Energia-momentu tentsore

Energia-momentu tentsorea» orritik birbideratua)

Energia-momentu tentsorea, energiaren eta momentuaren dentsitatea eta fluxua deskribatzen dituen magnitude fisiko bat da espazio-denboran. Materia, erradiazio eta grabitazio gabeko indar-eremuen atributua da. Dentsitate eta energia- eta momentu- fluxu horiek, erlatibitate orokorreko Einstein eremuko ekuazioen iturri dira. Hau da, grabitazio newtondarrarekin analogia bat eginez, energia-momentu tentsoreak masa-distribuzioaren papera beteko zuen ekuazioetan. Einsteinen ekuazioetan honela txertatzen da:

Espaziodenboraren kurbaduraren ilustrazio eskematikoa

Definizioa aldatu

Kontsidera dezagun elkarrekintzarik gabeko partikula sorta baten baliokidea den fluido bat  (hautsa). Gertaera baten eta toki zehatz batetik pasatzen den partikularen abiadurak   abiadura-eremua definitzen du. Bestalde, partikula horren aldiuneko pausaguneko sisteman neurturiko masa-dentsitatea kontsideratuko dugu   . Bi elementu horiekin hurrengo magnitudea defini daiteke (energia-momentu tentsorea edo esfortzu-energia tentsorea):

 

 
Tentsorearen osagaiak era matrizealean idatzita.

 -ren transformazioetatik tentsorearen transformazio legea ondorioztatu daiteke era tribial batean:

 

beraz,

 

Adierazpen horretan ikusi daiteke (indizeak aldatuz) energia-momentu tentsorea tentsore simetrikoa dela.[1]

Behin definizioa izanda tentsore hori osagaiz osagai interpretatu daiteke:

  • Sistema inertzial batean neurturik, sistema propio baten neurtutako bolumen batean dagoen energia honela adierazi daiteke:   . Bestalde, Lorentzen uzkurdura dela eta, sistema inertzialean dugun bolumen diferentziala  . Ondorioz, sistema inertzialean lortzen den energia-dentsitatea   dugu. Adierazpen hori aztertuz   tentsorearen   osagaia dela ikusten da. Hau da, energia-momentu tentsorearen   osagaia energia-dentsitatea da.
  • Har dezagun, lehen bezala, sistema propio batean neurturiko bolumen diferentziala. Berriz ere, Lorentzen uzkurdura kontuan hartuz, momentu linealaren dentsitatea lortzen dugu:  . Bestalde,   gainazal batetik denbora-unitateko pasatzen den energia kantitatea   daukagu, non,   (energia-dentsitatea bider abiadura). Hortaz, energia-momentu tentsorearen   osagaiak honela interpretatu daitezke:  (momentu linealaren dentsitatea   norabidean) edo  (energiaren korronte-denstsitatea   osagaian).
  • Azkenik, logika berbera erabiliz,   osagaia momentu linealaren dentsitatearen   osagaiaren   osagaia da. Kontuan izan behar dugu indarraren definizioa momentu linealaren denbora-unitateko transferentziara dela. Hortaz,  osagaiak   ardatzarekiko perpendikularra den gainazal infinitesimalaren gainean materia distribuzioak egiten duen azalera-unitateko indarraren   osagaia da. Ondorioz, hiru dimentsioko esfortzu-tentsorea dugu  .

Kontserbazioa aldatu

Erlatibitatearen teoriaren testuinguruan, energiaren eta mugimenduaren kontserbazio legeak oso modu errazean adieraz daitezke energia-momentu tentsorearen baitan. Zehazki bi legeak batera idatz daitezke jarraitutasun ekuazio bat bezala:

 

 

Kopuruak espazio motako xerra batean ematen du energia-momentu kuadribektorea edo kuadrimomentua. Tentsore hori espazio-denboran egiten diren translazioei elkartutako Noetheren korrontea da. Erlatibitate berezian, kopuru horrek espazio-denboraren kurbaduraren iturri bezala jarduten du. Horrez gain gaugeren transformazioei lotutako dentsitate-korrontea da, Notherren teorema dela eta. Espazio-denbora kurbatuan, espazio denborako integralak espazio motako xerrarekiko mendekotasuna du orokorrean. Ez dago modurik energia-momentuko bektore globalik definitzeko espazio-denbora kurbatuan.

