ISO 31-11 ISO 31 nazioarteko estandarraren parte bat zen, zeinean «matematikako zeinuak eta sinboloak definitzen diren, zientzia fisikoetan eta teknologian erabil daitezen». Geroago, 2009an, ISO 80000-2 nazioarteko estandarrak ordeztu zuen ISO 31-11 araua.

Logika matematikoaAldatu

Zeinua Adibidea Izena Esanahia eta ahozko irakurbidea Oharrak
pq konjunkzio-zeinua p eta q
pq disjunkzio-zeinua p edo q (edo biak)
¬ ¬ p ukazio-zeinua p-ren ukazioa

ez p

pq inplikazio-zeinua baldin p, orduan q

p izateak q izatea dakar

Honela ere idatz daiteke: qp.

Batzuetan → erabiltzen da.

xA p(x)(∀xA) p(x) kuantifikatzaile unibertsala edozein x A-ren barnekoa izanik, p(x) proposizioa egiazkoa da "∈A" hori ezabatu egin daiteke, A-ren esanahia argia bada testuinguruz.
xA p(x)(∃xA) p(x) kuantifikatzaile existentziala existitzen da A-ren barnekoa den x balio bat p(x) proposizioa egiazkoa egiten duena "∈A" hori ezabatu egin daiteke, A-ren esanahia argia bada testuinguruz.

∃! erabiltzen da, x bakarra dagoenean p(x) egiazkoa egiten duena.

MultzoakAldatu

Zeinua Adibidea Esanahia eta ahozko irakurbidea Oharrak
xA x elementua A multzoaren barnekoa da;

x elementua A multzokoa da; x barne A

xA x elementua ez da A multzoaren barnekoa

x ez-barne A

Ukazioa adierazten duen barra bertikala izan daiteke.
Ax A multzoak x elementua dauka bere barnean xA adierazpenak bezalako esanahia
Ax A multzoak ez dauka x elementua bere barnean xA adierazpenak bezalako esanahia
{ } {x1, x2, ..., xn} bere barnean x1, x2, ..., xn elementuak dauzkan multzoa Honela ere idatz daiteke: {xiiI}, non I sinboloak indizeen multzo bat adierazten duen.
{ ∣ } {xAp(x)} A multzokoak izanik p(x) proposizioa egiazkoa egiten duten elementuen multzoa Adibidea: {x ∈ ℝ ∣ x > 5}

Testuinguruan argi badago, ∈A sinboloa ezabatu egin daiteke.

card card(A) zenbat elementu dauden A multzoan;

A multzoaren kardinala

AB A eta B multzoen arteko kendura;

A minus B

A multzokoak bai, baina B multzokoak ez diren elementuak

AB = { xxAxB }

Ez da erabili behar AB idazkera.

multzo hutsa, elementurik ez daukana
zenbaki naturalen multzoa;

zenbaki oso positiboak eta zero zenbakia daude bertan

ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}

Zero kontuan hartzen ez bada, asterisko bat gehitzen: ℕ* = {1, 2, 3, ...}

k = {0, 1, 2, 3, ..., k − 1}

zenbaki osoen multzoa ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}

* = ℤ ∖ {0} = {..., −3, −2, −1, 1, 2, 3, ...}

zenbaki arrazionalen multzoa * = ℚ ∖ {0}
zenbaki errealen multzoa * = ℝ ∖ {0}
zenbaki konplexuen multzoa * = ℂ ∖ {0}
[,] [a,b] ℝ multzoko tarte itxia, a elementutik b elementura doana, biak barnean hartuta [a,b] = {x ∈ ℝ ∣ axb}
],]

(,]

]a,b]

(a,b]

ezkerretik irekitako tartea ℝ multzoan, a kanpoan eta b barnean ]a,b] = {x ∈ ℝ ∣ a < xb}
[,[

[,)

[a,b[

[a,b)

eskuinetik irekitako tartea ℝ multzoan, a barruan eta b kanpoan [a,b[ = {x ∈ ℝ ∣ ax < b}
],[

(,)

]a,b[

(a,b)

open interval in ℝ from a (excluded) to b(excluded)

tarte irekia ℝ multzoan, a eta b kanpoan

]a,b[ = {x ∈ ℝ ∣ a < x < b}
BA B multzoa A multzoaren barnean dago;

B multzoa A-ren azpimultzoa da

B multzoaren elementu guztiak A-ren barnean daude;

⊂ sinboloa ere erabiltzen da

BA B multzo osoa dago "garbiki" A-ren "barnean";

B multzoa A-ren azpimultzoa da

B-ren elementu guztiak daude A-ren barnean, baina B ez da A-ren berdina. Baldin ⊂ sinboloa erabiltzen bada "barnean" dagoela esateko, orduan ⊊ erabili behar da, "garbiki barruan" dagoela adierazteko.
CA C multzoa ez dago A multzoaren barneean;

C ez da A-ren azpimultzoa

⊄ sinboloa ere erabiltzen da.
AB A multzoak bere barnean dauka B multzoa (azpimultzo gisa) A multzoak B-ren elementu guztiak dauzka bere barnean; ⊃ sinboloa ere erabiltzen da.

