Matematikan , (P, <) multzo partzialki ordenatu baten S azpimultzo bat izanik, horren beherena , existitzen bada, P-ren elementu maximoa da, S-ko elementu guztiak baino txikiago edo berdinak dena. Beste hitzez, S-ko behe-bornerik handiena da. S multzoaren beherena inf(S) adierazten da.
A zenbaki errealen multzoa (zirkulu berdez eta gorriz adierazita), S A -ren azpimultzo bat (zirkulu berdeak), eta S -ren beherena (infimum ingelesez) eta gorena (supremum ingelesez).Gorena , existitzen bada, P-ren elementu minimoa da, S-ko elementu guztiak baino handiago edo berdina dena. Hots, S-ko goi-bornerik txikiena da. S multzoaren gorena sup(S) adierazten da.
Propietateak
aldatu
Gorena eta beherena existitzen badira, orduan bakarrak dira.
sup ( A ∪ B ) = max { sup ( A ) , sup ( B ) } {\displaystyle \sup(A\cup B)=\max\{\sup(A),\sup(B)\}} , aipaturiko gorenak existitzen badira
inf ( S ) = − sup ( − S ) {\displaystyle \inf(S)=-\sup(-S)} , non − S = { − s | s ∈ S } {\displaystyle -S=\{-s|s\in S\}} den
Multzo batek maximoa du, baldin eta soilik bere gorena barnean hartzen badu
Multzo batek minimoa du, baldin eta soilik bere beherena barnean hartzen badu
Zenbaki errealen multzoan, goi-bornatutako edozein azpimultzok (multzo hutsa izan ezik) gorena du.
inf { 1 , 2 , 3 } = 1. {\displaystyle \inf \,\{1,2,3\}=1.}
inf { x ∈ R : 0 < x < 1 } = 0. {\displaystyle \inf \,\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=0.}
inf { x ∈ Q : x 3 > 2 } = 2 3 . {\displaystyle \inf \,\{x\in \mathbb {Q} :x^{3}>2\}={\sqrt[{3}]{2}}.}
inf { ( − 1 ) n + 1 / n : n = 1 , 2 , 3 , … } = − 1. {\displaystyle \inf \,\{(-1)^{n}+1/n:n=1,2,3,\dots \}=-1.}
sup { 1 , 2 , 3 } = 3 {\displaystyle \sup\{1,2,3\}=3\,}
sup { x ∈ R | 0 < x < 1 } = sup { x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1 } = 1 {\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {R} |0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} |0\leq x\leq 1\}=1\,}
sup { x ∈ Q | x 2 < 2 } = 2 {\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {Q} |x^{2}<2\}={\sqrt {2}}\,}
sup { ( − 1 ) n − 1 n | n ∈ N } = 1 {\displaystyle \sup\{(-1)^{n}-{\frac {1}{n}}|n\in \mathbb {N} \}=1\,} Erreferentziak
aldatu
Supremum , mathworld.wolfram.com webgunean.
Infimum , mathworld.wolfram.com webgunean. Kanpo estekak
aldatu