Higidura paraboliko

Zinematikan, higidura parabolikoa deritzo gorputz puntual batek ibilbide parabolikoa osatzean daukan higidurari. Airera jaurtitzen diren proiektilen higidurari dagokio eta horregatik tiro parabolikoa edo jaurtiketa parabolikoa ere esaten zaio; izatez, proiektilek benetan duten higiduraren hurbilketa da, gorputza marruskadurarik gabe dagoen ingurune batean eta eremu grabitatorio konstante batean kalkulu teorikoak eginez lortzen dena.

Marruskadurarik gabeko higidura parabolikoa.

Higidura parabolikoa zer den ikasteko bideoa.

---

Bideo hau Jakindun elkarteak egin du. Gehiago dituzu eskuragarri euren gunean. Bideoak dituzten artikulu guztiak ikus ditzakezu hemen.

Higidura parabolikoa plano bertikal bateko bi norabide perpendikularretan gertatzen diren bi higidura zuzenen konposizioaz sortzen dela kontsidera daiteke: batetik, higidura zuzen uniformea norabide horizontal batean eta, bestetik, beheranzko higidura zuzen eta uniformeki azeleratua norabide bertikalean, hain zuzen ere, grabitatearen azelerazioaz. Izatez, higidura parabolikoa eredu teoriko bat da, Lurraren biraketarik kontuan hartu gabe eta  atmosferako airearen marruskadurarik gabe gorputzek izango luketen higidura deskribatzeko.

Iturrietako ur-txorrotaden ibilbide parabolikoak.

Jaurtiketa parabolikoaren hasierako abiaduraren osagaiak.

Airera jaurtitako objektuek duten higiduraren hurbilketa teorikoa dela esan dezakegu. Proiektil edo pilota batek airean duen ibilbidea aztertzean, parabolaren antzeko forma duela ohartzen gara, eta horrela litzateke airearen marruskadurarik ez balego.

Lurrazaletik hurbil atmosferan gertatzen diren objektuen higidurari “tiro parabolikoa” edo “proiektilen ibilbide balistikoa” ere baderitzo askotan. Higidura mota hau interes handikoa izan zen garai batean arlo militarrean, kanoiek jaurtitako proiektilen ibilbideak kalkulatzeko erabiltzen baitzen.  Hortaz, gure planetaren lurrazaletik hurbil gertatzen diren higidurak aztertzean (pilota batek edo proiektil batek dituztenak), zenbait hurbilketa egin daitezke eredu teorikoan, eta orduan higidura parabolikoa dutela kontsidera daiteke.

Proiektilak alde batera utzita, Lurraren eremu grabitatorioan atmosferatik kanpo higitzen diren gorputzek ibilbide eliptikoak osatzen dituzte; esate baterako, horrelakoa da Lurraren inguruan biraka dabiltzan satelite artifizialen higidura, baita planetek Eguzkiaren inguruan dituztenak ere, Johannes Kepler-rek XVII. mendearen hasierann azaldu zuen bezala.

Higidura parabolikoak ezaugarri hauek ditu:

• Hasierako abiaduraren modulua eta hasierako inklinazio-angelua ezagututa, ibilbide osoa kalkula daiteke.
• Higiduraren hasierako eta amaierako puntuak altuera berean badaude, puntu horietan ibilbidearen inklinazio-angeluek balio berdinak dituzte.
• Altuera berean dauden puntuen arteko tiro parabolikoaren irismen luzeena $45^{\circ }$-ko hasierako inklinazio-angeluarekin lortzen da.
• Higiduraren osagai bertikala eta osagai horizontala independenteki azter daitezke.

Marruskadurarik gabeko higidura parabolikoaren ezaugarriak Lurrean

Higidura parabolikoaren osagai horizontala eta osagai bertikala elkarrekiko independenteak dira.

