{2^{n_{0}}}}\odot b)$, honela: $B\preccurlyeq \lambda _{n_{0}}$, eta ondorioz $\lambda _{n_{0}}$, $B$-ren Gorena.

2: Existitzen da $\lambda _{n}$ -ren azpisegida hertsiki gorakorra.

$\exists f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$, aplikazio gorakor injektiboa non: $\forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow \lambda _{f(n)}\prec \lambda _{f(n+1)}$. Eta bi zenbaki irrazionalen artean zenbaki arrazional bat existitzen denez (proposizioa). $\forall n\in \mathbb {N} ,\exists q_{n}\in \mathbb {Q} \Rightarrow \lambda _{f(n)}\prec q_{n}\prec \lambda _{f(n+1)}$, $q_{n}$ segida arrazionala da, gorakorra da eta barnatua dago: $\forall n\in \mathbb {N} ,q_{n}\prec b$. Ondorioz $q_{n}$ segida cauchyrena da (proposizioa), eta existitzen da bere baliokidea den cauchyren segida beherakorra eta handiagoa (proposizioa): $\exists p_{n}$ segida arrazional beherakorra: $q_{n}\leq p_{n}$, eta $\lim _{n\to \infty }e(p_{n},q_{n})=0$.

Hipotesiagatik: $(E,e)$ espazio metrikoa osatua denez $(\mathbb {Q} ,d)$-ren gain, $\exists \lambda \in E:\lim _{n\to \infty }q_{n}=\lim _{n\to \infty }p_{n}=\lambda$

Izaera euklidearretik: $\forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow q_{n}\prec \lambda \prec p_{n}$ ondorioztatzen da. Zeren eta horrela ez balitz: $\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall n\geq n_{0}\Rightarrow \lambda \prec q_{n}\prec p_{n}$ edo: $\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall n\geq n_{0}\Rightarrow q_{n}\prec p_{n}\prec \lambda$. Eta bi egoera hauek ematea ezinezkoa da izaera euklidearragatik.

Lehen kasuan: $\forall n\geq n_{0}\Rightarrow \lambda \prec q_{n_{0}}\prec p_{n}\Rightarrow$ $\forall n\geq n_{0},e(\lambda ,p_{n})=e(\lambda ,q_{n_{0}})+e(q_{n_{0}},p_{n})$ ezinezkoa da: ezkerreko atala zerorantz hurbiltzen da eta eskuinekoa ez. Bigarren kasuan antzera argudiatuz ezinezkoa da.

Ondorioz: $\forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow q_{n}\prec \lambda \prec p_{n}$ .

$\lambda$, $B$-ren Gorena dela frogatuko da. $B\preccurlyeq \lambda$ frogatuko da.

1: $\lambda$, $B$-ren Goi bornea da.

Absurdura bideratuz suposa bedi $\lambda$, ez dela $B$-ren goi bornea. Orduan $\exists x_{0}\in B:\lambda \prec x_{0}$.

i ) $x_{0}\prec 0$, bada $0\prec \lambda$ denez ezinezkoa da kasu hau ematea.

ii ) $0\preccurlyeq x_{0}\prec b$, bornaketagaitik. Honela $\forall n\in \mathbb {N} ,\exists !k_{n}\in [0,2^{n})\cap \mathbb {Z} :x_{0}\in B\cap [{\frac {k_{n}}{2^{n}}}\odot b,{\frac {k_{n}+1}{2^{n}}}\odot b)$

Eta orduan: $\lambda \prec x_{0}\Rightarrow \exists n_{0}\in \mathbb {N} :\lambda \prec {\frac {k_{n}}{2^{n}}}\odot b\preccurlyeq x_{0},\forall n\geq n_{0}$, zeren eta beste kasu batean, izaera euklidearragatik:$\forall n\in \mathbb {N} ,\exists n_{1}>n:{\frac {k_{n_{1}}}{2^{n_{1}}}}\odot b\preccurlyeq \lambda \prec x_{0}\prec {\frac {k_{n_{1}}+1}{2^{n_{1}}}}\odot b\Rightarrow e(\lambda ,x_{0})\leq e({\frac {k_{n_{1}}}{2^{n_{1}}}}\odot b,{\frac {k_{n_{1}}+1}{2^{n_{1}}}}\odot b)$, eta ezinezkoa da, eskuineko terminoa zerorantz hurbiltzen da eta ezkerrekoa positiboa da.

Honela: $\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\lambda \prec {\frac {k_{n}}{2^{n}}}\odot b\preccurlyeq x_{0},\forall n\geq n_{0}\Rightarrow \forall n\geq n_{0},\lambda \prec {\frac {k_{n}}{2^{n}}}\odot b\preccurlyeq \lambda _{n}$. Ezinezkoa da zeren eta orduan: $\forall n\geq n_{0},\lambda \prec {\frac {k_{f(n)}}{2^{f(n)}}}\odot b\preccurlyeq \lambda _{f(n)}$, eta $\lambda _{f(n)}$, hertsiki gorakorra denez: $\forall n\geq n_{0},\lambda \prec \lambda _{f(n_{0})}\prec q_{n}\prec \lambda _{f(n+1)}\Rightarrow \forall n\geq n_{0},e(\lambda ,\lambda _{f(n_{0})})\leq e(\lambda ,q_{n})$.

eskuineko terminoa zerorantz hurbiltzen da, eta ezkerrekoa positiboa da. Ezinezkoa da.

i ) eta ii ) atalen ondorioz: $\forall x\in B\Rightarrow x\preccurlyeq \lambda$. Honela: $\lambda$, $B$-ren Goi bornea da.

$\lambda$, $B$-ren Goi bornerik txikiena da. $B\preccurlyeq \alpha \preccurlyeq \lambda \Rightarrow \lambda =\alpha$, frogatuko da.

Izan bedi $\alpha \in B$, eta $B\preccurlyeq \alpha \prec \lambda$, ematen dela. Orduan $\forall n\in \mathbb {N} ,q_{n}\prec \lambda \prec p_{n}\Rightarrow \exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall n\geq n_{0},\alpha \prec q_{n}\prec \lambda \prec p_{n}$, eta ondorioz:$\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall n\geq n_{0}+1,\alpha \prec q_{n-1}\prec \lambda _{f(n)}\prec q_{n}\prec \lambda _{f{(n+1)}}\prec \lambda$, eta beraz $\exists x_{0}\in B\cap [\lambda _{f(n_{0})},\lambda _{f(n_{0}+1)})\Rightarrow \exists x_{0}\in B:\alpha <x_{0}<\lambda$. Ezinezkoa da, $B\preccurlyeq \lambda$ delako.

Ondorioz:$B\preccurlyeq \alpha \preccurlyeq \lambda \Rightarrow \lambda \preccurlyeq \alpha \Rightarrow \lambda =\alpha$.

$\Leftarrow$

Izan bedi $a_{n}\in \mathbb {Q}$, eta Cauchyrena, orduan existitzen dira bere baliokideak diren, segida gorakorra era beherakorra: $\exists p_{n}\uparrow ,q_{n}\downarrow ;p_{n}\leq q_{n}:\lim _{n\to \infty }\mid q_{n}-a_{n}\mid =\lim _{n\to \infty }\mid p_{n}-a_{n}\mid =0$.

$\{p_{n}:n\geq 1\}\subset \mathbb {Q}$, Cauchyrena denez, barnatua dago, eta beraz hipotesiagatik badu elementu Gorena. $\exists a\in E:a,\{p_{n}:n\geq 1\}$-ren gorena. $\forall n\geq 1,p_{n}\leq a$, goi bornea izateagatik.

Ikus dezagun $\forall n\geq 1,p_{n}\leq a\leq q_{n}$, erlazioa betetzen dela.

Suposa bedi: $\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall n\geq n_{0},p_{n}<q_{n}<a\Rightarrow \forall n\geq n_{0},p_{n}<q_{n_{0}}<a\Rightarrow a\leq q_{n_{0}}$, $a,\{p_{n}:n\geq 1\}$-ren gorena delako. ezinezkoa da. Ondorioz: $\forall n\in \mathbb {N} ,p_{n}<a<q_{n}\Rightarrow \forall n\in \mathbb {N} ,e(p_{n},a)+e(a,q_{n})=e(p_{n},q_{n})$. Eta eskuineko terminoa zerorantz doanez, ezkerrekoak zerorantz doaz, eta beraz: $\lim _{n\to \infty }p_{n}=\lim _{n\to \infty }q_{n}=\lim _{n\to \infty }a_{n}=a$.

Ondorioa

Proposizio honekin amaitzen dira, zenbaki errealen eraikuntzarako beharrezkoak diren axiomak. Azpigorputz txikienarekiko trinkoa eta osatua den espazio euklidearra bakarra da eta zenbaki errealen isomorfismo ordenatu isometrikoa da.

Ondorengoak dira bere eraikuntzarako axiomak:

Ondorengoak dira axiomak

$(E,\psi ,\phi ,\preccurlyeq ,e)$ Espazio euklidearra da, baldin eta ondorengo proposizioak betetzen baditu:

1: $(E,\psi ,\phi )$ Gorputz bat da.

