Deribagarritasun

Matematikan, tradizionalki, deribagarritasunaren (edo frogagarritasunaren) kontzeptua frogapenaren teorian deribazioen arabera definitzen da:

serieak edo zuhaitz-formako egiturakformulaz edo segidaz osatuta, proba-arauak eskatzen dituzten baldintza jakin batzuk betetzen dituztenak.

Normalean, deribazioen "indar-eragilea" baldintzazko adierazpenetan datza: xede-hizkuntzan dituen ondorioak.

h-ra doanean deribatuaren limitearen grafikoa

( $\varphi \rightarrow \Psi$), loturak meta-hizkuntzan${\bigl (}\varphi ,\Psi \vdash \varphi \land \Psi {\Bigr )}$, edo segidak inplikatzen dituzten proba-araua $({\text{if }}\gamma \vdash \varphi {\text{ and }}\gamma ,\Psi \vdash \mathrm {X} {\text{ then }}\gamma ,\varphi \rightarrow \Psi \vdash \mathrm {X} {\Bigr )}.$

Deribagarritasuna eta jarraitasuna

Jarraitutasunaren eta deribagarritasunaren arteko erlazioa deskribatzen duten bi enuntziatu daude:

a) f deribagarria bada Xo-n orduan, f jarraia da Xo-n.

b) f jarraia bada $[a,b]$-n orduan, f deribatu bat da.

a) atalak ez du azalpen gehiagorik behar. b) atalak f = F´ baieztatzen duen F funtzio bat existitzen dela dio.

F funtzio honi f-ren antideribatua edo oinarrizkoa deritzo. f jarraia bada, badakigu b) atala egia dela, Kalkulu Integralaren oinarrizko teoremagatik.

Deribagarritasunaren azterketa funtzio jarraituetan

Hurrengo 3 adibideak funtzioen deribagarritasuna aztertzean aurki ditzakegun egoera guztiak hartzen dituzte:

Adibide 1 a eta b aurkitu, x=-1 denean hurrengo funtzioa deribagarria izan dadin:

$F(x)={\begin{cases}ax^{2}+b,&{\text{baldin eta }}x\leq -1\\ax^{3}+x+2b,&{\text{baldin eta }}x>-1\end{cases}}$

Erantzuna: Alboko limiteak berdinduz x = -1-ean, $a+b=-a-1+2b$ lortzen dugu, finkatu behar dena jarraitasuna ziurtatzeko.

Gainera, $F'(x)=2ax$ baldin eta $x<-1$ ; $F'(x)=3ax^{2}+1$ baldin eta $x>-1$

$\lim F'(x)=-2a$ (x=-1-era doanean ezkerretik) eta $\lim F'(x)=3a+1$ (x = -1-era doanean eskumatik) dela egiaztatzen da. Beraz:

a) Baldin eta $-2a=3a+1$, $\lim F'(x)$ x = -1-era doanean existitzen da eta $F$ deribagarria da x = -1 denean.

b) Baldin eta $-2a\neq 3a+1$, orduan $F$-k ez dauka deribaturik x = -1-ean, existituko balitz, orduan $F'$ etenune bat izango litzateke x = -1-ean, eta hori ez da posiblea.

Adibide 2 Deribagarritasuna aztertu x = 0 $F(x)={\begin{cases}x^{1/3},&{\text{baldin eta }}x\leq 0\\x^{3},&{\text{baldin eta }}x>0\end{cases}}$-rena.

Erantzuna Funtzio hau jarraia da x = 0 denean. Gainera,

$F'(x)=1/3x^{-2/3}$ baldin eta $x<0$ ; $F'(x)=3x^{2}$ baldin eta $x>0$

Kasu honetan, $F$-k ez dauka deribaturik x = 0 denean.

Adibide 3 Hurrengo funtzioaren deribagarritasuna aztertu x=0 denean:

$F(x)={\begin{cases}x^{2}\sin 1/x,&{\text{baldin eta }}x\neq 0\\0,&{\text{baldin eta }}x=0\end{cases}}$

Erantzuna Funtzio hau jarraia da x = 0 denean. Ikus dezagun $F'(x)=2x\sin {1}/{x}-\cos {1}/{x}$ baldin eta $x\neq 0$

Beraz, $\lim F'(x)$ x=0-ra doanean ez da existitzen. Egiaztatzen da $\lim \left({\frac {F(x)-F(0)}{x-0}}\right)=0$ dela. Beraz, $F$ deribagarria da x=0 denean eta $F'$ ez da jarraia x = 0 denean.