Higidura parabolikoa bi mugimenduren konposizio gisa kontsidera daiteke: batetik higidura horizontal zuzen uniformea eta bestetik higidura bertikal zuzen uniformeki azeleratua, azken honen azelerazioa grabitatearena izanik. Higidura parabolikoa plano batean gertatzen denez, bertan erreferentzia-

sistema kartesiarra erabili ohi da, eta higidura hau analitikoki aztertzean, higidura horizontal uniformea abzisen ardatzean deskribatzen da eta higidura bertikal azeleratua ordenatuen ardatzean.

Marruskadurarik gabeko eta eremu grabitatorio uniformedun egoeretan, ezaugarri bereizgarri hauek ditu higidura parabolikoak:

• Erortzen uzten den objektu batek eta horizontalki altuera berdinetik jaurtitzen den beste objektu batek denbora berdinak behar dituzte lurrazalera heltzeko.
• Higidura masaren balioarekiko independentea da. Hasierako baldintza berdinak dituzten edozein masatako gorputzek higidura berdinak dituzte.
• Bertikalki jaurtitzen den objektu batek eta puntu (edo altuera) beretik horizontalki hasita higidura parabolikoaz erortzen den beste objektu batek, biek ala biek, denbora berdinak behar dituzte ibilbidea osatzeko plano horizontal berera iristeko.
• Lurretik hasi eta altuera maximora heltzeko behar den denbora eta handik lurrera itzultzeko behar den denbora berdinak dira.

Higidura parabolikoaren ekuazioak

Marruskadurarik gabeko higidura parabolikoaren hasierako baldintzak eta abiaduraren eta azelerazioaren osagaiak zenbait puntutan

Kontuan izanik Lurraren grabitatearen eraginpeko higidura parabolikoa plano bertikal batean gertatzen dela, higidura hori analitikoki aztertzeko erreferentziarako $Oxy$ plano bertikal kartesiarra erabiliko dugu: $Ox$ ardatz horizontala eta $Oy$ardatz bertikala aukeratuz. Alboko irudian ageri denez, norabide horizontaleko bektore unitarioa ${\boldsymbol {i}}$izango da (irudian eskuineranzko noranzkoaz), eta norabide bertikalekoa, ${\boldsymbol {j}}$ (goranzko norankoaz).

Azelerazio konstantea, grabitatearena

Azelerazioak osagai bakarra izango du, grabitatearena hain zuzen, eta konstantea da ibilbide osoan. Balio hau du:

$${\boldsymbol {a}}=-g{\boldsymbol {j}}={\text{kte.}}$$

Osagai hau norabide bertikalari dagokio eta beheranzkoa da; hortik zeinu negatiboa. Azelerazioa konstantea izateak erraztu egingo du higiduraren analisia, abiaduraren balioa integrazioz lortzeko. Baina horretarako, lehenik eta behin higiduraren hasierako baldintzak zein diren finkatu beharko dugu.

Hasierako baldintzak

Kalkuluak sinplifikateko, partikularen abiapuntua koordenatu-sistema kartesiarraren jatorri-puntua izan dela kontsideratuko dugu. Hortaz:

$$x_{0}=0,{\text{ }}y_{0}=0.$$

Eta objektuaren hasierako abiadura honako hau izango da:

$${\boldsymbol {v}}_{0}=v_{0}\cos {\theta }{\text{ }}{\boldsymbol {i}}+v_{0}\sin {\theta }{\text{ }}{\boldsymbol {j}},$$

non $v_{0}$ hasierako abiaduraren modulua den, eta $\theta$ hasierako abiaduraren eta ardatz horizontalaren arteko angelua. Hortaz, hasierako abiadurak bi osagai hauek ditu:

• ${\boldsymbol {v}}_{0x}=v_{0}\cos {\theta }$, hasierako abiaduraren osagai horizontala,
• ${\boldsymbol {v}}_{0y}=v_{0}\sin {\theta }$, hasierako abiaduraren osagai bertikala.