2: $(E,\preccurlyeq )$ Erabateko ordena da.

3: $(E,\preccurlyeq )$ bateragarria da $(E,\psi )$ rekin. Segmentu erpinak ordena mantentzen dute desplazatzean.

$\forall x,y,z\in E;x\preccurlyeq y\Rightarrow \psi (x,z)\preccurlyeq \psi (y,z)$

4: $(E,e)$ Espazio metrikoa da.

5: $e(0,1)=1$ . Unitateko segmentuarena.

6: $(E,e)$ bateragarria da $(E,\psi )$ rekin. Segmentua zuzenean desplazatzean distantzia mantentzen du.

$\forall x,y,z\in E\Rightarrow e(x,y)=e(\psi (x,z),\psi (y,z))$

7: $(E,e)$ bateragarria da $(E,\psi )$ rekin. Sementuen baturaren distantzia, segmentu distantzien batura da.

$\forall x,y,z\in E;x\preccurlyeq y\preccurlyeq z\Rightarrow e(x,y)+e(x,z)=e(x,z)$

Espazio euklidear baten azpigorputz txikiena zenbaki arrazionalen isomorfismo isometriko ordenatua denez: $\mathbb {Q} \subset E$ , idatz daiteke orokortasuna galdu gabe.

8: $(E,e)$ Espazio metrikoa trinkoa da $(\mathbb {Q} ,e)$ rekiko. Edozein elementu, zenbaki arrazionalen limitea da.

9: $(E,e)$ Espazio metrikoa osatua dago $(\mathbb {Q} ,e)$ rekiko. Cauchyren segidek badute limitea.

Ikus dezagun baldintza hauekin zenbaki errealen isomorfismo ordenatu isometrikoa eraikitzen dela.

Proposizioa

Izan bedi $(E,\psi ,\phi ,\preccurlyeq ,e)$, azpigorputz txikienarekiko trinkoa eta osatua den espazio euklidearra. Orduan $\lim _{n\to \infty }e(0,\zeta _{n})=0\Rightarrow \forall x\in E,\lim _{n\to \infty }e(0,\phi (x,\zeta _{n}))=0$.

Froga:

$\exists \{a_{m}:m\geq 1\}\in C(\mathbb {Q} ):\lim _{m\to \infty }e(\phi (a_{m},\zeta _{n}),\phi (x,\zeta _{n}))=0$, (proposizioa)

$\Rightarrow \lim _{m\to \infty }e(\phi (2a_{m},\zeta _{n}),\phi (2x,\zeta _{n}))=0$. Orduan $e(0,\phi (x,\zeta _{n}))=e(\phi (x,\zeta _{n}),\phi (2x,\zeta _{n}))\leq e(\phi (x,\zeta _{n}),\phi (a_{m},\zeta _{n}))+e(\phi (a_{m},\zeta _{n}),\phi (2a_{m},\zeta _{n}))+e(\phi (2a_{m},\zeta _{n}),\phi (2x,\zeta _{n}))=$.

$3e(\phi (x,\zeta _{n}),\phi (a_{m},\zeta _{n}))+e(\phi (a_{m},\zeta _{n}),\phi (2a_{m},\zeta _{n}))=3e(\phi (x,\zeta _{n}),\phi (a_{m},\zeta _{n}))+\mid a_{m}\mid e(0,\zeta _{n}))$. 1 adierazpena (proposizioa).

$\{a_{m}:m\geq 1\}\in C(\mathbb {Q} )\Rightarrow \exists p\in \mathbb {Q} :\forall m\in \mathbb {N} ,\mid a_{m}\mid <p$, Cauchyren segidak bornatuak daudelako.

1 adierazpena. $3e(\phi (x,\zeta _{n}),\phi (a_{m},\zeta _{n}))+\mid a_{m}\mid e(0,\zeta _{n}))<3e(\phi (x,\zeta _{n}),\phi (a_{m},\zeta _{n}))+p\cdot e(0,\zeta _{n}))$.

$\varepsilon >0,\exists m_{0}\in \mathbb {N} :\forall m\geq m_{0}\Rightarrow e(\phi (x,\zeta _{n}),\phi (a_{m},\zeta _{n}))<{\frac {\varepsilon }{6}}$, eta $\varepsilon >0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall n\geq n_{0}\Rightarrow e(0,\zeta _{n})<{\frac {\varepsilon }{2p}}$. Ondorioz: $\forall n\geq n_{0}$.rentzat $e(0,\phi (x,\zeta _{n}))<3e(\phi (x,\zeta _{n}),\phi (a_{m},\zeta _{n}))+p\cdot e(0,\zeta _{n}))<3{\frac {\varepsilon }{6}}+p\cdot {\frac {\varepsilon }{2p}}=\varepsilon$.

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH

7.5. Irudia: $[C(\mathbb {Q} )]\subset \bigcup _{[q]\in [\mathbb {Q} ]}B([q],\varepsilon )$ irudikatu da.

$[C(\mathbb {Q} )]\subset \bigcup _{[q]\in [\mathbb {Q} ]}B([q],\varepsilon )$, irudikatu da.

Irudia: Irudia engainagarria da, badirudi zuzen euklidearreko puntu guztiak barneratzen direla. Ez da horrela: trinkotasunaren axiomak esaten du: $[C(\mathbb {Q} )]\subset \bigcup _{[q]\in [\mathbb {Q} ]}B([q],\varepsilon )$, eta beraz $[C(\mathbb {Q} )]$-ko elementu guztiak barneratzen dira, zuzen euklidearrean puntu gisara, baina ez da esaten zuzen euklidearreko puntu guztiak $[C(\mathbb {Q} )]$-ren barnean daudenik ( Beste axioma bat beharko da honetarako).

Oharra: Trinkotasunaren ondorioz: $[\mathbb {Q} ]$-n definiturik dagoen distantzia hedatu egiten da $[C(\mathbb {Q} )]$ multzora.

7.6. Habiapuntua

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metriko ezezaguna eta ondorengo ezaugarriak ditu:

1: $\forall [p],[q]\in [\mathbb {Q} ],e([p],[q])=d(p,q)=|p-q|$. Hedapenarena.

2: $\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}\Rightarrow \ [C(\mathbb {Q} )]\subset \bigcup _{[x]\in [\mathbb {Q} ]}B([x],\varepsilon )$. Trinkotasunarena.

7.8. lema: $([C(\mathbb {Q} )],e)$, espazio metrikoa bada, ondokoa betetzen da.

$x\in [C(\mathbb {Q} )]\Rightarrow \forall n\in \mathbb {N} ,\exists [a_{n}]\in [\mathbb {Q} ]:\lim _{n\to \infty }e([a_{n}],x)=0.$

Zeinetan: $\lim _{n\to \infty }e([a_{n}],x)=0$, adierazpenak ondorengo esanahia duen:

$\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+},\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall n\geq n_{0}\Rightarrow e([a_{n}],x)<\varepsilon$

Froga:

Trikotasunaren axiomagatik: $\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}\Rightarrow [C(\mathbb {Q} )]\subset \bigcup _{[q]\in [\mathbb {Q} ]}B([q],\varepsilon )$

$\varepsilon ={\frac {1}{n}},\exists [a_{n}]\in [\mathbb {Q} ]:x\in B([a_{n}],{\frac {1}{n}})\Rightarrow e([a_{n}],x)\leq {\frac {1}{n}}$

$\lim _{n\to \infty }e([a_{n}],x)=0$. ondorioztatzen da.

Laburduraz: $\forall n\in \mathbb {N} ,\exists [a_{n}]\in [\mathbb {Q} ]:\lim _{n\to \infty }e([a_{n}],x)=0$, adierazpena honela adieraziko da: $\{[a_{n}]:n\geq 1\}\subset [\mathbb {Q} ]:[a_{n}]\rightarrow x$, edo beste modu honetara: $\lim _{n\to \infty }[a_{n}]=x$.

7.9. Proposizioa: $([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa bada: $x,y\in [C(\mathbb {Q} )]$, emanik

$\forall \{[a_{n}]:n\geq 1\}\subset [\mathbb {Q} ]:[a_{n}]\rightarrow x$, eta $\forall \{[b_{n}]:n\geq 1\}\subset [\mathbb {Q} ]:[b_{n}]\rightarrow y$ rentzat, ondoko erlazioa betetzen da:

$\lim _{n\to \infty }|e(x,y)-|a_{n}-b_{n}||=0$.

Laburduraz: $e(x,y)=\lim _{n\to \infty }|a_{n}-b_{n}|$, adieraziko da.

Froga:

$\varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}$, emanik: $\varepsilon /2\in \mathbb {Q} ^{+}$.

$[a_{n}]\rightarrow x\Rightarrow \exists m_{0}\in \mathbb {N} :e(x,[a_{m}])<\varepsilon /2,\forall m\geq m_{0}$

$[b_{n}]\rightarrow x\Rightarrow \exists m_{1}\in \mathbb {N} :e(x,[b_{m}])<\varepsilon /2,\forall m\geq m_{1}$

Espazio metrikoen desberdintza triangeluarragatik: $\forall m\geq m_{2}=Max\{m_{0},m_{1}\}$

$e(x,y)\leq e(x,[a_{m}])+e([a_{m}],[b_{m}])+e([b_{m}],y)<e([a_{m}],[b_{m}])+\varepsilon$.

