Wienen desplazamendu legea

Ez nahastu Wien-en banaketa legearekin

Wien-en desplazamendu legearen arabera, gorputz beltzaren erradiazio kurba tenperatura ezberdinetarako maximoa izango da tenperaturarekiko alderantziz proportzionalak diren maiztasun ezberdinetan. Maximoen aldaketa hori Planck-en erradiazio legearen ondorio zuzena da, gorputz beltzaren erradiazioaren argitasun espektrala uhin luzeraren funtzio bezala deskribatzen du edozein tenperaturatan. Hala ere, Wilhem Wien-ek Max Planck-ek ekuazio orokorragoa garatu baino zenbait urte lehenago aurkitu zuen, eta gorputz beltzaren erradiazioaren espektroaren aldaketa osoa—uhin-luzera txikiagoetara tenperatura handitzean—deskribatzen du.

Gorputz beltzaren erradiazioa uhin-luzeraren funtzioan, hainbat tenperaturarako irudikatuta. Wien-en desplazamendu legeak tenperaturarekiko erradiazio kurbaren maximoak zein joera duen deskribatzen du.

Formalki, Wien-en desplazamendu legearen arabera gorputz beltzaren erradiazioaren erradiantzia espektrala uhin-luzera unitateko, maximoa da ${\displaystyle \lambda _{\text{max}}}$uhin-luzerarako:

$\displaystyle \lambda _{\text{max}}={\frac {b}{T}}$

non T tenperatura absolutua den. b proportzionaltasun konstante bat da, Wien-en desplazamendu konstantea deritzona, bere balioa 2,897771955...·10⁻³ m⋅K edo b ≈ 2898 μm⋅K izanik.

Tenperatura eta uhin-luzeraren arteko erlazioa alderantziz proportzionala da. Tenperatura igo ahala, erradiazio termikoaren uhin-luzera txikitu egiten da. Tenperatura txikiagoa denean, erradiazioaren uhin-luzera maximoa handiagoa da. Erradiazio ikusgaian, objektu beroek argi urdinagoa igortzen dute objektu hotzek baino. Maiztasun unitateko gorputz beltzaren emisio maximoa kontuan hartuz gero, proportzionaltasun konstante ezberdina erabili beharko litzateke. Hala ere, legea ez da aldatzen: uhin-luzera maximoa tenperaturarekiko alderantziz proportzionala da, eta maiztasun maximoa berriz, zuzenki proportzionala.

Wien-en desplazamendu legeari “Wien-en legea” ere dei dakioke, termino bera erabili ohi da Wien-en hurbilketaz aritzeko.

Adibideak

Hona hemen eguneroko bizitzan Wienen desplazamendu legearekin lotura zuzena duten gertakari batzuk:

