Bi gorputzen arazo

Mekanikan, bi gorputzen arazoa bata bestearekin soilik elkar eragiten duten bi partikula puntualen higidura zehaztea da. Adibide arruntak dira: Ilargia Lurraren inguruan orbitatzen Eguzkirik gabe, hots, isolatuta dagoenean; izar baten inguruan orbitatzen duen planeta bat; masa-zentroaren inguruan biratzen duten bi izar (izar bitarra) eta nukleo atomiko baten inguruan orbitatzen duen elektroi bat.

Bi gorputz beren masa-zentroaren inguruan orbita eliptikoetan orbitatzen.

Masa-diferentzia txikia duten bi gorputz beren masa-zentroaren inguruan orbitatzen, marraztutako tamainak Pluton - Karonte sistemaren antzekoak dira.

Geroago azalduko den bezala, Newtonen legeek bi gorputzen arazoa baliokide den gorputz baten arazora murrizteko aukera ematen dute, hau da, grabitazio-eremu kontserbadore baten mende dagoen eta, beraz, kanpoko potentzial batetik datorren partikula baten mugimendua ebaztera. Problema zehatz-mehatz ebatzi daitekeenez, dagokion bi gorputzen problema ere zehatz-mehatz ebatzi daiteke gorputzetako bat irregularra ez bada; kasu horretan, knponezina bihurtzen da. Aitzitik, hiru gorputzen arazoa (eta, oro har, $n$ gorputz $n\geq 3$ arazoa ) ezin da konpondu, kasu berezietan izan ezik.

Arazoaren deskribapena

Jacobiren bi gorputzeko koordenatuak

Demagun $\mathbf {x} _{1}$ eta $\mathbf {x} _{2}$ direla bi gorputzen posizioa adierazten duten bektoreak, eta $m_{1}$ eta $m_{2}$ haien masak. Newtonen bigarren legeak dio:

$\mathbf {F} _{1,2}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}$

$\mathbf {F} _{2,1}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}$

non $\mathbf {F} _{1,2}$ 1 masaren indarra 2 masarekin duen elkarrekintza den eta $\mathbf {F} _{2,1}$ 2 masaren indarra 1 masarekiko. Posizio-bektoreetako bi puntuek bigarren deribatua adierazten dute t denborarekiko; hau da, azelerazio-bektoreari dagokio.

Gure helburua ibilbideak zehaztea da $\mathbf {x} _{1}(t)$ eta $\mathbf {x} _{2}(t)$ uneoro $t$, hasierako posizioak emanda $\mathbf {x} _{1}(t=0)$ eta $\mathbf {x} _{2}(t=0)$ eta hasierako abiadurak $\mathbf {v} _{1}(t=0)$ eta $\mathbf {v} _{2}(t=0)$ (12 konstante guztira). Bi gorputzen arazoa ebazteko, trikimailu garrantzitsu bat bi ekuazio horiek batzea eta kentzea da, eta horrek arazoa bi arazotan banatzen du. Batuketak masa-zentroaren higidura deskribatzen duen ekuazioa ematen du, eta kenketak bi masen arteko posizio-bektorea denborarekin nola aldatzen den deskribatzen duen ekuazioa lortzen du. Gorputz bakarreko bi arazo horien konponbideak konbinatuz ibilbideen irtenbideak lortzen dira $\mathbf {x} _{1}(t)$ Y $\mathbf {x} _{2}(t)$.

