Homologia (eraldaketa geometrikoa)

Geometria proiektiboan n dimentsioko espazio batean n-1 dimentsioko hiperplanotan kokatutako irudi biren artean homologia dago eta irudiak homologoak dira euren arteko puntuz puntuko eta lerroz lerroko aplikazio bijektiboa (bijekzioa) badago non homologoak diren puntuak beti dauden homologiaren zentroa deitutako puntu batekin lerrokatuta eta homologoak diren lerro zuzenak beti elkartzen diren homologiaren ardatza deitutako lerro batean (3 dimentsioko espazioan 2 dimentsioko hiperplanoak 2 dimentsioko plano arruntak dira).

Homologia geometrikoaren ezaugarri batzuk erakusteko irudi laguntzailea.

Hemendik aurrera jarritako irudiak, adierazitakoa errazago irudikatzeko, 3 dimentsioko espazioko homologietara egokituak dira.

Horrelako irudiak sortzen dira espazioko edozein forma hiperplano bitan proiektatzen denean haietan ez dagoen espazioko puntu batetik. Homologiaren ardatza plano biek komuna duten lerro zuzena eta homologiaren zentroa proiekzioaren zentroa izanik.

Hiperplano bateko irudi bat eta irudi hori beste hiperplano batera proiektatuz hiperplano bi horietan ez dagoen puntu batetik sortutako irudiaren arteko korrespondentzia bezala ere, irudikatu ahal dugu homologia.

Homologietan, orokorrean, irudi homologoen intzidentziak mantentzen dira (irudi bateko r1 eta s1 lerroak p1 puntuan elkartzen badira haien r2 eta s2 lerro homologoak p1-en p2 puntu homologoan elkartzen dira ere) baina beste ezaugarri geometriko batzuk (paralelismoak, angeluak, distantziak...) ez.

Plano berbereko irudien arteko homologia

Plano bi ezberdinetan dauden irudi homologo bi plano bakar batera eramaten badira, planoak haien lerro zuzen komuna ardaztzat hartuta biratuz, plano bakarreko irudi horiek homologoak dira; lerro zuzen komuna homologiaren ardatza dela eta eta proiekzio-zentroaren bi proiekzioak plano original bietan, haien plano erdikariaren elkarzut den norabidean eginak, elkartzen diren puntua homologiaren zentroa. Ikus goiko alboko irudia.

Homotezia

Homoteziak eta puntu batekiko simetriak homologia bereziak direla erakusteko irudi laguntzailea.

Homologiaren ardatza ezin urrunago dagoenean, hau da irudia bertan proiektatuko diren plano biak elkar paraleloak direnean, homologiari homotezia deritzo.

Irudi biak plano berberera eramaten direnean, haien arteko homotezia plano bietara plano biei elkarzut den norabidean egindako proiekzio-zentroaren proiekzioak batzen diren puntuaz (homoteziaren zentroaz) eta proiekzio-zentrotik proiekzio planoetarako distantzien ratioaz (homoteziaren ratioaz) zehazten da.

Homotezietan intzidentziez gain paralelismoak eta angeluak ere, mantentzen dira (irudi batean r1 eta s1 bi zuzenak paraleloak ba dira homotezian haien homologoak diren r2 eta s2 zuzenak ere, paraleloak dira, eta angelu bat osatuz elkar ebakitzen badute haien zuzen homologoek ere angelu berbera osatzen dute elkar ebakitzean).

Puntu batekiko simetria laua homoteziaren kasu berezia da, proiekzio-erdigunea irudiak proiektatzen diren planoen plano erdikarian kokatua dagoenean sortutakoa.

Kasu berezi honetan homoteziaren ratioa -1 da eta distantziak ere, mantentzen dira.

.

.

.

[Homologiako] afinitatea

Afinitateak (eraldaketa geometriko afinak) eta zuzen batekiko simetriak homologia bereziak direla erakusteko irudi laguntzailea.

Homologiaren zentro edo erdigunea ezin urrunago dagoenean, hau da proiekzio-zentroa ezin urrunago dagoenean eta, beraz, proiekzioak konikoak izan barik zilindrikoak direnean, homologiari [homologiako] afinitate edo homologia afin deritzo eta irudiak afinak direla esaten da.

Ardatz batekiko simetria laua afinitatearen kasu berezia da, proiekzio-zentroa irudiak proiektatzen diren planoen plano erdikarian eta plano biak elkartzen diren zuzenarekiko elkarzuta den zuzen batean ezin urrunago kokatua dagoenean sortutakoa.

Kontuan izanda plano bateko irudi lau bat plano horrekiko elkarzut den ardatz baten inguruan biratzea eta plano horretako elkar gurutzatzen diren ardatz birekiko simetria bi bata bestearen ostean osatzea emaitza bera ematen duela, biraketa bat plano baten barruan afinitate biren bidez ere osatu ahal da. (kontuan izan simetria biren konposaketa eta haiei dagozkien afinitateena ez direla trukakorrak; hurrenkera ezberdinetan eginda emaitzak ezberdinak dira)

Eraldaketa geometriko afinetan paralelismo mantentzen da baina, orokorrean, angeluak eta distantziak ez.

Translazioa

Bai homologiaren ardatza eta bai homologiaren zentroa biak ezin urrunago daudenean eratutako homologiak, hau da irudiak proiektatzen diren planoak elkar paraleloak direnean eta proiekzioak zilindrikoak homologiak translazioak direla esaten da.

Kanpo estekak

• Datuak: Q3092826