BA eta AB idazkerak baliokideak dira.

AB. A bere barnean dauka B multzoa "garbiki". A multzoak B-ren elementu guztiak dauzka bere barnean, baina A eta B ez dira berdinak.

Baldin ⊃ "barnean" adierazteko erabiltzen bada, orduan, ⊋ "garbiki barnean" adierazteko erabiltzen da.

AC A multzoak ez dauka bere barnean C multzoa (hau ez da haren azpimultzoa) Halaber erabiltzen da ⊅ sinboloa: AC eta CA adierazpenek gauza bera esan nahi dute.
AB A eta B multzoen bildura A edo B multzoetako baten barnean dauden elementuen multzoa, edo aldi berean A-ren eta B-ren barnean

AB = { xxAxB }

  multzo sorta baten bildura   horrek esan nahi du gutxienez   sortako multzoren baten barnean dauden elementuak hartzen dituela bldurak
AB A eta B multzoen ebakidura Aldi berean A eta B multzoen dauden elementuen multzoa.

AB = { xxAxB }

  multzo sorta baten ebakidura ,  horrek esan nahi du    sortako multzo guztien barnean dauden elementuak biltzen dituela ebakidurak.
AB A-ren barneko B azpimultzoaren multzo osagarria A multzokoak izanik B azpimultzokoak ez diren elementuen multzoa. Batzuetan, testuinguruan argi badago, ez da idazten A sinboloa.

AB = AB eran ere idazten da

(,) (a, b) a, b bikote ordenatua;

a, b bikotea

(a, b) = (c, d) izango da, balbin eta soilik baldin a = c eta b = d badira;

a, b⟩ eran ere idazten da.

(,…,) (a1, a2, …, an) n-kote ordenatua a1, a2, …, an⟩ eran ere idazten da.
× A × B A eta B multzoen arteko biderketa kartesiarra (a, b) bikote ordenatuen multzoa, non aA eta bB diren.

A × B = { (a, b) ∣ aAbB }

A × A × ⋯ × A adierazteko An idatzi ohi da, non n horrek elkarrekin biderkatu beharreko faktoreen kopurua adierazten duen.

Δ ΔA (a, a) ∈ A × A erako bikoteen multzoa, non a delakoa A × A multzoko diagonala den. ΔA = { (a, a) ∣ aA }

idA eran ere adierazten da.

Denetariko zeinu eta sinboloakAldatu

HEMENDIK ITZULTZEKO DAGO (aste honetan egingo dut)

Zeinua Adibidea Esanahia edo hitzezko irakurbidea Oharrak
ab a definizioz da b-ren berdina;

a definizioz berdin b

:= idazkera ere erabiltzen da.
= a = b a berdin b ≡ ere idatz daiteke berdintza jakin bat identitatea dela azpimarratzeko.
ab a ezberdin b   ere idatz daiteke a eta b identikoki berdinak ez direla azpimarratzeko.
ab a dagokio b-ri 1:106 eskalako mapa batean: 1 cm ≙ 10 km.
ab a eta b gutxi gorabehera berdinak dira;

a gutxi gorabehera b

Bestalde, ≃ sinboloa "asintotikoki berdina" adierazteko erabiltzen da.

ab

ab

a balioa b-ren proportzionala da;

a proportzional b

< a < b a txikiago b
> a > b a handiago b
ab a txikiago edo berdin b ≦ sinboloa ere erabiltzen da.
ab a handiago edo berdin b ≧ sinboloa ere erabiltzen da.
ab a askoz txikiago b
ab a askoz handiago b
infinitu
 

 

 

 

 

 

 

 

parentesiak

parentesi karratuak

kortxeteak

kortxete angeludunak

Oinarrizko aljebran habiaratzeko erabiltzen den  ,  ,   eta   sekuentzia ez dago estandarizaturik.