Masa-zentroaren mugimendua (gorputz baten lehen arazoa)

Bi ekuazioen batuketa

$m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=(m_{1}+m_{2}){\ddot {\mathbf {x} }}_{cm}=\mathbf {F} _{12}+\mathbf {F} _{21}=0$

non Newtonen hirugarren legea erabili dugun $\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}$ eta non

$\mathbf {x} _{cm}\equiv {\frac {m_{1}\mathbf {x} _{1}+m_{2}\mathbf {x} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

sistemaren masa-zentroaren (barizentroa) posizioa den. Sortzen den ekuazioa

${\ddot {\mathbf {x} }}_{cm}=0$

${\dot {\mathbf {x} }}_{cm}$ abiadura masa-zentroaren konstantea dela erakusten du, eta hortik ondorioztatzen da momentu osoa $m_{1}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\dot {\mathbf {x} }}_{2}$ ere konstantea dela (momentu kantitatearen kontserbazioa). Horrela, hasierako posizioak eta abiadurak kontuan hartuta, masa-zentroaren posizioa eta abiadura edozein momentutan zehaztu daitezke.

Desplazamendu-higidura bektoriala (gorputz bakarreko bigarren arazoa)

Bi indar-ekuazioak kentzen eta ekuazioa berrantolatzen

${\ddot {\mathbf {x} }}_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=\left({\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{2}}}\right)=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{12}$

non, berriro, Newtonen hirugarren legea erabili dugun $\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}$ . Bektore berri bat sartzen dugu $\mathbf {r}$

$\mathbf {r} \equiv \mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}$

hori da 1 masaren posizio-bektorea 2 masarekiko. Bi objektuen arteko indarra $\mathbf {r}$ posizio-bektore horren funtzioa besterik ez da, eta ez beren posizio absolutuenak $\mathbf {x} _{1}$ eta $\mathbf {x} _{2}$: horrela ez balitz, translazio-simetria hautsiko litzateke; hau da, fisikaren legeak leku batetik bestera aldatuko lirateke. Beraz, ekuazioa idatz daiteke

$\mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} (\mathbf {r} )$

non $\mu$ masa murriztua da

$\mu ={\frac {1}{{\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

Behin $\mathbf {x} _{cm}(t)$ Y $\mathbf {r} (t)$ ekuazioak ebatzita, jatorrizko ibilbideak lor daitezke ekuazio hauetatik:

$\mathbf {x} _{1}(t)=\mathbf {x} _{cm}(t)+{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {r} (t)$

$\mathbf {x} _{2}(t)=\mathbf {x} _{cm}(t)-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {r} (t)$

ordezkapenaren bidez egiazta daitekeen bezala $\mathbf {x} _{cm}(t)$ eta $\mathbf {r} (t)$ definizio-ekuazioetan.

Mugimenduaren propietateak

Bi gorputzen higidura laua da

Bi gorputzen higidura plano batean dago beti. Bektorearekiko indarra bezala $\mathbf {r}$ denez $\mathbf {F} =\mu {\ddot {\mathbf {r} }}$, gorputz horren mugimendu-kantitatea definituko dugu beharrezkoa den kantitatea bezala ${\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=\mathbf {F}$, hots $\mathbf {p} =\mu {\dot {\mathbf {r} }}$. Bestalde, momentu angeluarra honela definitzen da:

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$

Bere deribatua denborarekiko hau da:

${\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\dot {\mathbf {r} }}\times \mu {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times \mathbf {F}$

Eta lehen terminoa zero da; bada, ${\dot {\mathbf {r} }}\times \mu {\dot {\mathbf {r} }}=\mu ({\dot {\mathbf {r} }}\times {\dot {\mathbf {r} }})=\mathbf {0}$ da. Beraz, momentu angeluarraren denborarekiko aldakuntza indarraren momentuaren bera da: $\mathbf {N}$

${\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {N}$

Bi partikulen arteko indarra elkartzen diren lerroan dagoenez eta, beraz, $\mathbf {F} \propto \mathbf {r}$ erradio bektorearekiko paraleloa denez, posizio-bektorearen eta indarraren arteko gurutzadura nulua da: $\mathbf {r} \times \mathbf {F} =0$. Beraz, momentua nulua da, eta momentu angeluar edo zinetikoa, konstantea. $\mathbf {L}$momentu angeluar bektorea konstantea bada, orduan, $\mathbf {r}$posizio-bektorea eta bere abiadura ${\dot {\mathbf {r} }}$ beti plano berean daude, normaletik $\mathbf {L}$-ra .

