Lankide:Anegaztainaga/Proba orria

FUNTZIO BATEN TAYLORREN GARAPENA:

Funtzio bat Taylorren polinomioen moduan adierazi dezakegu. F funtzioa a puntuan n ordeneraino deribagarria bada, f funtzioaren n mailako Tailorren polinomioa hurrengoa izango da:

$P_{n,a}=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}{(x-a)}^{2}+...+{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}{(x-a)}^{n}$

Ohartu definizioagatik badakigula:

-$P_{n,a}(a)=f(a)$

-${P_{n,a}}^{(k)}=f^{(k)}(a),\forall k=1,...,n$

Funtzioa n ordenaraino deribagarria bada, zenbat eta polinomioaren maila n-tik gertuago egon, orduan eta antzekotasun handiagoa izango du grafikoarekin. Beste era batera esanda, Taylorren polinomioaren bitartez funtziaoren baliora hurbiltzen gara. Polinomioa n mailakoa bada, polinomioa funtzioaren berdina izango da. Horrela ez den kasuetan, funtzioa eta Taylorren polinomioaren artean hondar bat egongo da. Honela definitzen da f funtzioaren a puntuko n mailako Taylorren hondarra:

$R_{n,a}(x)=f(x)-P_{n,a}(x)$

Helburu nagusia $P_{n,a}(x)$ Taylorren polinomioaren bidez x puntuan fren balioa ahalik eta zehatzena ematea da. Beraz, interesatzen zaiguna hondarraren balioa ahalik eta txikiena izatea da.