$e([a_{m}],[b_{m}])\leq e([a_{m}],x)+e(x,y)+e(y,[b_{m}])<e(x,y)+\varepsilon$.

Azken bi desberdintzen ondorioz:

$\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+},\exists m_{2}\in \mathbb {N} :|e(x,y)-d([a_{m}],[b_{m}])|<\varepsilon ,\forall m\geq m_{2}$.

$\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+},\exists m_{2}\in \mathbb {N} :|e(x,y)-|a_{m}-b_{m}||<\varepsilon ,\forall m\geq m_{2}$

Zeina honela adierazten den:

$\lim _{n\to \infty }|e(x,y)-|a_{n}-b_{n}||=0$.

7.10. Korolarioa:

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa bada: $x\in [C(\mathbb {Q} )]$, eta $\{[a_{n}]:n\geq 1\}\subset [\mathbb {Q} ]:[a_{n}]\rightarrow x$, emanik:

$e([0],x)=\lim _{n\to \infty }|a_{n}|$

Froga: 7.9. korolarioa aplikatu $x\in [C(\mathbb {Q} )]$ri.

7.11. Proposizioa:

$e:[C(\mathbb {Q} )]\times [C(\mathbb {Q} )]\rightarrow {\mathcal {A}}$, pseudometrika bat definitzen du.

Zeinetan: $x,y\in [C(\mathbb {Q} )]$ emanik,

$\forall \{[a_{n}]:n\geq 1\}\subset [\mathbb {Q} ]:[a_{n}]\rightarrow x$, eta $\forall \{[b_{n}]:n\geq 1\}\subset [\mathbb {Q} ]:[b_{n}]\rightarrow y$

$e(x,y)=\lim _{n\to \infty }|a_{n}-b_{n}|$.

Eta: ${\mathcal {A}}=\{\lim _{n\to \infty }e([0],[x_{n}]):[\{x_{n}:n\geq 1\}]\in [C(\mathbb {Q} )]\}$

Froga:

Frogapenean:

$\{[a_{n}]:n\geq 1\}\subset [\mathbb {Q} ]:[a_{n}]\rightarrow x$,

$\{[b_{n}]:n\geq 1\}\subset [\mathbb {Q} ]:[b_{n}]\rightarrow y$

eta $\{[c_{n}]:n\geq 1\}\subset [\mathbb {Q} ]:[c_{n}]\rightarrow z$.

1: $e:[C(\mathbb {Q} )]\times [C(\mathbb {Q} )]\rightarrow {\mathcal {A}}$ aplikazio bat da.

i)$[a_{n}]\rightarrow x$ eta $[b_{n}]\rightarrow y$, orduan: $[\{|a_{n}-b_{n}|:n\geq 1\}]\in [C(\mathbb {Q} )]$,

$e(x,y)=\lim _{n\to \infty }|a_{n}-b_{n}|=\lim _{n\to \infty }e([0],[a_{n}-b_{n}])$, ondorioz: $e(x,y)\in {\mathcal {A}}$

ii) $x=x';y=y'.$ Biz: $[a_{n}]\rightarrow x$, $[a'_{n}]\rightarrow x'$, $[b_{n}]\rightarrow y$ eta $[b'_{n}]\rightarrow y'$.

$x=x';y=y'.$Izateagatik, $\varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}$emanik $\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall n\geq n_{0}$

$|a_{n}-b_{n}|\leq |a_{n}-a'_{n}|+|a'_{n}-b'_{n}|+|b'_{n}-b_{n}|<|a'_{n}-b'_{n}|+\varepsilon$

$|a'_{n}-b'_{n}|\leq |a'_{n}-a_{n}|+|a_{n}-b_{n}|+|b_{n}-b'_{n}|<|a_{n}-b_{n}|+\varepsilon$

Ondorioz:$\varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}$ emanik $\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall n\geq n_{0}$ zeinetan:

$||a_{n}-b_{n}|-|a'_{n}-b'_{n}||<\varepsilon$, eta beraz:

$e(x,y)=\lim _{n\to \infty }|a_{n}-b_{n}|=\lim _{n\to \infty }|a'_{n}-b'_{n}|=e(x',y')$

Ondorioz: $e:[C(\mathbb {Q} )]\times [C(\mathbb {Q} )]\rightarrow {\mathcal {A}}$, aplikazioa da.

1: $x=y\Rightarrow e(x,y)=0$.

Izan ere: $[a_{n}]\rightarrow x=y$, orduan: $e(x,y)=e(x,x)=\lim _{n\to \infty }|a_{n}-a_{n}|=0$

2: $e(x,y)=e(y,x)$. Berealakoa da.

3: $e(x,y)\leq e(x,z)+e(z,y)$

Hots: $\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}\Rightarrow e(x,y)<e(x,z)+e(z,y)+\varepsilon$

$\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}\Rightarrow {\frac {\varepsilon }{3}}\in \mathbb {Q} ^{+}$, $\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall n\geq n_{0}$

$e(x,y)<e([a_{n}],[b_{n}])+{\frac {\varepsilon }{3}}$, $e([a_{n}],[c_{n}])<e(x,z)+{\frac {\varepsilon }{3}}$,

eta $e([c_{n}],[b_{n}])<e(z,y)+{\frac {\varepsilon }{3}}$desberdinatzak betetzen dira definizioz:

$e(x,y)<e([a_{n}],[b_{n}])+{\frac {\varepsilon }{3}}\leq e([a_{n}],[c_{n}])+e([c_{n}],[b_{n}])+{\frac {\varepsilon }{3}}$

$e([a_{n}],[c_{n}])+e([c_{n}],[b_{n}])+{\frac {\varepsilon }{3}}<e(x,z)+e(z,y)+\varepsilon$

Desberdintza triangeluarra ondorioztatzen da.

Ondorioa:

Zenbaki arrazionalen metatze puntuen ondorioz sortzen den gorputz berria trinkoa izateko axioma bat ezarri behar da. Axioma honen bidez, pseudometrika bat eratzen da. Honela bi puntu desberdinen arteko distantzia nulua izan daiteke.

Metatze puntuen gain metrika bat eraikitzen bada, zeinaren bidez metatze puntuen gorputza trinkoa den zenbaki arrazionalen gain, ezin da zihurtatu gorputza osatua denik, ez eta distantzien arteko kontserbazioa beteko denik ere.

Ondorioa:

$([C(\mathbb {Q} )],\phi ,\psi ,\preccurlyeq )$gorputz arkimediar osatua,$([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )$ edapena izanik, eta $([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa, trinkoa $([\mathbb {Q} ],e)$espazio metriko euklidearraren gain, orduan ere ezin da baieztatu $([C(\mathbb {Q} )],e)$ osatua denik, ez eta $([C(\mathbb {Q} )],e)$-k distantziak kontserbatzen dituenik.

Unitateari amaiera emateko korolario bat frogatuko da. $[C(\mathbb {Q} )]$ multzoko edozein elementurentzat, existitzen direla zenbaki horretara konbergitzen duten segida arrazional gorakorrak eta beherakorrak.

Zenbaki errealen multzoan nabaria den emaitza honek, baditu bere zailtasunak: ordena eta metrika soilik zenbaki arrazionalen gain definituak daudelako.7.8. Proposizioan frogatu da, edozein zenbakitara zenbaki arrazionalen bidez hurbil gaitezkeela.

7.13. Proposizioa

$\lim _{n\to \infty }[a_{n}]=\alpha \in ([\mathbb {C} (\mathbb {Q} )]-[\mathbb {Q} ])$, bada, ondorengo emaitza ematen da:

$p\in \mathbb {N}$, emanik $\exists n_{p}\in \mathbb {N}$, zeinetan:$\forall n\geq n_{p}\Rightarrow [a_{n}]\in B([a_{n_{p}}],{\frac {1}{p}})$

Froga:

$\lim _{n\to \infty }[a_{n}]=\alpha$, ematen denez, $\{[a_{n}]:n\geq 1\}$, Cauchyrena da.

$p\in \mathbb {N}$, emanik: $\varepsilon ={\frac {1}{p}}$, harturik: $\exists n_{p}\in \mathbb {N}$: $\forall n,m\geq n_{p}\Rightarrow e([a_{n}],[a_{m}])<{\frac {1}{p}}$

$m=n_{p}$, aukeratuz: $\forall n\geq n_{p}\Rightarrow e([a_{n}],[a_{n_{p}}])<{\frac {1}{p}}$

$\exists n_{p}\in \mathbb {N}$, non: $\forall n\geq n_{p}\Rightarrow [a_{n}]\in B([a_{n_{p}}],{\frac {1}{p}})$.