• Soldagailu baten bidez metal zati bat berotzean, metalak gorri kolorea hartzen du lehenengo, uhin-luzera ikusgai luzeenak gorriak baitira; tenperaturak gora egiten duen heinean laranja-gorrixka kolorea hartzen du, eta tenperatura are altuagoetan, urdin edo zuri kolorea emititzen du metalak, gorputz beltzaren emisio espektroan uhin-luzera laburragoak nagusi egiten baitira. Gorri koloreko erradiazioa igorri baino lehen ere metalak igortzen zuen erradiazio termala, baina ez zen ikuskorra: uhin infragorriak ziren, uhin-luzera luzeagoetakoak (eta hortaz, maiztasun txikiagoetakoak). Hala ere, uhinak soma daitezke, bero forman.
• Erraz ikus daiteke gori-gorian dagoen bonbilla baten (zeinak erradiazio termikoaren bidez argia sortzen baituen) kolore-aldaketa honen argiaren intentsitatea ahultzen den heinean; argi-graduagailu batek honen harizpiarengan eragiten duen tenperatura aldaketa dela-eta. Argia ahulago egiten den eta harizpiaren tenperatura jaisten den neurrian, kolore-distribuzioak uhin-luzera handiagoetara jotzen du eta beraz igorritako erradiazioak tono gorrixka eta intentsitate txikiagoa izango ditu.
• 1500K inguruan erretzen ari den egurrak gutxi gorabehera 2000nm-ko erradiazio maximoa du. Bere erradiazioaren %98-ak 1000nm baino uhin-luzera handiagoa du (infragorriak) , eta oso zati txiki bat da ikusgarria, 390-700nm arteko uhin-luzerekin. Honek azaltzen du zergatik kanpaleku sua argi-iturri eskasa den, berotasun handia igortzen duen arren.
• Eguzkiaren tenperatura eraginkorra 5778K da. Wien-en legearen bidez, nanometroko emisio maximoa zenbatekoa den aurki daiteke 500nm inguruko uhin-luzerarako, espektroaren zati berdean, giza-begiaren sentikortasunaren gailurrean. Beste aldetik, maiztasun optiko unitateko potentziari dagokionez, Eguzkiaren emisio gailurra 343THz-ko maiztasunean edo 883nm-ko uhin-luzeran dago. Banda zabalera ehuneko potenziari erreparatuz,  maximoa 635nm-ren inguruan dago, uhin-luzera gorrian. Espektroa edozein modutara ordenatuta ere, Eguzkiaren erradiazioaren erdia 710nm baino uhin-luzera laburragoei dagokie, giza-ikusmenaren muturrean; eta horien artean, %12 inguru ultramoreak dira, zeinak ikusezinak baitira gizakiontzat. Beraz, Eguzkiaren erradiazioaren ehuneko nahiko handi bat dagokio espektro ikusgaiari.
• Emisioaren zati handiena ikuskorra izatea hala ere ez da betetzen izar gehienen kasurako. Rigel supererraldoi gorri beroak bere argiaren %60 tarte ultramorean emititzen du; beste aldetik, Betelgeuse supererraldoi hotzak emititzen duenaren %85a tarte infragorrikoa da. Orion konstelazioan nabarmentzen diren bi izarroi erreparatuz, aise hautematen da Rigel urdin-zurixkaren (T=12100K) eta Betelgeuse gorriaren (T=3300K) arteko kolore desberdintasuna. Oso izar gutxik daukate Rigelek bezain tenperatura altua; arruntak dira ordea Eguzkia ala Betelgeuseren antzeko tenperaturak (edo are baxuagoak) dituztenak.

  

  Wien-en legeak dioenez, izar baten kolorea bere tenperaturak finkatuta dago. Orion konstelazioan, Betelgeuseren (geziaz seinalatuta) eta esaterako, Rigel-en (behe-eskuinaldean) arteko kolore desberdintasunetik ondoriozta dezakegu bata bestea baino askoz beroagoa izango dela.

• Larruazala 300K inguruan duten ugaztunen erradiazioaren uhin-luzera maximoa 10μm koa da, espektro infragorrian nahiko urrun. Hauxe da Crotalinae narrasti subfamiliako sugeek eta kamera termografikoek (edo kamera infragorriek) antzematen duten uhin-luzera infragorrien tartea.
• Argiztatze iturrien itxurazko koloreak konparatzean (iturriok fluoreszenteak, LEDak, ordenagailu pantailak eta flasha izanik), ohikoa da kolore-tenperaturaz aritzea. Gorputz beltzaren erradiazio kurbak tankera hauetako argien espektroak doiki deskibatzen ez dituen arren, kolore-tenperatura (gorputz-beltzaren) erradiazioaren uhin-luzera iturriaren itxurazko kolorearenaren oso antzekoa denean erabiltzen da. Esate baterako, bulegoetan erabiltzen diren fluoreszente urdin-zuri batek 6500K-ko kolore-tenperatura izan dezake, eta bonbila gori baten argi gorrixka leunak 2000K-koa; azken hau bere harizpiaren tenperatura errealarekin bat datorrelarik. Ohartu, tenperatura baxuagoak edo altuagoak deskribatzeko hurrenez hurren urdinxka-zuri eta gorri terminoak erabili ditugunean guztiz informalki egin dugula, gorputz-beltzaren erradiazioan tenperatura aldaketak alderantzizko efektua duela ahaztu gabe.

Aurkikuntza

Legea Wilhelm Wien-ek garatu zuen 1893 urtean eztabaida termodinamiko batean oinarriturik. Wien-ek oreka termikoan dauden argi uhinak dituen zulo txiki baten hedapen adiabatikoa aztertu zuen. Hedapen edo kontrakzio geldo baldintzapean, hormetan islatutako argiaren energia maiztasunaren modu berean aldatzen dela erakutsi zuen. Termodinamikaren printzipio orokor batek dio oreka termikoko egoera baten baldintzak oso astiro aldatzen badira, sistemak une oro beteko dituela egoera bera deskribatzen duten lege fisikoak (esate baterako, gas baten kasuan, gas idealen legea).