Esparruen legea

Askotan, komenigarria da koordenatu polarretara aldatzea, mugimendua plano batean baitago, eta, arazo fisiko askotarako, indarra, $\mathbf {F} (\mathbf {r} )$, erradioaren funtzio bat besterik ez da, $r$ (indar zentrala da).

Denbora-istant batez mugituz, posizio-bektorea ${\vec {r}}$ oinarrizko esparru bat deskribatzen du: $d{\mathcal {A}}$, zeinak $d{\mathcal {A}}={\frac {r^{2}d\theta }{2}}$ balio duen; beraz, posizio-bektoreak denbora-unitatearen abiadura areolarra edo ekortze azalera : ${\frac {d{\mathcal {A}}}{dt}}={\frac {r^{2}{\dot {\theta }}}{2}}$ da.

Momentu angeluarraren modulua $L=\mu r^{2}\omega$ da, non $\omega \equiv {\dot {\theta }}$, koordenatu polarretan abiadura ordezkatuz froga daitekeen $L=\mathbf {r} \times \mu {\dot {\mathbf {r} }}$-an. Beraz, abiadura areolarraren momentu angeluarraren ${\frac {d{\mathcal {A}}}{dt}}={\frac {L}{2\mu }}={\frac {C}{2}}=cte$ funtzioan adieraz dezakegu $C=L/\mu \,$ «esparruen konstantearekin».

Esparruen lege hori Johannes Keplerrek adierazi zuen 1609an lehen aldiz enpirikoki, eta Eguzkiaren inguruan dabiltzan planeten mugimendua azaltzen du Keplerren bigarren legea osatuz. Azpimarratu behar da gertakari hori indar zentralen mugimenduaren propietate orokorra dela eta, beraz, grabitazio indarrak baino orokorragoa dela distantziaren karratuarekiko alderantziz proportzionala.

Planeta batek, bere orbitaren planoan duen mugimendua, bi mugimenduk osatzen dute: bata, erradio-bektoreak biratzen duen angelua eta bestea primarioarekiko hurbilketa edo distantzia, hau da, erradio-bektorearen moduluaren aldakuntza denborarekin. Esparruen legeak zehazten du: gorputz bat hurbil dagoenean azkarrago biratzen dela eta urrun dagoenean motelago, eta kuantitatiboki egiten du, zaila den arren, biraketa-angelua ezarri ahal izateko. E biraketa-angelua denboran zehar lortzeko, beste era batera adierazi behar da formula hau:

M = E — e E gabe

Formula horri Keplerren ekuazioa deitzen zaio, non M batez besteko anomalia den, e eszentrikotasuna eta E anomalia eszentrikoa.

$r$ denborarekin nola aldatzen den jakitea besterik ez da falta, eta bi ekuazioen arteko t ezabatuz orbita lortzen da.

Orbita

Newtonek esan zuen: «Unibertsoko objektu bakoitzak beste objektu guztiak erakartzen ditu objektuen zentroa batzen duen lerroan zehar, (indar zentrala) objektu bakoitzaren masen proportzionala eta haien arteko distantziaren karratuarekiko alderantziz proportzionala».

Newtonen bigarren legearen arabera a azelerazioa honako formakoa da

$\mathbf {a} ={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=f(r){\hat {\mathbf {r} }}.$

Koordenatu polarretan, abiadura, orbita OXY planoan dagoela suposatuz, hau da:

${\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},$

eta azelerazioa:

${\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}.$

Azelerazioa osagaietan eta osagai erradiala baino ez duenez:

${\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=f(r),$

$r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}=0.$

${\ddot {\theta }}$ eta ${\dot {r}}$ ordezkatuz hau da bigarren ekuazioa:

$r{d{\dot {\theta }} \over dt}+2{dr \over dt}{\dot {\theta }}=0$

Aldagaiak bereizita:

${\frac {d{\dot {\theta }}}{\dot {\theta }}}=-2{\frac {dr}{r}}.$

Integrazioaren emaitza:

$\ln {\dot {\theta }}=-2\ln r+\ln \ell ,$ non integrazioaren konstantea gehitu dugun.

