Lankide:Aimar Murua/Proba orria

Cauchyren segidak

Definizioa

Izan bedia {a_n}_n€N zenbaki errealen segida. {a_n}_n€N Cauchyren segida dela diogu baldin eta ;

$\forall \epsilon >0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall n,m\geq n_{0}\left\vert a_{n}-a_{m}\right\vert <\epsilon$

Teorema

Izan bedia {a_n}_n€N zenbaki errealen segida.

{a_n}_n€N konbergentea $\Longleftrightarrow$ {a_n}_n€N Cauchyrena

Froga:

$\Longrightarrow$) Izan bedi $\lim _{n\to \infty }a_{n}=l$ eta har dezagun $\epsilon >0$ edozein. Orduan existitzen da $n_{0}\in \mathbb {N}$ non, $n\geq n_{0}$ guztietarako $\left\vert a_{n}-l\right\vert <{\frac {\epsilon }{2}}$.

Izan bitez $n,m\geq n_{0}$.

$\left\vert a_{n}-a_{m}\right\vert =\left\vert a_{n}-l+la_{m}\right\vert \leq \left\vert a_{n}-l\right\vert +\left\vert a_{m}-l\right\vert <{\tfrac {\epsilon }{2}}+{\tfrac {\epsilon }{2}}=\epsilon$

beraz {a_n}_n€N Cauchyrena da.

$\Longleftarrow$) Orain suposatzen dugu {a_n}_n€N Cauchyrena dela. Ikus dezagun bornatua dela.

Izan bedi $\epsilon =1$. {a_n}_n€N Cauchyrena denez, existitzen da $n_{0}\in \mathbb {N}$ non $n\geq n_{0}$ guztietarako,$\left\vert a_{n}-a_{n0+1}\right\vert \leq 1$ den. Orduan $n\geq n_{0}$ guztietarako, $\left\vert a_{n}\right\vert \leq \left\vert a_{n}-a_{n0+1}\right\vert +\left\vert a_{n0+1}\right\vert <1+\left\vert a_{n0+1}\right\vert$.

$K=\max[\left\vert a_{1}\right\vert ,\left\vert a_{2}\right\vert ,...,\left\vert a_{n0}\right\vert ,\left\vert a_{n0+1}\right\vert +1]$ {a_n}_n€N segidaren borne bat da, hau da, $\left\vert a_{n}\right\vert \leq K$ $n\in \mathbb {N}$ guztietarako, beraz {a_n}_n€N bornatua da.

Orain, Bolzano-Weierstrassen teoremaren arabera existitzen da $\{a_{nk}\}_{k\in \mathbb {N} }$ {a_n}_n€N segidaren azpisegida konbergentea. Izan bedi $l=\lim _{n\to \infty }a_{nk}$ eta kontsidera dezagun $\epsilon >0$ edozein.

$\lim _{n\to \infty }a_{nk}=l\Longleftrightarrow \exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall k\geq n_{1}\left\vert a_{nk}-l\right\vert <{\tfrac {\epsilon }{2}}$

{a_n}_n€N Cauchyrena $\Longleftrightarrow \exists n_{2}\in \mathbb {N} :\forall n,m\geq n_{2}\left\vert a_{n}-a_{m}\right\vert <{\tfrac {\epsilon }{2}}$

Izan bedi $n_{0}=\max\{n_{1},n_{2}\}$. $k\geq n_{0}$ guztietarako $n_{k}\geq k$ denez

$\left\vert a_{k}-l\right\vert \leq \left\vert a_{k}-a_{nk}\right\vert +\left\vert a_{nk}-l\right\vert <{\tfrac {\epsilon }{2}}+{\tfrac {\epsilon }{2}}=\epsilon$

Beraz, $\lim _{n\to \infty }a_{n}=l$ da.