Lankide:Ainhized/Proba orria

Frogapena

Hona hemen Bolzanoren teoremaren frogapena:

Demagun $f(a)>0$ eta $f(b)<0$ direla eta izan bedi $I_{1}=[a,b]$ tartea. Har dezagun tarte honen erdiko puntua, ${\frac {a+b}{2}}$.

• $f({\frac {a+b}{2}})=0$ bada, $x_{0}={\frac {a+b}{2}}$ eta amaitu dugu.
• $f({\frac {a+b}{2}})>0$ bada, izan bitez $a_{2}={\frac {a+b}{2}}$ eta $b_{2}=b$.
• $f({\frac {a+b}{2}})<0$ bada, izan bitez $a_{2}=a$ eta $b_{2}={\frac {a+b}{2}}$.

$I_{2}=[a_{2},b_{2}]$ tartearekin errepikatzen badugu prozesua $I_{3}$ tertea lortuko dugu, eta horrela jarraituz, $I_{n}$ terte txertatuen familia bat lortuko dugu, non $|I_{n}|=b_{n}-a_{n}={\frac {b-a}{2^{n-1}}}$. Hau da, $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=x_{0}$.

$f$ jarraitua denez, $f(x_{0})=\lim _{n\to \infty }f(a_{n})\geq 0$ eta $f(x_{0})=\lim _{n\to \infty }f(b_{n})\leq 0$.

Beraz, $f(x_{0})=0$ da. Hau da guk frogatu nahi genuena.