Bertranden bozketa ebazkizuna

Bertranden bozketa ebazkizuna ebazkizun klasikoa da konbinatorian eta probabilitatean. Honela dio: bozketa bateko bi hautagaiek p eta q boto lortu badituzte hurrenez hurren, zenbatekoa da boto zenbaketan p boto lortu dituen hautagaia beti aurretik izateko P_p,q probabilitatea?.

P_{p,q}={\frac {p-q}{p+q}}\ \ \ ;\ \ \ p\geq q

Adibidez, hautagaiek 10 boto eta 6 boto lortu badituzte hurrenez hurren, 10 boto lortu dituenak beti aurretik izateko probabilitatea hau da:

P_{10,6}={\frac {10-6}{10+6}}=0.25

Argi denez, probabilitatea 0 izango da, p<q denean.

Bertranden bozketa ebazkizuna lehen aldiz Joseph Bertrand matematikari frantsesak asmatu eta ebatzi zuen 1887. urtean^[1].

Ebazpena indukzio matematikoa erabiliz

p=q denean argi dago formula bete egiten dela, formulak erakutsi bezala, orduan p boto lortu dituena beti aurretik joateko probabilitatea 0 baita, gutxienez azken botoaren zenbaketa bukatzean, p=q izanik azkenean berdinketa denean alegia, p boto lortu dituena aurretik joango ez delako.

p>0, q=0 balioetarako ere argi dago formula bete egiten dela, orduan beti joango baita p boto lortu dituena aurretik eta ondorioz beti aurretik joateko probabilitatea 1 da, formulak erakutsi bezala.

p>q balioetarako formula indukzio matematikoa erabiliz froga daiteke. Horretarako kalkula bedi P_p,q probabilitatea jakinda p boto lortu dituena beti aurretik joatea, besteak q boto lortu dituela, bi era hauetara hel daitekeela: azken botoa p boto lortu dituen hautagaiarena izanda (eta hori p/(p+q) probabilitateaz gertatzen da) eta, aldi berean, boto horren aurreko zenbaketan p-1 eta q botorekin, hurrenez hurren, p-1 boto lortu dituena beti aurretik joan izanda; edo azken botoa q boto lortu dituenarena izanda (eta hori q/(p+q) probabilitateaz gertatzen da) eta, aldi berean, boto horren aurreko zenbaketan p eta q-1 botorekin, hurrenez hurren, p boto lortu dituena beti aurretik joan izanda. Erabateko probabilitatearen teorema erabiliz eta biderketa bakoitzaren bigarren biderkagaian emandako formula egiazkotzat hartuz:

{\begin{aligned}P_{p,q}&={p \over (p+q)}P_{p-1,q}+{q \over (p+q)}P_{p,q-1}\\&={p \over (p+q)}{(p-1)-q \over (p+q-1)}+{q \over (p+q)}{p-(q-1) \over (p+q-1)}\\&={p-q \over p+q}\end{aligned}}.

Hau da, formula p-1,q eta p,q-1 balioetarako betetzen bada, p,q balioetarako ere bete egiten da. Formula p>0, q=0 eta p=q; p,q>0 balioetarako betetzen denez (orduan, argi dauden P_p,q=0=(p-0)/(p+0)=1 eta P_p,q=p=(p-p)/(p+p)=0 betetzen baitira), beste p>q>0 guztietarako ere beteko da, p-1,q eta p,q-1 balioetatik p,q balioetarako jauzi edo indukzioa eginez (adibidez, P_p=1,q=1 eta P_p=1,q=0 probabilitateetatik P_p=2,q=1 probabilitatera egiten da jauzi).