Badakigu momentu angeluar espezifikoa (masa unitateko) hau dela:

$\ell =r^{2}{\dot {\theta }}$ ,

Logaritmoak hartuz:

$\ln \ell =\ln r^{2}+\ln {\dot {\theta }},$

Hirurehun urteko esperientziak aldagaiaren aldaketa bermatzen du:

$r={\frac {1}{u}},$

Eratortzerantz:

${\dot {r}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\dot {u}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {du}{d\theta }}=-\ell {\frac {du}{d\theta }},$

Eratortzerantz itzuliz eta ${\dot {\theta }}=u^{2}\ell$ kontuan izanda

${\ddot {r}}=-\ell {\frac {d}{dt}}{\frac {du}{d\theta }}=-\ell {\dot {\theta }}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}=-\ell ^{2}u^{2}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}.$

Higidura-ekuazioa ${\hat {\mathbf {r} }}$-n

${\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=f(r),$ geratzen da:

${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {1}{\ell ^{2}u^{2}}}f\left({\frac {1}{u}}\right).$

Newtonen grabitazio-legeak dio masa unitateko indarra hau dela:

$f\left({1 \over u}\right)=f(r)=-\,{GM \over r^{2}}=-GMu^{2}$

non G grabitazio-konstante unibertsala den eta M izarraren masa.

Beraz, emaitza,

${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u={\frac {GM}{\ell ^{2}}}$

Ekuazio diferentzial honek soluzio orokorra du:

$u={\frac {GM}{\ell ^{2}}}{\bigg [}1+e\cos(\theta -\theta _{0}){\bigg ]}.$

non e eta θ₀ integrazio-konstante arbitrarioak diren.

u 1/r -z ordezkatuz eta θ₀ = 0 eginez:

$r={1 \over u}={\frac {\ell ^{2}/GM}{1+e\cos \theta }}$

Hori foku batean e eszentrikotasuna eta jatorria dituen koniko baten ekuazioa da. Beraz, Keplerren lehen legea Newtonen grabitazio-legearen eta Newtonen bigarren higidura-legearen ondorio zuzena da.

θ-k benetako anomaliaren izena jasotzen du; normalean, V-k adierazten du; erradio-bektoreak periastroarekin osatzen duen angelua da, eta erraz erlazionatzen da E anomalia eszentrikoarekin.

• 0<e<1 bada, orbita elipsea da
• e>1 bada, orbita hiperbola da
• e=1 bada, orbita parabola da

Kasu nabarmenen emaitzaren adibidea: Grabitazioa eta alderantzizko koadraturaren beste adibide batzuk

Bi gorputzen arazoa interesgarria da astronomian, objektu astronomikoen bikoteak, sarritan, bizkor mugitzen direlako norabide arbitrarioetan (beraz, haien higidurak interesgarri bihurtzen dira), elkarrengandik urrun daude (ez dute talkarik egingo) eta areago beste objektu batzuetatik (beraz, kanpoko eraginak nahikoa txikiak izango dira segurtasunez baztertuak izateko).

Grabitate-indarraren pean, halako objektu pare baten kide bakoitzak elkarren arteko masa-zentroaren inguruan orbitatuko du eredu eliptiko batean, elkarrengandik erabat ihes egiteko nahikoa azkar mugitzen ez badira behintzat, eta, kasu horretan, bere ibilbideak beste sekzio koniko lau batera desbideratuko dira. Objektu bat bestea baino askoz astunagoa bada, bestea baino askoz gutxiago mugituko da partekatutako masa-zentroari erreparatuta. Elkarrekiko masa-zentroa objektu handiagoaren barruan egon daiteke.

Problemaren soluzioen deribaziorako, ikus Indar zentralaren Arazo klasikoa edo Keplerren arazoa .

