Lankide:Anegaztainaga/Zenbaki-serieak eta nola kalkulatu beraien limiteak

DEFINIZIOA:

${a_{n}}_{n\in N}$ zenbaki errealen segida izanik, $\sum _{n=1}^{\infty }a_{k}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+...$ ${a_{n}}_{n\in N}$ segidaren gaiek osatutako zenbaki-seriea edo zenbaki errealezko seriea da. $\sum _{n=1}^{\infty }a_{k}$ seriea izanik, $Sn=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ batura seriearen n-garren batura partziala dela esango dugu.

KONBERGENTZIA:

Serien limiteak aztertzeko garaian, euren batura partzialen limiteak aztertuko ditugu:

-$\sum _{n=1}^{\infty }a_{k}$ seriea konbergentea izango da baldin eta soilik baldin, {$S_{n}$} batura partzialen segida konbergentea bada, sereiaren batura $\lim _{n\to \infty }S_{n}$ izanik. Hau da: $\sum _{n=1}^{\infty }a_{k}$ = $\lim _{n\to \infty }S_{n}$=$\lim _{n\to \infty }(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})$

Horretaz gain, $\sum _{n=1}^{\infty }a_{k}$ zenbaki errealen seriea konbergentea izateko, orduan $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ izan behar du beti.

-$\sum _{n=1}^{\infty }a_{k}$ seriea dibergentea dela diogu {$S_{n}$} segida dibergentea bada. $\lim _{n\to \infty }S_{n}=\pm \infty$ bada. $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$ bada, seriea dibergentea izango da.

- {$S_{n}$} oszilatzailea bada, $\sum _{n=1}^{\infty }a_{k}$ seriea oszilatzailea dela diogu eta bere batura ez da existitzen.

GAI POSITIBOETAKO SERIEEN LIMITEAK KALKULATZEKO METODOAK:

${a_{n}}_{n\in N}$ zenbaki errealen seriea izanik, $\forall n\in N$-rako $a_{n}\geq 0$ bada, seriea gai positiboetakoa izango da. Gai positiboetako serieen limiteak bi motatakoak izan daitezke bakarrik: konbergenteak edo $\infty$ rantz dibergenteak. Ez daude gai positiboetako serie oszilatzaileak edo -$\infty$rantz dibergenteak.

-SERIE MAIORANTE ETA MINORANTEAK ETA KONPARAZIO-IRIZPIDEA:

$\sum a_{n}$ eta $\sum b_{n}$ gai positiboetako serieak izanik, $\forall n\in N$rako $a_{n}\leq b_{n}$ bada, $\sum a_{n}$ serie minorantea izango da eta $\sum b_{n}$ serie maiorantea.

Serie maiorante eta minoranteak erabili ditzazkegu konparazio-irizpidearen bitartez serieen limiteak kalkulatzeko. $\sum a_{n}$<<$\sum b_{n}$ izanik:

-$\sum b_{n}$ konbergentea bada, $\sum a_{n}$ ere konbergentea da.

-$\sum a_{n}$ dibergentea bada, $\sum b_{n}$ ere dibergentea da.

SERIE HARMONIKOAK:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}$ serie harmonikoa da eta bere izaera $\alpha$ ren menpe dago:

- $\alpha >1$ denean seriea konbergentea da

-$\alpha \leq 1$ denean seriea dibergentea da

LIMITEAREN IRIZPIDEA:

$\sum a_{n}$ eta $\sum b_{n}$ gai positiboetako serieak izanik, $b_{n}\neq 0$ izanik eta $\forall n\in N$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\lambda$ izanik:

-$\lambda \neq 0$ eta $\lambda \neq \infty$ denean, $\sum a_{n}$ konbergentea da baldin eta soilik baldin $\sum b_{n}$ konbergentea bada.

-$\lambda =0$ denean, $\sum b_{n}$ konbergentea bada, $\sum a_{n}$ ere konbergentea da.

-$\lambda =+\infty$ denean, $\sum b_{n}$ dibergentea bada, $\sum a_{n}$ ere dibergentea da.

PRINGHEIMEN IRIZPIEDEA:

-$\lim _{n\to \infty }n^{\alpha }a_{n}\in [0,\infty )$ bada eta $\alpha >1$, orduan $\sum a_{n}$ konbergentea da.

-$\lim _{n\to \infty }n^{\alpha }a_{n}\in (0,\infty ]$ bada eta $\alpha \leq 1$, orduan $\sum a_{n}$ dibergentea da.