7.14. Proposizioa

$\lim _{n\to \infty }[a_{n}]=\alpha \in ([\mathbb {C} (\mathbb {Q} )]-[\mathbb {Q} ])$ , bada, ondorengo emaitza ematen da:

$p\in \mathbb {N}$, emanik $\exists n_{p}\in \mathbb {N}$, zeinetan:

1) $\forall n\geq n_{p}\Rightarrow [a_{n}]\in B([a_{n_{p}}],{\frac {1}{p}})$

2) $\alpha \in B([a_{n_{p}}],{\frac {1}{p}})$

Oharra: Zenbaki irrazionala $\alpha \in B([a_{n_{p}}],{\frac {1}{p}})$, ez du esan nahi ordenarekiko, bolan dagoenik.

Froga:

1) Atala, 7.13. proposizioan frogatu da, ikus dezagun $n_{p}$, aukera daitekeela 2. baldintza bete dezan.

$e(\alpha ,[a_{n_{p}}])\leq e(\alpha ,[a_{n}])+e([a_{n}],[a_{n_{p}}])$, $\lim _{n\to \infty }[a_{n}]=\alpha$ eta $n\geq n_{p}$, aukeratuz.

$e(\alpha ,[a_{n_{p}}])<e(\alpha ,[a_{n}])+{\frac {1}{p}}$, eta $\lim _{n\to \infty }e([a_{n}],\alpha )=0$.

Ondorioz: $e(\alpha ,[a_{n_{p}}])\leq {\frac {1}{p}}$., ondorioz: $e(\alpha ,[a_{n_{p}}])<{\frac {1}{p}}$, ala $e(\alpha ,[a_{n_{p}}])={\frac {1}{p}}$.

$\forall m\in \mathbb {N} \Rightarrow n_{p}+m\geq n_{p}$, Argudio hau: $[a_{n_{p}+m}]$, elementuarengain aplika daiteke:

Ondorioz: $e(\alpha ,[a_{n_{p}}])\leq {\frac {1}{p}}$, eta $\forall m\in \mathbb {N}$, $e(\alpha ,[a_{n_{p}+m}])\leq {\frac {1}{p}}$

i) $\exists m_{0}\in \mathbb {N} :[a_{n_{p}}]\neq [a_{n_{p}+m_{0}}]$, absurdura bideratuz

$\forall m\in \mathbb {N} :[a_{n_{p}}]=[a_{n_{p}+m}]\Rightarrow \lim _{n\to \infty }[a_{n}]=[a_{n_{p}}]\in [\mathbb {Q} ]$, ezinezkoa.

ii) $a_{n_{p}}<a_{n_{p}+m_{0}}$, ematen bada, eta $e(\alpha ,[a_{n_{p}}])=e(\alpha ,[a_{n_{p}+m_{0}}])={\frac {1}{p}}$.

$\forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow 0<a_{n_{p}+m_{0}}-a_{n_{p}}=a_{n_{p}+m_{0}}-a_{n}+a_{n}-a_{n_{p}}$

$e(\alpha ,[a_{n_{p}}])=e(\alpha ,[a_{n_{p}+m_{0}}])={\frac {1}{p}}$ ematen denez.

$e(\alpha ,[a_{n_{p}}])=\lim _{n\to \infty }e([a_{n}],[a_{n_{p}}])={\frac {1}{p}}$, eta $e(\alpha ,[a_{n_{p}+m_{0}}])=\lim _{n\to \infty }e([a_{n}],[a_{n_{p}+m_{0}}])={\frac {1}{p}}$.

$\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+},\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall n\geq n_{0}$

${\begin{cases}|a_{n}-a_{n_{p}}|\in ({\frac {1}{p}}-\varepsilon ,{\frac {1}{p}}+\varepsilon )\\|a_{n}-a_{n_{p}+m_{0}}|\in ({\frac {1}{p}}-\varepsilon ,{\frac {1}{p}}+\varepsilon )\end{cases}}$

Baldin eta soilik baldin:

${\begin{cases}a_{n}-a_{n_{p}}\in (-{\frac {1}{p}}-\varepsilon ,-{\frac {1}{p}}+\varepsilon )\cup ({\frac {1}{p}}-\varepsilon ,{\frac {1}{p}}+\varepsilon )\\a_{n}-a_{n_{p}+m_{0}}\in (-{\frac {1}{p}}-\varepsilon ,-{\frac {1}{p}}+\varepsilon )\cup ({\frac {1}{p}}-\varepsilon ,{\frac {1}{p}}+\varepsilon )\end{cases}}$

Baldin eta soilik baldin:

$a_{n_{p}},a_{n_{p}+m_{0}}\in (a_{n}-{\frac {1}{p}}-\varepsilon ,a_{n}-{\frac {1}{p}}+\varepsilon )\cup (a_{n}+{\frac {1}{p}}-\varepsilon ,a_{n}+{\frac {1}{p}}+\varepsilon )$

$a_{n_{p}}<a_{n_{p}+m_{0}}$, ematen denez: $\forall \varepsilon \leq {\frac {a_{n_{p}+m_{0}}-a_{n_{p}}}{2}}\in \mathbb {Q} ^{+}$

${\begin{cases}a_{n}-a_{n_{p}}\in ({\frac {1}{p}}-\varepsilon ,{\frac {1}{p}}+\varepsilon )\\a_{n}-a_{n_{p}+m_{0}}\in (-{\frac {1}{p}}-\varepsilon ,-{\frac {1}{p}}+\varepsilon )\end{cases}}$

Eta $\forall \varepsilon \leq Min\{{\frac {a_{n_{p}+m_{0}}-a_{n_{p}}}{2}},{\frac {1}{p}}\}\in \mathbb {Q} ^{+}$, aukeratuz:

$\forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow {\begin{cases}a_{n}-a_{n_{p}}>0\\a_{n}-a_{n_{p}+m_{0}}<0\end{cases}}$

Ondorioz: $\forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow 0<a_{n_{p}+m_{0}}-a_{n_{p}}=(a_{n_{p}+m_{0}}-a_{n})+(a_{n}-a_{n_{p}})$

Eta: $e(\alpha ,[a_{n_{p}+m_{0}}])=\lim _{n\to \infty }e([a_{n}],[a_{n_{p}+m_{0}}])={\frac {1}{p}}$

Honela: $\exists n\in \mathbb {N} :0<a_{n_{p}+m_{0}}-a_{n_{p}}=(a_{n_{p}+m_{0}}-a_{n})+(a_{n}-a_{n_{p}})>{\frac {1}{p}}$

$e([a_{n_{p}}],[a_{n_{p}+m_{0}}])=a_{n_{p}+m_{0}}-a_{n_{p}}>{\frac {1}{p}}$, ezinezkoa.

iii) Modu berean argudiatuz:

$a_{n_{p}}>a_{n_{p}+m_{0}}$, eta $e(\alpha ,[a_{n_{p}}])=e(\alpha ,[a_{n_{p}+m_{0}}])={\frac {1}{p}}$ ezinezkoa da.

Zenbaki arrazionalak ordenatuak daudenez:

$e(\alpha ,[a_{n_{p}}])<{\frac {1}{p}}$, edo $e(\alpha ,[a_{n_{p}+m_{0}}])<{\frac {1}{p}}$

Ondorioz:$\exists m_{p}\in \mathbb {N}$: $m_{p}=n_{p}$, edo $m_{p}=n_{p+m_{0}}$, kasurako: $e(\alpha ,[a_{m_{p}}])<{\frac {1}{p}}$

1) $\forall n\geq m_{p}\Rightarrow [a_{n}]\in B([a_{m_{p}}],{\frac {1}{p}})$

2) $\alpha \in B([a_{m_{p}}],{\frac {1}{p}})$

7.15. Teorema:

$\lim _{n\to \infty }[a_{n}]=\alpha \in ([\mathbb {C} (\mathbb {Q} )]-[\mathbb {Q} ])$ ematen bada.

$\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+};\forall {\frac {1}{p}}<{\frac {\varepsilon }{2}},\exists n_{p}\in \mathbb {N} ;\exists \varepsilon _{p}\in \mathbb {Q} ^{+}:\forall n\geq n_{p}$

i) $\alpha ,[a_{n}]\in B([a_{n_{p}}],{\frac {1}{p}})$

ii) $B(\alpha ,\varepsilon _{p})\subset B([a_{n_{p}}],{\frac {1}{p}})\subset B(\alpha ,\varepsilon )$

Froga:

$\varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}$, emanik eta: ${\frac {1}{p}}<{\frac {\varepsilon }{2}}$ aukeraturik,

7.14. Proposizioagatik: $\exists n_{p}\in \mathbb {N}$, zeinetan:$\forall n\geq n_{p}$

1) $\alpha ,[a_{n}]\in B([a_{n_{p}}],{\frac {1}{p}})$

2)$B(\alpha ,\varepsilon _{p})\subset B([a_{n_{p}}],{\frac {1}{p}})\subset B(\alpha ,\varepsilon )$, frogatzeko:

$\alpha \in B([a_{n_{p}}],{\frac {1}{p}})\Rightarrow e(\alpha ,[a_{n_{p}}])<{\frac {1}{p}}\Rightarrow {\frac {1}{p}}-e(\alpha ,[a_{n_{p}}])>0$

Honela: $\exists \varepsilon _{p}\in \mathbb {Q} ^{+};\varepsilon _{p}<{\frac {1}{p}}-e(\alpha ,[a_{n_{p}}])$, ezaugarri arkimediarragatik.