Bestalde, zenbait arlotan  sinboloek erabilera bereziak dituzte

  AB   CD AB eta CD lerroak elkarren paraleloak dira;

AB paralelo CD

  AB  CD AB eta CD lerroak elkarren perpendikularrak dira;

AB perpendikular CD

EragiketakAldatu

Zeinua Adibidea Esanahia edo hitzezko irakurbidea Oharrak
+ a + b a gehi b
ab a ken b
± a ± b a gehi edo ken b
ab a ken edo gehi b −(a ± b) = −ab
... ... ... ...

FuntzioakAldatu

Adibidea Esanahia edo hitzezko irakurbidea Oharrak
  f funtzioak D barrutia dauka eta C da haren irudi-multzoa Horrela definitzen dira esplizituki funtzio baten barrutia eta irudi-multzoa
    f-ren barrutiko S azpimultzoaren irudi izan daitezkeen irteera posible guztien multzoa.

Funtzio esponentzial eta logaritmikoakAldatu

Adibidea Esanahia edo hitzezko irakurbidea Oharrak
e logaritmo naturalen oinarria e = 2.718 28...
ex x-ren e-oinarriko funtzio esponentziala;

e esponentzial ixa;

e ber ixa

logax x-ren logaritmoa a-oinarrian;

logaritmo a-oinarrian ixa

lb x x-ren logaritmo bitarra;

logaritmo bitar ixa

lb x = log2x
ln x x-ren logaritmo natural;

logaritmo natural ixa

ln x = logex
lg x x-ren logaritmo arrunta (10-oinarrian);

logaritmo arrunt ixa

lg x = log10x
... ... ...

Funtzio zirkular eta hiperbolikoakAldatu

Adibidea Esanahia edo hitzezko irakurbidea Oharrak
π zirkulu baten zirkunferentziaren luzeraren eta beraren diametroaren arteko zatidura edo arrazoia π = 3.141 59...
... ... ...

Zenbaki konplexuakAldatu

Adibidea Esanahia edo hitzezko irakurbidea Oharrak
i   j unitate irudikaria;

i² = −1

Elektroteknian j letra erabili ohi da.
Re z z zenbaki konplexuaren parte erreala z = x + iy, non x = Re z eta y = Im z diren
Im z z zenbaki konplexuaren parte irudikaria
z z zenbaki konplexuaren balio absolutua;

z-ren modulua

mod z idazkera ere erabiltzen da.
arg z z-ren argumentua;

z-ren fasea

z = reiφ, non r = ∣z∣ eta φ = arg z diren.

Re z = r cos φ

Im z = r sin φ

z* z-ren konjugatua (zenbaki konjugatua) Batzuetan barra bat jartzen da gainean, z* erabili ordez
sgn z z-ren zeinua sgn z = z / ∣z∣ = exp(i arg z) for z ≠ 0, sgn 0 = 0

MatrizeakAldatu

Example Esanahia edo hitzezko irakurbidea Remarks
A A matrizea ...
... ... ...

Koordinatu-sistemakAldatu

Koordinatuak Posizio-bektorea eta beraren diferentzialak Koordinatu-sistemaren izena Oharrak
x, y, z (x, y, z);

(dx, dy, dz)

sistema kartesiarra Halaber erabiltzen da (x1, x2, x3) idazkera koordinatuentzat eta (e1, e2, e3) bektore unitarioentzat. Notazio hau erra orokortzen da espazio n-dimentsinalez kasurako.

Bestalde, (ex, ey, ez) idazkerak eskuin-eskuko sistema adierazten du.

Bektore unitarioak adierazteko, (i, j, k) idazkera ere erabiltzen da.

ρ, φ, z (x, y, z) = (ρ cosφ, ρ sinφ, z) sistema zilindrikoa Kasu honetan, [eρ(φ), eφ(φ), ez] eskuin-eskuko sistema ortonormala da.

Baldi z = 0 bada, orduan ρ eta φ koordinatu polarrak dira.

r, θ, φ (x, y, z) = r [sinθ cosφ, sinθ sinφ, cosθ) sistema esferikoa [er(θ,φ), eθ(θ,φ),eφ(φ)] eskuin-eskuko sistema ortonormala da.

Bektoreak eta tentsoreakAldatu

Adibidea Esanahia edo hitzezko irakurbidea Oharrak
a a bektorea Letrakera etzan eta lodia erabili ordez,bektoreak letraren gainean jarritako gezi batez ere adieraz daitezke:  .

Edozein bektore biderkatu egin daiteke eskalar batez; adibidez: ka.

... ... ...

Funtzio bereziakAldatu

Adibidea Esanahia edo hitzezko irakurbidea Oharrak
Jl(x) Besselen funtzio zilindrikoak (lehenengo motakoak) ...
... ... ...

Erreferentziak eta oharrakAldatu

Kanpo estekakAldatu