Beraz, hasierako abiadura honelaxe adieraz daiteke bektorialki:

$${\boldsymbol {v}}_{0}=v_{0x}{\boldsymbol {i}}+v_{0y}{\boldsymbol {j}}.$$

Abiaduraren ekuazioa

Ibilbide parabolikoa duen objektuaren aldiuneko abiadura kalkulatzeko, azelerazioaren definizioari dagokion ekuazio hau bektorial integratu behar da:

$${\frac {\operatorname {d} {\boldsymbol {v}}}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} v_{x}}{\operatorname {d} t}}{\boldsymbol {i}}+{\frac {\operatorname {d} v_{y}}{\operatorname {d} t}}{\boldsymbol {j}}=-g{\boldsymbol {j}}\longrightarrow {\begin{cases}{\frac {\operatorname {d} v_{x}}{\operatorname {d} t}}=0\\{\frac {\operatorname {d} v_{y}}{\operatorname {d} t}}=-g\end{cases}}$$

Hortik, $t_{0}$ eta $t$ bitartean integratuz, $t$ aldiuneko abiaduraren bi osagaiak lortuko ditugu:

$${\begin{cases}v_{x}=v_{0x}\\v_{y}=v_{0y}-gt\end{cases}}$$

Agerikoa denez, abiaduraren osagai horizontala konstantea da; eta osagai bertikala, uniformeki azeleratua, beherantz (hortik zeinu neagitboa). Guztira, abiadura bektorea honako hau da, denboraren funtzio modura emanik:
${\boldsymbol {v}}(t)=v_{0x}{\boldsymbol {i}}+(v_{0y}-gt){\boldsymbol {j}}.$

Posizioaren ekuazioa

Abiaduraren ekuaziotik abiatuz, posizioaren ekuazioa ere zehaztu daiteke ondoko ekuazioa integratuz:

${\cfrac {\operatorname {d} {\boldsymbol {r}}}{\operatorname {d} t}}={\boldsymbol {v}}(t)=v_{0x}{\boldsymbol {i}}+(v_{0y}-gt){\boldsymbol {j}},$

betiere kontuan izanik abiapuntuko posizioa ${\boldsymbol {r}}(0)=x_{0}{\boldsymbol {i}}+y_{0}{\boldsymbol {j}}$ dela. Lehenengo mailako ekuazio diferentziala da hau ere, eta beraren soluzioa hauxe da:

${\boldsymbol {r}}(t)=(v_{0x}{t}+x_{0}){\boldsymbol {i}}+\left(-{\frac {1}{2}}g{t^{2}}+v_{0y}t+y_{0}\right){\boldsymbol {j}}$

Ekuazio bektorial hau osagaietan bananduz, hauexek dira posizioaren bi osagai kartesiarrak:

$${\begin{cases}x=x_{0}+v_{0x}t\\y=y_{0}+v_{0y}t-{\frac {1}{2}}gt^{2}\end{cases}}$$

Bi ekuazio horietatik denbora eliminatuz ($t$ aldagaia), ibilbidearen ekuazio kartesiarra lortzen da:
$y=y_{0}+{\frac {v_{0y}}{v_{0x}}}(x-x_{0})-{\frac {1}{2}}{\frac {g}{v_{0x}^{2}}}(x-x_{0})^{2}.$

Agerikoa denez, hori bigarren ordenako kurba baten ekuazioa da $Oxy$ plano bertikalean, parabola batena hain zuzen ere. Horixe da ibilbide parabolikoaren ekuazio geometrikoa.

