Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza

Matematikan, Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza, Schwarz-en desberdintza, Cauchy-ren desberdintza eta Cauchy-Schwarz-en desberdintza izenekin ere ezagutzen da. Desberdintza hau matematikaren hainbat arlotan aplikatu ohi da, besteak beste, aljebra lineala[1], analisi matematikoa[2] eta probabilitate teorian[3].

Augustin Louis Cauchy (1821) batuketarako desberdintza publikatu zuen, aldiz, Vitor Yakovlevich Bunyakovsky (1859) integralei dagokion desberdintza ezarri zuen eta ondoren, Hermann Amandus Schwarzek (1888) berraurkitu zuen.

Cauchy-Schwarz-en desberdintza

aldatu

Izan bedi   espazio bektorial konplexua biderketa eskalarrarekiko, non   bektoreek Cauchy-Schwarz-en desberdintza betetzen dute.

 

Non   biderketa eskalarra den.

Frogapena

Har dezagun   bektoreen konbinazioa non         . Biderketa eskalarraren propietateengatik, bektore honen biderketa bere buruarekiko handiago edo berdin zero da beti.

  

Linealtasuna biderketa eskalarraren eskumatik aplikatuz, aurreko espresioa garatu daiteke.

     

Eta azkenik:

  

Q.E.D

Beraz, desberdintza berdintza bihurtzen da baldin eta soilik baldin bektoreak linealki dependienteak badira haien artean.

Kasu berezia: Desberdintza V espazio bektoriala -ren gain

aldatu

Izan bitez   eta   edozein zenbaki errealak.

Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza

    

Gainera, desberdintza egiaztatzen da baldin eta soilik baldin existitzen bada zenbaki erreal bat   non   edozein  .

Frogapena

Karratuen batuketa ezin da inoiz negatiboa izan, beraz, hauxe daukagu:

                    

edozein   zenbaki erreal izanik.

Desberdintza betetzen da baldin eta soilik baldin batuketaren termino bakoitza (      edozein  ) berdin zero bada.

Desberdintza hau modu honetan idatz daiteke:

           

non

            

Aurreko ekuazioak polinomio koadratiko batek ezin izango duela izan bi erro errealak zehazten du, handiago edo berdin zero delako beti. Hortaz, bere diskriminatzailea txikiago edo berdin zero izan behar da.

 

Orduan:

  eta hauxe da Cauchy-Schwarz-en desberdintza.

Notazio bektoriala erabiliz, Cauchy-Schwarz-en desberdintzak forma hau hartzen du:

 

non

  bi bektore n dimentsiokoak diren,   haien biderkadura eskalarra den eta       a eta b-ren norma diren.

Bitxikeriak

aldatu

Erreferentziak

aldatu
  1. De Burgos, Juan (27 de enero de 2006). Álgebra lineal y geometría cartesiana (3ª edición). McGraw Hill. p. 259. ISBN 978-8448149000. Consultado el 22 de julio de 2015.
  2. Apostol, Tom M. (Abril de 2006). Análisis Matemático. Barcelona: Reverte. p. 17. ISBN 9788429150049.
  3. Chung, Kai Lai (1983). Teoría elemental de la probabilidad y de los procesos estocásticos. Reverte. p. 198. ISBN 9788429150490.

Bibliografia

aldatu
  • Hardy, G., Littlewood J.E., Polya, G. (1999). Inequalities, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8
  • H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Chelsea, reprint (1953)
  • M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4

Ikus, gainera

aldatu

Kanpo estekak

aldatu