$x\in B(\alpha ,\varepsilon _{p})\Rightarrow e(\alpha ,x)<\varepsilon _{p}$ bada

$e(x,[a_{n_{p}}])\leq e(\alpha ,x)+e(\alpha ,[a_{n_{p}}])<\varepsilon _{p}+e(\alpha ,[a_{n_{p}}])<{\frac {1}{p}}$

$\Rightarrow x\in B([a_{n_{p}}],{\frac {1}{p}})$, eta beraz: $B(\alpha ,\varepsilon _{p})\subset B([a_{n_{p}}],{\frac {1}{p}})$

$x\in B([a_{n_{p}}],{\frac {1}{p}})\Rightarrow e([a_{n_{p}}],x)<{\frac {1}{p}}$

$e(\alpha ,x)\leq e(\alpha ,[a_{n_{p}}])+e([a_{n_{p}}],x)<{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p}}={\frac {2}{p}}<\varepsilon$

$\Rightarrow x\in B(\alpha ,\varepsilon )$, eta beraz: $B([a_{n_{p}}],{\frac {1}{p}})\subset B(\alpha ,\varepsilon )$

7.16 Korolarioa

$\alpha \in ([\mathbb {C} (\mathbb {Q} )]-[\mathbb {Q} ])\Rightarrow \exists [a_{n}]\uparrow \alpha ;\exists [b_{n}]\downarrow \alpha$

Froga:

Trinkotasunagatik $\exists [c_{n}]\rightarrow \alpha$

$\varepsilon _{0}=1\in \mathbb {Q} ^{+};p_{1}=3$ ri, 7.15 teorema aplikatuz:

$\exists n_{1}\in \mathbb {N} ;\exists \varepsilon _{1}\in \mathbb {Q} ^{+}:\forall n\geq n_{1}$

i) $\alpha ,[c_{n}]\in B([c_{n_{1}}],{\frac {1}{3}})$

ii) $B(\alpha ,\varepsilon _{1})\subset B([c_{n_{1}}],{\frac {1}{3}})\subset B(\alpha ,1)$

$a_{1}=c_{n_{1}}-{\frac {1}{p_{1}}};b_{1}=c_{n_{1}}+{\frac {1}{p_{1}}}$ aukeratzen dira.

Eta berriro ere, $\varepsilon _{1}\in \mathbb {Q} ^{+}\Rightarrow \exists {\frac {1}{p_{2}}}<{\frac {\varepsilon _{1}}{2}}$, aurreko teorema aplikatuz:

$\exists n_{2}\in \mathbb {N} ;n_{2}>n_{1};\exists \varepsilon _{2}\in \mathbb {Q} ^{+}:\forall n\geq n_{2}$

i) $\alpha ,[c_{n}]\in B([c_{n_{2}}],{\frac {1}{p_{2}}})$

ii) $B(\alpha ,\varepsilon _{2})\subset B([c_{n_{2}}],{\frac {1}{p_{2}}})\subset B(\alpha ,\varepsilon _{1})$

Eta $a_{2}=c_{n_{2}}-{\frac {1}{p_{2}}};b_{2}=c_{n_{2}}+{\frac {1}{p_{2}}}$, aukeratzen dira.

Eta berriro ere: $\varepsilon _{2}\in \mathbb {Q} ^{+}\Rightarrow \exists {\frac {1}{p_{3}}}<{\frac {\varepsilon _{2}}{2}}$, teorema aplika daiteke.

....

Errekurrentziz ondorengo segida eraikitzen da:

$a_{k}=c_{n_{k}}-{\frac {1}{p_{k}}};b_{k}=c_{n_{k}}+{\frac {1}{p_{k}}}$, zeinetan:

$B([c_{n_{k+1}}],{\frac {1}{p_{k+1}}})\subset B(\alpha ,\varepsilon _{k+1})\subset B([c_{n_{k}}],{\frac {1}{p_{k}}})$

Ondorioz:

$a_{k}=c_{n_{k}}-{\frac {1}{p_{k}}}\leq a_{k+1}=c_{n_{k+1}}-{\frac {1}{p_{k+1}}}$ $\Rightarrow [a_{n}]\uparrow$

$b_{k}=c_{n_{k}}+{\frac {1}{p_{k}}}\geq b_{k+1}=c_{n_{k+1}}+{\frac {1}{p_{k+1}}}$$\Rightarrow [b_{n}]\downarrow$

Gainera: $p_{1}<p_{2}<p_{3}<...<p_{n}<...$ eta ondorioz:

$e(\alpha ,[a_{k}])=e(\alpha ,[c_{n_{k}}-{\frac {1}{p_{k}}}])\leq e(\alpha ,[c_{n_{k}}])+e([c_{n_{k}}],[c_{n_{k}}-{\frac {1}{p_{k}}}])$

$\alpha \in B([c_{n_{k}}],{\frac {1}{p_{k}}})\Rightarrow e([c_{n_{k}}],\alpha )<{\frac {1}{p_{k}}}$

Eta beraz: $e(\alpha ,[a_{k}])<{\frac {2}{p_{k}}}\Rightarrow [a_{n}]\uparrow \alpha$

$e(\alpha ,[b_{k}])=e(\alpha ,[c_{n_{k}}+{\frac {1}{p_{k}}}])\leq e(\alpha ,[c_{n_{k}}])+e([c_{n_{k}}],[c_{n_{k}}+{\frac {1}{p_{k}}}])$

$\alpha \in B([c_{n_{k}}],{\frac {1}{p_{k}}})\Rightarrow e([c_{n_{k}}],\alpha )<{\frac {1}{p_{k}}}$

$e(\alpha ,[b_{k}])<{\frac {2}{p_{k}}}\Rightarrow [b_{n}]\downarrow \alpha$

$B(\alpha ,\varepsilon _{k+1})\subset B([c_{n_{k}}],{\frac {1}{p_{k}}})$, irudikatu da

Oharra: Irudian $\alpha \in B(\alpha ,\varepsilon )\subset B([q],{\frac {1}{p}})$, irudikatu da, eta kontuz ibili behar da, zeren geroago ikusiko den kontraadibidean $[C(\mathbb {Q} )]$-ko elementuak ordenarekiko irudikatzen badira zuzen euklidearrean, behar bada, $\alpha \in ([C(\mathbb {Q} )]-[\mathbb {Q} ])$, ez da egongo irudikatu den bolaren barnean, naiz eta bolan dauden elementu arrazionalekiko gertu egon.

8. Osaketa

Osaketarekin axioma berri bat txertatzen da, $[\mathbb {Q} ]$ren gain definitutako Cauchyren segidak konbergenteak direla. Honela ondorengoa da egoera.

$([C(\mathbb {Q} )],\phi ,\psi ,\preccurlyeq )$gorputz ordenatu arkimediarra da, eta $([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )$ zenbaki arrazional ordenatu arkimediarren edapena da.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa, trinkoa da: $([\mathbb {Q} ],e)$espazio metriko euklidearraren gain.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa, osatua da: $([\mathbb {Q} ],e)$espazio metriko euklidearraren gain.

Orduan ere ezin da baieztatu ezaugarri hauek dituen gorputza bakarra denik, edo zenbaki errealen gorputzaren isomorfismo isometrikoa denik.

Ondorioak:

1: Gorputz ordenatu arkimediar trinko eta osatu txikiena, ez da zenbaki errealen isomorfismo isometrikoa, eta beraz emandako metrika berriak baldintza osagarriren bat bete behar du azpigorputz ordenatu arkimediar txikienaren gain.

2: Ezaugarri hori ez da unitateko distantziaren kontserbazioa, zeren azken kontraadibidean:

$\forall x,y\in [C(\mathbb {Q} )]\Rightarrow e(x,y)=e(x\oplus [1],y\oplus [1])$, betetzen da.

Hurrengo kontraadibidean, ikusiko da distantziaren kontserbazioa zenbaki arrazionaletara hedatzen bada, baldintza hori ez dela nahikoa zenbaki errealen isomorfismo isometriko bat eraikitzeko.

8.2. kontraadibidea

$([C(\mathbb {Q} )],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )$, zenbaki errealetan bezala definitua.

$x\oplus y=[\{x_{n}+y_{n}:n\geq 1\}]$, $x\odot y=[\{x_{n}\cdot y_{n}:n\geq 1\}]$ eta $x\preccurlyeq y\Leftrightarrow \lim _{n\to \infty }(y_{n}-x_{n})\geq 0$.

Zeinak gorputz ordenatu arkimediarra eratzen duen, 8.2 kontraadibidean bezala.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa honela definitua:

$e([p],[q])=|p-q|$, baldin eta: $[p],[q]\in [\mathbb {Q} ]$ ematen bada.