Objektuak lortuko duen altuera maximoa

Gorantz abiatutako higidura parabolikoan, interesgarria da jakitea zein izango den objektuak lortuko duen altuera maximoa. Puntu hori parabolako tontorra da: aurreko irudiko $H$ puntua. Bertan, abiadura bektorea horizontala izango da; bestela esanda, abiaduraren osagai bertikala nulua izango da:

$$v_{yH}=0.$$

Beraz, aurreko atalean lorturiko osagai bertikalaren adierazpenean balio hori ordezkatuz,

$$v_{Hy}=v_{0y}-gt_{H}=v_{0}\sin \theta -gt_{H}=0$$

izango dugu eta hortik kalkula dezakegu zein aldiunetan, t_h, iristen den bertara:

$$t_{H}={\frac {v_{0}\sin \theta }{g}}.$$

Eta balio hori $y$ koordenatuaren ekuazioan ordezkatuz:

$$y=y_{0}+v_{0y}t-{\frac {1}{2}}gt^{2}\longrightarrow h=0+(v_{0}\sin \theta )t_{H}-{\frac {1}{2}}gt_{H}^{2},$$

$$h={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }{2g}}.$$

Horixe izango da objektuak lortuko duen altuera maximoa. Bistakoa denez, balio maximoa $\sin \theta =1$ denean lortuko da; hau da, objektua bertikalki jaurtitzen denenan gorantz, edo gauza bera dena, $\theta =90^{\circ }$ denean.

Objektuak lortuko duen distantzia horizontala. Tiro parabolikoaren irismena

Distantzia horizontala lortzeko, kontuan izan behar dugu puntu hori y$y$ ordenatu nuluari dagokiola, alegia, bertan $y=0$ izango dela. Aurreko atal batean lorturiko formula hau erabiliz,

$$y=y_{0}+v_{0y}t-{\frac {1}{2}}gt^{2},$$

Puntu horretara objektua zein aldiunetan iristen den kalkula dezakegu:

$$0=(v_{0}\sin \theta )t_{d}-{\frac {1}{2}}gt_{d}^{2},$$

$$t_{d}={\frac {2v-0\sin \theta }{g}}.$$

Eta aldiune horri dagokion abzisa kalkulatuz, abzisa hori izango da, hain zuzen, objektuak lortuko duen distantzia horizontala:

Hutsean, hasierako 10 m/s-ko abiaduraz jaurtiriko projektilen ibilbideak. Puntuak 0,05 s-ko tarteei dagozkie.

$$x=x_{0}+v_{0x}t\longrightarrow d=0+v_{0}\cos \theta {\frac {2v_{0}\sin \theta }{g}}.$$

$$d={\frac {v_{0}^{2}}{g}}\sin 2\theta .$$

Kasu honetan ere, distantzia horizontala hasierako abiaduraren inklinazioaren menpekoa da, hots, $\theta$ angeluaren funtzioa. Distantzia horri tiro parabolikoaren irismena deritzo.

Irismen maximoa

Irismenaren balio maximoa sinu funtzioaren balio maximoarekin gertatzen da, hau da, sinuak $1$ balio duenean.

$$\sin 2\theta =1\longrightarrow 2\theta =90^{\circ }\longrightarrow \theta =45^{\circ }.$$

Hortaz, irismen maximoa gertatzen da hasierako abiadura bektorearen norabideak $45^{\circ }$-ko angelua osatzen duenean norabide horizontalarekin. Kasu horretan hauxe da irismenaren balioa:

$$d_{\text{max}}={\frac {v_{0}^{2}}{g}}.$$

Airearen marruskadura kontuan hartuz sortzen den ibilbide balistikoa

Airearen marruskadura jasaten duen proiektil baten ibilbideak, hasierako abiaduraren zenbait balioren kasuan.

Atal honetan kontuan izango dugu objektuak atmosferako airearekin duen marruskadura. Fenomeno konplexua den arren, hurbilketa sinplea egingo dugu arazoa kualitatiboki azaltzeko eta orain arte aztertu dugun marruskadurarik gabeko ibilbide parabolikoan horrek izango duen eragina ulertzeko.