Grabitatea mespretxagarria denean eta koordenatu sistema kartesiarra erabiliz espazio denborarentzat, aurreko ekuazioa deribatu partzial bidez adieraz daiteke:

 

Forma integrala honakoa da:

 

Non   espazio denboraren lau dimentsioko eskualde trinkoa den.   bere muga da, 3 dimentsioko hiper-azalera bat, eta    mugaren elementu bat da, kanporantz begira dagoen normala.

Espazio-denbora lauan eta koordenatu kartesiarrak erabiliz, eta energia-momentu tentsorearen simetriarekin konbinatuz, ikus daiteke momentu angeluarra ere kontserbatu egiten dela  

Erlatibitate orokorrean aldatu

Grabitatea ez denean mespretxagarria edo koordenatu sistema arbitrarioa erabiltzean, energia-momentuaren dibergentziak desagertzen jarraitzan du, baina kasu honetan, koordenatu gabeko dibergentziaren definizioa erabiltzen da, zeinak deribatu kobariantea erabiltzen duen:

 

non    Christoffelen ikurra den, hau da, indar eremu grabitatorioa.

Ondorioz,   Killingen bektorea bada, orduan Killingen eremu bektorialak eratzen duen simetriarekin lotutako kontserbazio legea honela adieraz daiteke:

 

Integral forma:

 

Tentsorearen erabilera kasu konkretuetan aldatu

Erradiazioaren energia-momentu tentsorea[2] aldatu

Izan bedi fluido perfektu bat, non bere partikulak partikula ultraerlatibistak diren, hau da, beraien abiadura argiaren abiaduraren antzekoa den  . Bestalde, partikulek ez dute elkarrekintzarik izango beraien artean eta haien energia   izango dugu.

Ikuspuntu makroskopiko batetik, elementu-infinitesimal bat geldi dagoeneko masa-zentroko sistema definitu behar dugu. Beraz, horretarako, elementuan dauden partikula guztien batez bestekoak hartu beharko ditugu kontuan, partikulen mugimenduak zorizkoak direnez pausaguneko sistema definituko baitu horrek. Ondorioz, elementuaren pausaguneko sistemaren koordenatuak   izango dira. Hau kontuan izanda, tentsorearen osagaiak kalkulatuko dira.

Lehen osagaia, energia-dentsitatearen batez bestekoa izango da:

 

Bestalde, masa-zentroaren sisteman gaudenez, partikulen momentu-dentsitatea nulua izango da:

 

Arrazoi beragatik, hau da, partikula guztiak zoriz higitzen direlako,  denean:

 

Hortaz, nuluak ez diren elementu bakarrak   elementuak izango dira, hots, diagonaleko elementuak. Lehen aipatu den bezala   dugu, beraz,

 

Ondorioz,  denean,

 

Amaitzeko, tentsore guztia matrize bezala idazten badugu aukeratutako masa-zentroko erreferentzia sisteman:

 

Partikula isolatuetan aldatu

Erlatibitate berezian, elkarrekintzarik ez duen   masako eta   ibilbideko partikula baten energia-momentua:

 

da, non   abiadura bektorea:

 

den.   Diracen funtzioa da eta   partikularen energia da.

Fisika klasikoaren hizkuntzan idatzi ezkero, energia-momentu tentsorea;

  izango litzateke.

Energia-momentua orekan dagoen jariakinean[3] aldatu

Jariakin perfektuaren energia-momentu tentsorea idazteko,   masa-dentsitatea eta   presio-eremu eskalarra (  ) behar dugu. Horretarako, aldiuneko pausaguneko koordenatu-sistema aukeratuko dugu. Hau da, bolumen elementuaren masa-zentroko sistema hartuko dugu. Honela, partikulen batez bestekoak hartzen direnez, sistema pausagunean egongo da. Beraz, gure sistema   izango da, erradiazio energia-momentu tentsorearen kasuan bezala. Bestalde, kontuan izan behar dugu fluidoaren partikulak ez-erlatibistak direla. Behin hau finkatuta, tentsorearen osagaiak kalkulatu ditzakegu.