$e(x,y)=\lim _{n\to \infty }|x_{n}-y_{n}|$, baldin eta: $x,y\notin [\mathbb {Q} ]$ ematen bada.

$e([p],x)=\lim _{n\to \infty }|p-(x_{n}-1)|$, baldin eta:$[p]\in [\mathbb {Q} ]$ eta $x\notin [\mathbb {Q} ]$ ematen bada.

Baldintza hauetan $([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metriko bat da, $([\mathbb {Q} ],d)$ espazio metriko euklidearraren hedapena da.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ trinkoa da, $([\mathbb {Q} ],d)$ espazio metrikoaren gain.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ osatua da, $([\mathbb {Q} ],d)$ espazio metrikoaren gain.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoak, distantzia kontserbatzen du zenbaki arrazionalen bidezko batura bidez. Hots:

$\forall x,y\in [C(\mathbb {Q} )];\forall [p]\in [\mathbb {Q} ]\Rightarrow e(x,y)=e(x\oplus [p],y\oplus [p])$

$([C(\mathbb {Q} )],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq ,e)$ ez da zenbaki errealen isomorfismo isometrikoa.

Ondorioa: Beharrezkoa da, distatziaren kontserbazioa zenbaki multzo handiago batetara hedatzea, zenbaki irrazionaletara hedatuko da.

8.3. Axioma

$([C(\mathbb {Q} )],\psi ,\phi ,\preccurlyeq )$ Gorputz ordenatu arkimediarra, $([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\leq )$ zenbaki arrazional ordenatu arkimediarren hedapena da.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa $([\mathbb {Q} ],d)$ espazio metriko euklidearraren hedapena da, eta bateragarria baturarekiko: $\psi$.

$\forall x,y,z\in [C(\mathbb {Q} )]\Rightarrow e(x,y)=e(\psi (x,z),\psi (y,z))$

8.4. Proposizioa

$\forall \alpha \in [C(\mathbb {Q} )]\Rightarrow$$\psi _{\alpha }:[C(\mathbb {Q} )]\rightarrow [C(\mathbb {Q} )]$ jarraia da, zeinetan: $\psi _{\alpha }(x)=\psi (\alpha ,x)$.

Froga:

Topologia metrikoetan, multzo irekien oinarri bat bola irekiek osatzen dute.

Izan bedi: $B(b,\varepsilon )$, Ikus dezagun $\psi _{\alpha }^{-1}(B(b,\varepsilon ))$, multzo irekia dela.

$a=\psi (b,{\overline {\alpha }})$, hartzen bada orduan: $\psi _{\alpha }(B(a,\varepsilon ))=B(b,\varepsilon )$, betetzen da.

$y\in \psi _{\alpha }(B(a,\varepsilon ))\Rightarrow y=\psi (\alpha ,x):x\in B(a,\varepsilon )$

$e(b,y)=e(\psi _{\alpha }(a),\psi _{\alpha }(x))=e(\psi (\alpha ,a),\psi (\alpha ,x))=e(a,x)<\varepsilon$.

Ondorioz: $y\in \psi _{\alpha }(B(a,\varepsilon ))\Leftrightarrow y\in B(b,\varepsilon )$, eta ondorioz: $\psi _{\alpha }^{-1}(B(b,\varepsilon ))=B(a,\varepsilon )$ irekia da.

Ondorioak:

Bi ondorio. Lehena baldintza hauetan bi zenbaki irrazionalen artean existitzen dira zenbaki arrazionalak.

Bigarrena: Zenbaki berdinera konbergitzen duten,segida arrazional gorakor batek eta segida arrazional beherakor batek, puntu bakarra barneratzen dute, edo ez dute ezer barneratzen. (Zeinak gorenaren axiomara hurbiltzen gaituen).

Ondorengoa da egoera:

$([C(\mathbb {Q} )],\phi ,\psi ,\preccurlyeq )$gorputz ordenatu arkimediarra da, eta $([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )$ zenbaki arrazional ordenatu arkimediarren edapena da.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa, trinkoa da: $([\mathbb {Q} ],e)$espazio metriko euklidearraren gain.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa, osatua da: $([\mathbb {Q} ],e)$espazio metriko euklidearraren gain.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoak bateragarria da: $\psi$, barne konposizio legearekiko.

Azken baieztapena, axioma moduan txertatu behar izan denak esaten du: bi puntuk osatzen duten segmentua, zenbaki batekin batuz segmentua zuzen euklidearrean trasladatzen bada, segmentuak distantzia kontserbatu egiten duela. Hots: zenbaki arrazionalen gaineko metrika euklidearraren ezaugarria.

8.5. Proposizioa

$[a_{n}]\rightarrow \alpha \Rightarrow [-a_{n}]\rightarrow {\overline {\alpha }}$, zeinetan: $\psi (\alpha ,{\overline {\alpha }})=[0]$

Froga:

$e([-a_{n}],{\overline {\alpha }})=e({\overline {[a_{n}]}},{\overline {\alpha }})=e(\psi ({\overline {[a_{n}]}},[a_{n}]),\psi ({\overline {\alpha }},[a_{n}])=e([0],\psi ({\overline {\alpha }},[a_{n}])$

$e([0],\psi ({\overline {\alpha }},[a_{n}])=e(\psi ([0],\alpha ),\psi (\psi ({\overline {\alpha }},[a_{n}]),\alpha )=e(\alpha ,\psi (\psi ({\overline {\alpha }},\alpha ),[a_{n}])$

$e(\alpha ,\psi (\psi ({\overline {\alpha }},\alpha ),[a_{n}])=e(\alpha ,\psi ([0],[a_{n}])=e(\alpha ,[a_{n}])\rightarrow 0$

Notazioa: Distantzia eta ordena bereizte aldera ondorengo notazioa erabiliko da.

$[a,b]=\{x\in [C(\mathbb {Q} )]:a\preccurlyeq x\preccurlyeq b\}$, bitarte ertsiak zein irekiak erabiliz.

8.6. Proposizioa

Bi zenbakiren artean, existitzen da zenbaki arrazional bat.

$\alpha ,\beta \in [C(\mathbb {Q} )]:\alpha \prec \beta \Rightarrow \exists [q]\in [\mathbb {Q} ]:\alpha \prec [q]\prec \beta$

Froga:

$\alpha \prec \beta \Rightarrow [0]=\psi (\alpha ,{\overline {\alpha }})\prec \psi (\beta ,{\overline {\alpha }})$, ordena bateragarria delako barne konposizio legearekin.

$\exists n\in \mathbb {N} :[0]\prec [{\frac {1}{n}}]\prec \psi (\beta ,{\overline {\alpha }})$, gorputz ordenatua, arkimediarra izateagatik.

$[a,b)=\{x\in [C(\mathbb {Q} )]:a\preccurlyeq x\prec b\}$adieraziko da. Orduan:

$[C(\mathbb {Q} )]=\sum _{k\in \mathbb {Z} }[[{\frac {k}{n}}],[{\frac {k+1}{n}}])$, bitarte erdi irekien bilketa disjuntua dela frogatuko da.

$\supset$

$\forall k\in \mathbb {Z} ,[[{\frac {k}{n}}],[{\frac {k+1}{n}}])\subset [C(\mathbb {Q} )]\Rightarrow$$\sum _{k\in \mathbb {Z} }[[{\frac {k}{n}}],[{\frac {k+1}{n}}])\subset [C(\mathbb {Q} )]$

$\subset$

$x_{0}\in [C(\mathbb {Q} )]$ emanik, izan bedi, $E(x_{0})=\{[{\frac {k}{n}}]\in [\mathbb {Q} ]:k\in \mathbb {Z} ;[{\frac {k}{n}}]\preccurlyeq x_{0}\}$

Baldin eta: $x_{0}\succ [0]$, bada, ezaugarri arkimediarragatik:

$\exists N\in \mathbb {N} :x_{0}\prec [N]=[{\frac {N\cdot n}{n}}]$, eta

$\exists M\in \mathbb {N} :{\overline {x_{0}}}\prec [M]\Rightarrow \psi ({\overline {x_{0}}},[{\overline {M}}])\prec [0]\Rightarrow$

$\Rightarrow [{\overline {M}}]=\psi (x_{0},\psi ({\overline {x_{0}}},[{\overline {M}}]))\prec \psi (x_{0},[0])=x_{0}\Rightarrow [{\overline {M}}]\prec x_{0}$

Ondorioz: $[{\overline {M}}]=[-{\frac {M\cdot n}{n}}]\prec x_{0}\prec [{\frac {N\cdot n}{n}}]\Rightarrow \exists !k\in \mathbb {Z} :[{\frac {k}{n}}]\prec x_{0}\prec [{\frac {k+1}{n}}]$

$x_{0}\prec [0]$ bada $[0]\prec [{\overline {x_{0}}}]$-ren gain berdin argudiatuz emaitza lortzen da.