Aireko erresistentziak marruskadura-indar bat sortzen du, eta indar hori higiduraren noranzkoaren kontrako noranzkoan doa, eta abiaduraren moduluaren menpekoa da.Aireak higidurari jartzen dion erresistentzia arraste-koefizientea deritzon parametro baten bidez adierazi ohi da, eta lehenengo hurbilketa batean kontsideratuko dugu marruskadura-indarra abiaduraren berretura baten proportzionala dela.

Abiadura txikien kasuan, marruskadura-indarrak gorputzaren abiadurarekiko duen menpekotasuna lineala da ($\propto v$) (Stokes-en arraste-legea) eta abiadura handien kasuan, koadratikoa ($\propto v^{2}$) abiadura handietan (Newton-en arraste-legea).

Higidura parabolikoaren deformazioa airearen marruskaduraren kausaz; jaurtitze-angelua, $70^{\circ }.$ Kolore beltzez, marruskadurarik gabe; urdinez, Stokesen arrasteaz; berdez, Newtonenen arrasteaz.

Portaera horien arteko trantsizioa Reynolds-en zenbaki adimentsionalaren balioak zehazten du; zenbaki hori abiaduraren, objektuaren tamainaren eta ingurunearen biskositate zinematikoaren araberakoa da. Honelaxe definitzen da Reynoldsen zenbakia:

$${\text{Re}}={\frac {\rho vL}{\mu }}={\frac {vL}{\nu }},$$

non:

• $\rho$: fluidoaren dentsitatea
• $v$ : objektuak fluidoarekiko duen abiadura
• $L$: objektuaren luzera esanguratsua
• $\mu$: fluidoaren biskositate dinamikoa
• $\nu$: fluidoaren biskositate zinematikoa

Reynolds-en zenbakia 1000 baino baino txikiagoa bada, menpekotasuna lineala da, eta 1000 baino handiagoa bada, koadratikoa. Hortaz, honelaxe adierazten da aireak proiektilari egindako marruskadura indarra:

• Stokesen arraste-legearen arabera: ${\boldsymbol {F}}_{\text{air}}=-k_{\text{St}}{\boldsymbol {v}}$, ${\text{Re}}\leqslant 1000$ denean.
• Newtonen arraste-legearen arabera: ${\boldsymbol {F}}_{\text{air}}=-k_{\text{Nw}}|{\boldsymbol {v}}|{\boldsymbol {v}}$, ${\text{Re}}\geq 1000$ denean.

Hori dela eta, ibilbide parabolikoa deformatu egiten da, marruskadurarren eraginez gorputzak moteldu egiten baitu bere abiadura; ondorioz, ibilbidea parabola deformatu bat da, baxuagoa norabide bertikalean eta laburragoa norabide horizontalean, forma sasiparabolikoa hartuz.

Ariketak

• Higidura parabolikoa
• Abiadura osagaiak lantzeko bideoa.

• Higidura parabolikoa lantzeko ariketa.

• Higidura parabolikoa lantzeko ariketa II.

• Tiro parabolikoa ulertzeko bideoa.

Bibliografía

• Fishbane, Paul (2008) Fisika zientzialari eta ingeniarientzat. 1. bolumena, (1.etik-21.era Gaiak) Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea ISBN9788490820308 PMC932800438.
• Etxebarria Bilbao, Jose Ramon (arg.) Fisika orokorra (2. argitalpena) UEU, Bilbo (2003) ISBN 9788484380450.
• Marcelo Alonso, Edward J. Finn (1976). Física. Fondo Educativo Interamericano. ISBN 84-03-20234-

Ikus gainera

• Zinematika
• Trigonometria
• Higidura zuzen uniforme a
• Higidura zuzen eta uniformeki azeleratua
• Erorketa askea
• Stokes-en legea

Kanpo estekak

• https://www.fisicalab.com/apartado/movimiento-parabolico#contenidos
• http://jakinstein.com/2007/01/18/higidura-parabolikoa/

• Datuak: Q10281355
• Multimedia: Parabolic trajectories