D'ALAMBERTEN IRIZPIDEA:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=l$ exisitzen bada:

- $l<1$ bada, $\sum a_{n}$ konbergentea da.

-$l>1$ bada, $\sum a_{n}$ dibergentea da.

-$l=1$ bada, ezin dugu ezer ziurtatu $\sum a_{n}$ ren izaerari buruz. Ondorioz, beste irizpide batzuk aplikatu beharko ditugu.

RAABEREN IRIZPIDEA:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=1$ bada, Raabe aplikatu dezakegu: $\lim _{n\to \infty }n(1-{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}})=l$

-$l>1$ edo $l=+\infty$ bada, $\sum a_{n}$ konbergentea da.

- $l<1$ bada, $\sum a_{n}$ dibergentea da.

-CAUCHYREN IRIZPIDEA EDO ERROAREN IRIZPIDEA:

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=l$ exisitzen bada.

- $l<1$ bada, $\sum a_{n}$ konbergentea da.

-$l>1$ bada, $\sum a_{n}$ dibergentea da.

-$l=1$ bada, ezin dugu ezer ziurtatu $\sum a_{n}$ ren izaerari buruz.

GAI POSITIBO ETA NEGATIBOKO SERIEEN LIMITEAK KALKULATZEKO METODOAK:

Serie batean infinitu batugai positibo eta infinitu batugai negatibo baldin badaude, beste irizpide batzuk bilatu behar ditugu izaera aztertzeko.

Lehenik eta behin, gai positibo eta negatiboetako serieak definituko ditugu.

${a_{n}}^{+}{\begin{cases}a_{n},a_{n}\geq 0denean\\0,a_{n}<0denean\end{cases}}$ ${a_{n}}^{-}{\begin{cases}a_{n},a_{n}<0denean\\0,a_{n}\geq 0denean\end{cases}}$

$\sum a_{n}$ = $\sum {a_{n}}^{+}$-$\sum {a_{n}}^{-}$ eta $\sum \mid a_{n}\mid$ = $\sum {a_{n}}^{+}$+$\sum {a_{n}}^{-}$

Demagun $\sum a_{n}$ zenbaki errealen segida dugula eta $\sum {a_{n}}^{+}$ eta $\sum {a_{n}}^{-}$ bere azpisegida positibo eta negatiboak direla. Orduan:

-$\sum {a_{n}}^{+}$ eta $\sum {a_{n}}^{-}$ konbergenteak badira, orduan $\sum a_{n}$ eta $\sum \mid a_{n}\mid$ konbergenteak dira.

-$\sum {a_{n}}^{+}$ eta $\sum {a_{n}}^{-}$ bata dibergentea eta bestea konbergentea badira, orduan $\sum a_{n}$ eta $\sum \mid a_{n}\mid$ dibergentak dira.

-$\sum {a_{n}}^{+}$ eta $\sum {a_{n}}^{-}$ dibergenteak badira, orduan $\sum \mid a_{n}\mid$ dibergentea da baina $\sum a_{n}$ konbergentea izan daiteke.

Ohartu $\sum {a_{n}}^{+}$ eta $\sum {a_{n}}^{-}$ gai positiboetako serieak direla eta hauen izaera aztertzeko aurreko atalean aipatutako metodoak erabili ditzazkegula.

*SERIE ABSOLUTUKI KONBERGENTEAK:

$\sum \mid a_{n}\mid$ konbergentea $\Longrightarrow$ $\sum a_{n}$ absolutuki konbergetena da. Gainera, $\mid \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\mid \leq \sum _{n=1}^{\infty }\mid a_{n}\mid$

Kontrako inplikazioa, ordea ez da egia hau da absolutuki konbergentea izatea seria ez du inplikatzen konbergentea izango dela

$\sum \mid a_{n}\mid$$\Longrightarrow$$\sum a_{n}$

Ez da egia.

Adibidez:

$\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}1/n$

Non Leibnizen irizpidearekiko konbergentea izango da, baina absolutukikoa ez da; hain zuzen ere serie harmoniko hori dibergentea baita.

LEIBNIZEN IRIZPIDEA:

Demagun $\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}a_{n}$ serie alternatua dugula non {an} gai positiboko segida beherakorra den, $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ den. Orduan $\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}a_{n}$ konbergentea da eta $\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}a_{n}\leq a_{1}$

Adibidez:

$\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}1/(n+2)$