Orduan $\forall n\in \mathbb {N} ,\exists !k,q\in \mathbb {Z} :[{\frac {k}{n}}]\prec \alpha \prec [{\frac {k+1}{n}}];[{\frac {q}{n}}]\prec \beta \prec [{\frac {q+1}{n}}]$

I) $[q+1]\preccurlyeq [k]\Rightarrow \beta \prec [{\frac {q+1}{n}}]\preccurlyeq [{\frac {k}{n}}]\prec \alpha$, ezinezkoa.

ii) $[q]=[k]\Rightarrow [{\frac {k}{n}}]\preccurlyeq \alpha \prec \beta \prec [{\frac {k+1}{n}}]$

$\psi ([{\frac {k}{n}}],{\overline {\alpha }})\preccurlyeq \psi (\alpha ,{\overline {\alpha }})\prec \psi (\beta ,{\overline {\alpha }})\prec \psi ([{\frac {k+1}{n}}],{\overline {\alpha }})$

$\psi ([{\frac {k}{n}}],{\overline {\alpha }})\preccurlyeq [0]\prec [{\frac {1}{n}}]\prec \psi (\beta ,{\overline {\alpha }})\prec \psi ([{\frac {k+1}{n}}],{\overline {\alpha }})$

$[0]=\psi ([{\frac {1}{n}}],[-{\frac {1}{n}}])\prec \psi (\psi ([{\frac {k+1}{n}}],{\overline {\alpha }}),[-{\frac {1}{n}}])=\psi ([{\frac {k}{n}}],{\overline {\alpha }})$

Eta ondorioz: $\psi ([{\frac {k}{n}}],{\overline {\alpha }})\preccurlyeq [0]\prec \psi ([{\frac {k}{n}}],{\overline {\alpha }})$. Zeina ezinezkoa den.

i) eta ii)-ren ondorioz: $[q]>[k]\Rightarrow [k+1]\preccurlyeq [q]$

$[{\frac {k}{n}}]\preccurlyeq \alpha \prec [{\frac {k+1}{n}}]\preccurlyeq [{\frac {q}{n}}]\prec \beta \prec [{\frac {q+1}{n}}]$

Beraz bi zenbakiren artean existitzen da zenbaki arrazional bat.

Oharra: Ondorengo proposizioek Gorenaren axiomara hurbilduko gaitu.

8.7. Proposizioa.

$[a_{n}]\uparrow \alpha$ eta $[b_{n}]\downarrow \alpha$, orduan $\forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow [a_{n}]\leq [b_{n}]$

Froga:

Absurdura bideratuz suposa bedi: $\exists n_{0}\in \mathbb {N} :[b_{n_{0}}]<[a_{n_{0}}]$

$[a_{n}]\uparrow \alpha$ eta $[b_{n}]\downarrow \alpha$ $\Rightarrow \forall m>n_{0},[b_{m}]\leq [b_{n_{0}}]<[a_{n_{0}}]\leq [a_{m}]$

Desberdintza zenbaki arrazionalen artekoa denez:

$0<e([b_{n_{0}}],[a_{n_{0}}])\leq e([b_{m}],[a_{m}])\leq e([b_{m}],\alpha )+e([a_{m}],\alpha )$

$e([b_{m}],\alpha )+e([a_{m}],\alpha )\rightarrow 0$ , ezinezkoa.

8.8. Proposizioa

$[a_{n}]\uparrow \alpha$ eta $[b_{n}]\downarrow \alpha$, orduan bi proposizio hauetako bakar bat betetzen da:

1 ) $\exists !x\in [C(\mathbb {Q} )]:\bigcap _{n\geq 1}[[a_{n}],[b_{n}]]=\{x\}$

2) $\bigcap _{n\geq 1}[[a_{n}],[b_{n}]]=\emptyset$

Froga.

Absurdura bideratuz, suposa bedi $\exists \alpha ,\beta \in \bigcap _{n\geq 1}[[a_{n}],[b_{n}]]$ eta $\alpha <\beta$.

8.6. proposizioagatik,$\exists [p],[q]\in [\mathbb {Q} ]$, non $\alpha <[p]<[q]<\beta$.

$\exists \alpha ,\beta \in \bigcap _{n\geq 1}[[a_{n}],[b_{n}]]\Rightarrow$ $\forall n\in \mathbb {N} ,[a_{n}]\prec \alpha \prec \beta \prec [b_{n}]$

Zeren $[a_{n},b_{n}]=\{x\in [C(\mathbb {Q} )]:[a_{n}]\preccurlyeq x\preccurlyeq [b_{n}]\}$

Honela zenbaki arrazionalen harteko ondorengo desberdintza betetzen da.

$\forall n\in \mathbb {N} ,[a_{n}]\prec \alpha \prec [p]\prec [q]\prec \beta \prec [b_{n}]$, eta ondorioz:

$0<e([p],[q])\leq e([a_{n}],[b_{n}])\rightarrow 0$ ezinezkoa.

Ondorioz ezinezkoa da $\bigcap _{n\geq 1}[[a_{n}],[b_{n}]]$ multzoak bi elementu edo gehio izatea.

Eta beraz elementu bakarra izango du ala multzo hutsa izango da.

Hipotesia: Multzo hutsaren hipotesia.

$\exists$ $[a_{n}]\uparrow \alpha$ eta $[b_{n}]\downarrow \alpha$, non $\bigcap _{n\geq 1}[[a_{n}],[b_{n}]]=\emptyset$.

Baldintzak:

Ondorengoa da egoera:

$([C(\mathbb {Q} )],\phi ,\psi ,\preccurlyeq )$gorputz ordenatu arkimediarra da, eta $([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )$ zenbaki arrazional ordenatu arkimediarren edapena da.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa, trinkoa da: $([\mathbb {Q} ],e)$espazio metriko euklidearraren gain.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa, osatua da: $([\mathbb {Q} ],e)$espazio metriko euklidearraren gain.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoak bateragarria da: $\psi$, barne konposizio legearekiko.

8.9. Teorema.

Multzo hutsaren hipotesia betetzen bada ezinezkoa da, $[C(\mathbb {Q} )]$, zenbaki errealen isomorfismo isometrikoa izatea.

Froga:

Absurdura bideratuz isomorfismo isometriko bat existitzen bada: $\exists ,F:[C(Q)]\rightarrow \mathbb {R}$, zeinetan, $F$ isomorfismo isometrikoa den.

Orduan $F$, aplikazioak zenbaki arrazionalak finko mantentzen ditu, eta ordena mantentzen du, eta hori ezinezkoa da.

$\exists$ $[a_{n}]\uparrow \alpha$ eta $[b_{n}]\downarrow \alpha$, non $\bigcap _{n\geq 1}[[a_{n}],[b_{n}]]=\emptyset$.

$[[a_{n}],[b_{n}]]=\{x\in [C(Q)]:[a_{n}]\preccurlyeq x\preccurlyeq [b_{n}]\}$, eta ondorioz: $F([[a_{n}],[b_{n}]])=\{F(x)\in \mathbb {R} :[a_{n}]\preccurlyeq x\preccurlyeq [b_{n}]\}$.

$F$, isomorfismoak ordena mantentzen duenez, $F([[a_{n}],[b_{n}]])=\{F(x)\in \mathbb {R} :a_{n}\leq F(x)\leq b_{n}\}=[a_{n},b_{n}]$.

Honela: $F(\bigcap _{n\geq 1}[[a_{n}],[b_{n}]])=F(\emptyset )=\emptyset$ eta

$F(\bigcap _{n\geq 1}[[a_{n}],[b_{n}]])=\bigcap _{n\geq 1}F([[a_{n}],[b_{n}]])=\bigcap _{n\geq 1}[a_{n},b_{n}]=\lim _{n\to \infty }a_{n}$

Lehen berdintza $F$ bijektiboa delako, eta azken berdintza zenbaki errealek gorenaren axioma betetzen dutelako.

Ezinezkoa da beraz multzo hutsaren hipotesia betetzea.$[C(\mathbb {Q} )]$ zenbaki errealen isomorfismo isometrikoa izatea nahi bada.

9. Gorenaren Axioma: Kontraadibidea

$([C(\mathbb {Q} )],\psi ,\phi ,\preccurlyeq )$ Gorputz ordenatu arkimediarra existitzen dela frogatuko da lehenik. Zeinetan:

1: $\psi (x,y)=x\oplus y$, $\psi (x,y)=x\oplus y=[\{x_{n}:n\geq 1\}]\oplus [\{y_{n}:n\geq 1\}]=[\{x_{n}+y_{n}:n\geq 1\}]$

2: $[C(\mathbb {Q} )]$-k multzo ez hutsaren hipotesia betetzen duela suposatuko da ( edo ez duela Gorenaren axioma betetzen ).

$[C(\mathbb {Q} )]$-ko elementuak ordenarekiko konparatuko dira zenbaki errealekin, eta $[C(\mathbb {Q} )]$ -k multzo hutsaren hipotesia betetzen duenez, hutsune horrek zenbaki errealetan puntu bat determinatuko du. Honela zenbaki errealetan zenbait puntu kenduaz gorputz bat eraiki daitekeela frogatuko da Zorn-en Lema erabiliz (Zeina aukeraketaren axiomaren baliokidea den). Gorputz hau existitzen dela frogatuko da eta $([C(\mathbb {Q} )],\oplus ,\phi ,\preccurlyeq )$-ren isomorfismoa dela frogatuko da.