Hasteko, jariakinaren energia-dentsitatea   izango da. Bestalde, aukeratutako koordenatu sisteman jariakina pausagunean dago, eta, ondorioz, momentu linealaren dentsitatea nulua izan behar da,  . Amaitzeko, jariakina perfektua denez, honek egiten duen esfortzua bolumen elementuaren gainazalekiko perpendikularra da eta berdina norabide guztietan. Hortaz,   elementuak deuseztatu egiten dira eta hurrengo tentsorea lortzen dugu energia-momentu tentsorearen definizioa aplikatuz:

 

Kobariantza printzipioa erabiliz, energia-momentu tentsorea edozein sistema inertzialetan idatzi dezakegu:

 

baina koordenatu-sistema egokia aukeratuz (masa-zentrokoa) aurreko adierazpen sinplifikatua lortzen dugu.

Fluidoa ez-erlatibistaren kasuan, hots,   eta   betetzen dela suposatuko dugu. Beraz, tentsorearen osagaiak, edozein erreferentzia-sistematan:

 

 

 

Adierazpen hauei energia-momentu tentsorearen kontserbazio legea aplikatuz jariakinaren higidura ekuazioak lor ditzakegu (i=1,2,3 aldagai espazialak izanik):

 

 

 

Aurrera jarraitzeko masa-kontserbazioaren legea erabiliko dugu, hau da, jarraitutasunaren ekuazioa:

 

Ondorioz, bigarren ekuazioa honela sinplifikatzen da:

 

Jariakinaren kasua eta erradiazioaren kasua fluido perfektuaren bi kasu konkretu dira, ikusten den moduan. Baina erradiazioaren kasuan partikulak ultraerlatibistak direla hartu da kontuan tentsorearen osagaien kalkulua egiterakoan.

Energia-momentu tentsore elektromagnetikoa aldatu

[4]Fisika erlatibistan, eremu elektromagnetikoak egindako kontribuzioa energia-momentu tentsoreari energia-momentu tentsore elektromagnetikoa deritzo. Energia-momentu tentsore elektromagnetikoak interakzio elektromagnetikoak gobernatzen dituen Maxwellen momentu tentsorea du barnean.

Hilberten karga gabeko eremu elektrikoaren energia-momentu tentsorea:[4]

 

da, non   eremu elektromagnetiko tentsorea den.

Esplizituki, matrizearen forma:

 

non

 

Poynting bektorea den[5], eta

 

Maxwellen momentu tentsorea den.

Kontserbazio legeak aldatu

Energia-momentu tentsorearen dibergentzia

 

da, non   lau dimentsioko Lorentzen materiako indarra den bolumen unitateko.

Ekuazio hau ondorengo hiru dimentsioko kontserbazio legeen baliokidea da:

 ,

non energia elektromagnetikoaren dentsitatearen fluxua

 

eta momentu elektromagnetikoaren destsitatea

 

diren.

Eremu eskalarra aldatu

Klein-Gordonen ekuazioak asetzen dituen   eremu eskalar konplexu baten energia-momentu tentsorea:

 

da, eta metrika laua denean, osagaiak honakoak dira:

 

Erreferentziak aldatu

  1. «Maxwell’s Stress Tensor» Special Relativity, Tensors, and Energy Tensor (WORLD SCIENTIFIC): 167–193. 2021-03-16 ISBN 978-981-12-2811-7. (Noiz kontsultatua: 2021-05-09).
  2. Aguirregabiria, Juan Mari. (2017). Grabitazioa eta Kosmologia. UNIVERSIDAD DEL PAÍS VASCO. PUBLICACIONES, 19-20 or. ISBN 978-84-9860-710-9..
  3. Aguirregabiria, Juan Mari. (2017). Grabitazioa eta Kosmologia. UNIVERSIDAD DEL PAÍS VASCO. PUBLICACIONES, 21-22 or. ISBN 978-84-9860-710-9..
  4. a b Misner, Charles W.. (1973). Gravitation. ISBN 0-7167-0334-3. PMC 585119. (Noiz kontsultatua: 2021-05-09).
  5. Pfeifer, Robert N. C.; Nieminen, Timo A.; Heckenberg, Norman R.; Rubinsztein-Dunlop, Halina. (2007-10-01). «Colloquium: Momentum of an electromagnetic wave in dielectric media» Reviews of Modern Physics 79 (4): 1197–1216.  doi:10.1103/revmodphys.79.1197. ISSN 0034-6861. (Noiz kontsultatua: 2021-05-09).

Kanpo estekak aldatu