Printzipioz, soluzio berak aplikatzen zaizkie arazo mikroskopikoei, ez soilik grabitatearen bidez elkar eragiten dieten objektuei, baizik eta alderantzizko karratu-lege bati men egiten dioten beste edozein indar-eremu eskalarren bidez elkar eragiten dietenei ere, erakarpen elektrostatikoa izanik adibide nabariena. Praktikan, arazo horiek oso gutxitan sortzen dira. Aparatu esperimentaletan edo bestelako ekipamendu espezializatuetan ez bada, oso gutxitan aurkitzen ditugu elektrostatikoki elkarreragina duten objektuak nahikoa azkar mugitzen eta, norabide horretan, talka saihesteko eta/edo ingurutik nahiko isolatuta baitaude.

Bikote baten eraginpean dagoen bi gorputzen arazoaren sistema-dinamikoa Sturm-Liouville-ren ekuazio bat da.

Luzapen erlatibistak eta kuantikoa

Mekanika erlatibista

Mekanika erlatibistan, bi gorputzen arazoa korapilatsuagoa da, ezinezkoa baita ekintza bat urrutira postulatzea, eta, beraz, gorputz batek beste batengan duen eragina ez da egungo posizioaren araberakoa, apur bat lehenagoko posizioaren araberakoa baizik. Horrez gain, bi gorputzen grabitazio-arazoak ez du formulazio zehatzik ere onartzen, erlatibitate bereziaren teorian eta erlatibitate orokorraren teoriaren formalismoa erabiltzea eskatzen baitu, non espazio-denboraren geometria aldakorra den.

Horrez gain, elkarrekintza elektromagnetiko edo grabitatorioen bidez, elkarren gainean jarduten duten bi gorputzek uhin elektromagnetikoak eta grabitatorioak igorri behar dituzte; beraz, arazo horrek beti suposatuko du masa-zentrotik kanpora energia igortzen duen eremu jarraitu bat egotea. Horrek bi gorputzen arazoa energia osoa kontserbatzen duen sistema itxi gisa tratatzea galarazten du.

Mekanika kuantikoa

Indar elektromagnetikoek erakartzen dituzten bi gorputzen arazoak konponbidea onartzen du mekanika kuantikoan. Izan ere, hidrogeno atomoa bi gorputzen arazoaren kasu jakin bat da bere bertsio kuantikoan. Nabarmena da, kasu horretan, mugimendua ez dela hertsiki laua. Esaterako, nukleo atomiko baten inguruan egonkortutako elektroiek nukleoa duen edozein planotan egoteko probabilitate ez-nuloa dute, bi gorputzen arazo klasikoarekin gertatzen denarekin ez bezala, non partikulak beti plano batean sartuta dauden.

Ikus ere

• Keplerren legeak
• Grabitazioa
• Teorema Birial
• Hiru gorputzen arazo
• N-gorputz arazo
• Lamberten arazo

Bibliografia gehigarria

• Landau, Lev; Lifshitz, Evgeny (1976). Mechanics (3. edizioa). Nueva York, EUA: Pergamon Press. ISBN 0-08-029141-4. (Ingelesez)
• Goldstein H, Herbert (1980). Classical Mechanics (2. edizioa). Nueva York, EUA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9. (Ingelesez)
• Dumoulin et Parisot, Astronomie pratique et informatique, Masson, Paris, 1987. (Frantsesez)
• Perez, Cours de physique : mekanika, 4. edizioa, Masson, Paris, 2001. (Frantsesez)
• Luc Duriez, Cours de mécanique céleste classique, université Lille-I / IMCCE, 2002, https://web.archive.org/web/20130627093616/http://www.imcce.fr/fr/formations/cours/CoursMC_Duriez/mc/CoursMCecr_Duriez.pdf. (Frantsesez)

Kanpo estekak

• Eric Weissteinen World of Physics -en bi gorputz-arazoa

• Datuak: Q232976
• Multimedia: Two-body problem / Q232976