Notazioa:$F\prec G$, erabiliko da (teorema honetan soilik), $F$, $G$-ren azpigorputz dela adierazteko.

Oharra: Ondorengo definizioan, $[C(\mathbb {Q} )]$ multzoko hutsunea zenbaki errealetan: $\pi$, dela suposatuko da.

Definizioa: $\pi \in \mathbb {R} -\mathbb {Q}$, emanik ${\mathcal {F}}(\pi )=\{F:\mathbb {Q} \prec F\prec \mathbb {R} ,\pi \not \in F\}$ multzoa definituko da: $\pi$ bere baitan ez duten, $\mathbb {Q}$-ren gaineko, $\mathbb {R}$-ren azpigorputzak adierazteko.

Proposizioa: Existitzen da elementu maximala ${\mathcal {F}}(\pi )$-n.

Froga: $({\mathcal {F}}(\pi ),\subset )$ , partzialki ordenatutako multzoa da.

$\pi \notin \mathbb {Q} ;\mathbb {Q} \prec \mathbb {R} \Rightarrow$$\mathbb {Q} \in {\mathcal {F}}(\pi )\neq \emptyset$.

Guztiz ordenaturiko edozein multzoen familiak goi borne bat duela frogatuko da.$({\mathcal {F}}(\pi ),\subset )$-n.

Izan bedi: $\{F_{i}:i\in I\}\subset {\mathcal {F}}(\pi )$, guztiz ordenaturiko multzoen familia bat. $G=\bigcup _{i\in I}F_{i}\in {\mathcal {F}}(\pi )$, frogatuko da.

1: $G$,$\mathbb {Q}$-ren gaineko, $\mathbb {R}$-ren azpigorputza da:$\mathbb {Q} \prec G\prec \mathbb {R}$ .

$\forall x,y\in G\Rightarrow \exists i,j\in I:x\in F_{i};y\in F_{j}$

Multzoen familia: $\{F_{i}:i\in I\}$, guztiz ordenatua egoteagatik: $F_{i}\subset F_{j}$, orokortasunik galdu gabe.

$F_{j}$ gorputza denez: $x,y\in F_{j}\Rightarrow x-y,xy^{-1}\in F_{j}\subset G$. ( Biderkadurarentzat: $y\neq 0$ denean ).

Ondorioz: $G$, gorputza da, eta $\mathbb {Q} \prec G\prec \mathbb {R}$ erraz ondorioztatzen da.

2: $\pi \notin G$. Absurdura bideratuz: $\pi \in G$ bada, $\exists i\in I:\pi \in F_{i}$ , eta $F_{i}\in {\mathcal {F}}(\pi )\Rightarrow \pi \notin F_{i}$.Ezinezkoa.

Ondorioz: $G\in {\mathcal {F}}(\pi )$. Eta $\forall i\in I,F_{i}\subset G$.

Eta beraz guztiz ordenaturiko edozein familiak goi bornea du. Honela Zorn-en lema aplikatuz, ${\mathcal {F}}(\pi )=\{F:\mathbb {Q} \prec F\prec \mathbb {R} ,\pi \not \in F\}$ multzoan existitzen da elementu maximala.

Elementu maximal bat aukeratuko da, eta $G_{\pi }\in {\mathcal {F}}(\pi )$, adieraziko da.

Oharrak: $G_{\pi }$, izango da kontraadibiderako erabiliko den gorputza.$(G_{\pi },+,\cdot ,\leq )$ eta $([C(\mathbb {Q} )],\oplus ,\phi ,\preccurlyeq )$ren arteko isomorfismoa eratuko da.

$[C(\mathbb {Q} )]$Multzoa Cauchyren segida erregularrek osatzen dute. Cauchyren segida bat emanik, bere baliokideak diren segida gorakorra eta beherakorra eraiki daitezke. Zentzu honetan ondorego notazioa erabiliko da

$\forall x\in [C(\mathbb {Q} )],\exists [x_{n}^{1}]\uparrow ,[x_{n}^{2}]\downarrow$, erregularrak. Hots: $\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }x_{n}^{1}=\lim _{n\to \infty }x_{n}^{2}$ .

Notazioarekin lehial izanez gero: $x=x^{1}=x^{2}$.

Proposizioa:

$L:[C(\mathbb {Q} )]\rightarrow \mathbb {R}$, aplikazioa bijektiboa da. Zeinetan:

$x=[\{x_{n}:n\geq 1\}]\in [C(\mathbb {Q} )]\Rightarrow L(x)=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

Froga. Ez du zailtasunik, zenbaki errealetan Cauchyren segidak konbergenteak dira.

4. Zenbaki arrazionalen adierazpena zuzen euklidearrean

Lerro zuzena bertan dauden puntu guztiekiko berdina datzana da. Bi dira halako kurbak planu euklidearrean: Zirkunferentziak eta zuzenak. eta modu zorrotzean soilik zirkunferentziak (zuzena erradio infinituko zirkunferentzia moduan ikusiz).

4.1. Zenbaki osoen adierazpena zuzen euklidearrean

Plano euklidearra puntuz osatzen denez, bi puntu desberdin existitzen dira, horiek: O eta 1 izendatzen dira. lehen segmentu honen distantzia: unitatekoa dela ezartzen da: $d(0,1)=1$

Euklidesen, lehen axiomagatik bi puntu lotzen dituen lerro zuzena marraztu daiteke, eta bigarren axiomagatik zuzen finitu bat etengabe luza daiteke lerro zuzenean. Lerro zuzenaren ertzak puntu bat determinatzen dutenez, jatorrira distantzia arrunta duten puntu multzo bat ordenatzen joango gara, (ezkerrekoak txikiagoak izanik). Distantzien arteko batura ohiko batura denez, modu bakarrean determinatzen da, eraztun ordenatu arkimediar txikiena. Zeinetan puntu bati dagokion zenbakia jatorrira duen distantzia den, eta ardatzerdi simetrikoan kokatzen bada, puntu hori zenbaki arrunt negatiboarekin adieraziko da.

Zenbaki osoen adierazpena zuzen euklidearrean

4.2. Proposizioa:

$d:\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {N} \cup \{0\}$, aplikazioa $d(n,m)={\begin{cases}n-m,&m\leq n{\text{ bada}}\\m-n,&n\leq m{\text{ bada}}\end{cases}}$, baldin eta soilik baldin eta soilik baldin espazio euklidearraren hiru axiomak betetzen badira.

Froga: Egina dago.

4.3. Zenbaki arrazionalen adierazpena zuzen euklidearrean

Prozedura euklidearrak erabiliz, distantzia arrazionaleko segmentuak eraiki daitezke.

4.4. Distantzia arrazionalen eraikuntza

Distantzia arrazionaleko distantziak eraiki daitezke, euklidesen axiomak jarraituz. Euklidesen triangeluen: hirugarren karakterizazioagatik, bi triangeluk bi angelu berdin, eta angelu hauek lotzen dituen segmentua berdina badute, bi triangelu hauek berdinak dira.

Adibidea: ${\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}$ distantziak eraikiko dira prozedura euklidearrak jarraituz. Gainerako distantzia arrazionalentzat ere antzeko prozedura jarrai daiteke.

Distantzia arrazionalen eraikuntza, axioma euklidearrak jarraituz.

O, eta 1 puntuak emanik, O,1 Zuzenarekiko paraleloa ez den zuzen baten gain, hiru (izendatzailea hiru delako) aldiz d distantziadun segmentuak marrazten dira: A,B,C puntuak sortuz.

C puntutik 1 puntura zuzen bat bat marrazten da: r, eta bere zuzen paraleloak eraikitzen dira: A eta B puntuetatik pasatzen direnak: t eta s.

r, t eta s zuzenak paraleloak izateagatik: OC1, OBE, eta OAD angeluak berdinak dira.

A eta B puntuetatik: O,1 puntuetatik pasatzen den zuzenaren paraleloak eraikitzen dira: v eta u.

v eta u paraleloak izateagatik: 1OC,vAC eta uBC angeluak berdinak dira. Honela irudiko hiru triangelu horiek bi angelu berdin eta angelu horiek lotzen dituen distantzia berdinak dituzte. Euklidesen triangeluen hirugarren karakterizazioagatik, halako triangelua bakarra da. Honela beraien elementuak berdinak dituzte, eta ondorioz oinarri berdinekoak dira.

$d(0,D)=d(D,E)=d(E,1)$, hiruen batura unitatea denez: $d(0,D)={\frac {1}{3}}$, eta $d(0,E)={\frac {2}{3}}$Honela distantzia arrazionaleko segmentuaren ertzak determinatzen duen puntua, zenbaki arrazional horren bidez adieraziko da, eta puntua ardatzerdi simetrikoan badago zenbaki arrazional negatiboz adieraziko da.

$[\mathbb {Q} ]$multzoko elementuak zuzen euklidearrean irudika daitezke puntu gisara, distantzia erabiliz. Irudian: $d([0],[1])=1$, eta $d([0],[q])=q$.