Kongruentzia (zenbakien teoria)

Zenbakien teorian, kongruentzia terminoa bi zenbaki oso eta , zenbaki arruntazmodulua deiturikoa— zatitzerakoan, hondar berdina dutela adierazteko erabiltzen da. Honako notazio hau erabiliz:

Honela irakurtzen da: kongruente modulu .

eta moduluarekiko kongruenteak dira, baldin eta soilik baldin moduluak eta -ren arteko desberdintza zehazki zatitzen badu, hau da, . Beste modu batera esanda, eta -k -rekiko zatiketan, hondar bera uzten badute. Gainera, baiezta daiteke zenbakia -ren batura eta -ren multiplo bezala idatzi daitekela, denez, izango da batentzat eta orduan, .

Adierazpen baliokideakAldatu

Kongruentziak hainbat modu matematikotan adieraz daitezke. Esate baterako, adierazpen hauek baliokideak dira:

  •   kongruente   modulu  
 
  •   zati  -ren hondarra   zati  -ren hondarra da
 
  •  -k zehatz zatitzen du   eta  -ren kendura
 
  •   idatz daiteke  -ren eta  -ren multiplo baten batura bezala
 

PropietateakAldatu

Kongruentziak   moduluarekiko   eta   zenbakien arteko baliokidetasun-erlazio bat adierazten du, hurrengo erlazioak betetzen dituelako:

  • Erlazio bihurkaria (erreflexiboa):  ,   guztietarako.
  • Simetria erlazioa:   bada,   da.
  • Iragate-erlazioa (trantsitiboa):   eta   badira,   izango da.

  eta   badira:

  •  
  •  
  •    

Gainera,   eta   elkarrekiko lehenak badira, beste zenbait propietate ere betetzen dituzte, besteak beste:

  •   zenbakia   eta  -rekiko lehena bada,   ere  -rekiko lehena izango da.
  •    -rekiko lehena bada, orduan   non  . Horregatik, zatiketari buruz aritzeak zentzua du eta beraz, zuzena da   non definizioz,  .
  • Aurrekoaren ondorio bezala, modulu bereko bi kongruentzia badaude,   eta  , batu, kendu edo biderka ditzakegu, kongruentziak egiaztatzeko:   eta  .
  • Fermaten teorema txikia: Izan bitez   lenbaki lehena eta  .  ,  -ren multiploa ez bada orduan:  
  • Izan bitez   eta   zenbaki lehenak eta  .   ez bada ez  -ren ez  -ren multiploa, orduan:

Kongruentzia klaseakAldatu

Edozein kongruentzia-erlazio bezala, n kongruentzia-modulua baliokidetasun-erlazio bat da, eta a zenbaki osoaren baliokidetasun-klasea,   bidez adierazten dena, {… , a − 2n, an, a, a + n, a + 2n, …} multzoa da. Multzo hori, a modulo n-rekin kongruenteak diren zenbaki osoek osatzen dute. Baliokidetasun-erlazioa denez, baliokidetasun-klaseak defini daitezke. Klase bakoitzean m-rekin zatitzean hondar bera ematen duten zenbaki osoak daude. Beraz, m hondar desberdin daudenez, m baliokidetasun-klase daude. Bakoitzaren ordezkari modura 0, 1, . . . eta m − 1 zenbakiak har daitezke. Baliokidetasun klasea [ ] bezala ere adieraz daiteke.

AdibideakAldatu

  •  , 7 = 3 + 1 ⋅ 4 baita.
  •  , 82 = 1 + 9 ⋅ 9 baita.
  •  , 27 = 0 + 3 ⋅ 3 baita.
  •  , -3 = 3 + -1 ⋅ 6 baita.
  •  , 2 ≠ 5 + k ⋅ 6 baita.

Ikus, gaineraAldatu

Kanpo estekakAldatu