Wien-ek berak deduzitu zuen lege hau 1893an, Boltzmann-en arrazonamendu termodinamikoa jarraituz. Aurretik Langley izeneko astronomo amerikar batek ere behatu zuen, behintzat semi-kuantitatiboki. ${\displaystyle \nu _{\text{max}}}$-en tenperaturarekiko goranzko joera hau denontzako da ezaguna: burdina berotzerakoan (900K) lehenengo erradiazio ikusgaia gorria da, argi ikusgaiaren maiztasun baxueneko tartea. Tenperatura handitzeak kolorearen aldaketa eragiten du, gorritik urdinera, laranja eta horitik pasatuz. 10000K-tik igotzean erradiazio maximoa tarte ultramorera pasatzen da, uhin-luzera are txikiagoetan.

Printzipio adiabatikoari esker Wien-ek ondorioztatu zuen modu bakoitzerako, energia/maiztasun inbariante adiabatikoa beste inbariante adiabatikoaren (maiztasun/tenperatura) funtzioa baino ez zela. Wien-en deribazioaren bariante modernoa Wannier-en testuliburu batean eta E. Buckingham-en artikulu batean aurki daiteke.

Honen ondorioa zera da: gorputz beltzaren erradiazio funtzioaren itxura eta maiztasuna (oraindik ulertzen ez zena), tenperaturarekin proportzionalki aldatuko dira. Max Planck-ek aurrerago formulatu zuen gorputz beltzaren erradiazioaren funtzio zuzena eta adierazpenean ez zen Wien-en b konstantea agertzen. Horren ordez, Planck-en konstantea h sortu zuen bere formula berrian sartzeko. Hau eta Boltzmann-en k konstantea erabiliz posible da Wien-en b konstantea lortzea.

Maiztasunaren menpeko formulazioa

Maiztasun unitateko kontsideratutako fluxu espektralarentzat, Wien-en desplazamendu legeak emisioaren gailur bat deskribatzen du ${\displaystyle \nu _{\text{max}}}$ balioko maiztasun optikoan, bere adierazpen eta balioak hauek izanik:

${\displaystyle \nu _{\text{max}}={\alpha \over h}kT\approx (5,879\times 10^{10}\ \mathrm {Hz/K} )\cdot T}$

edo baliokidea den:

${\displaystyle h\nu _{\text{max}}=\alpha kT\approx (2,431\times 10^{-4}\ \mathrm {eV/K} )\cdot T}$

non $\alpha \approx 2,8214391...$ maximizazio ekuazioaren soluziotik eratorritako konstantea, k Boltzmann-en konstantea, h Planck-en konstantea, eta T tenperatura (Kelvinetan) diren. Emisioa maiztasun unitateko aztertzen denez, maiztasunaren gailurra uhin-luzera unitateko hartutako gailurra baino %70 luzeagoa da. Hau azaltzeko kalkulu matematikoak hurrengo atalean landuko dira.

Eratorpena Planck-en legetik

Gorputz beltzaren erradiazioaren espektrorako Planck-en legeak Wien-en desplazamendu legea aurreikusten du. Gainera, tenperatura eta erradiantziaren maximoa lortzen deneko erabilitako parametroaren balioa erlazionatzen dituen konstantearen balio numerikoa lortzeko erabili daiteke^{[erreferentzia behar]}.

Uhin-luzeraren parametrizazioa

Normalean uhin-luzeraren parametrizazioa erabiltzen da. Kasu horretan, gorputz beltzaren erradiantzia (azalera unitateko igorritako potentzia) hau da:

$R(\lambda ,T)={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{B}T}}-1}}$

$\lambda$-rekiko deribatuz eta zerora berdinduz:

${\frac {\partial R(\lambda ,T)}{\partial \lambda }}=2\pi hc^{2}\left({\frac {hc}{kT\lambda ^{7}}}{\frac {e^{\frac {hc}{\lambda k_{B}T}}}{\left(e^{\frac {hc}{\lambda k_{B}T}}-1\right)^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{6}}}{\frac {5}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{B}T}}-1}}\right)=0$

Sinplifikatuz:

${\frac {hc}{\lambda k_{B}T}}{\frac {e^{\frac {hc}{\lambda k_{B}T}}}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{B}T}}-1}}-5=0$

$x={\frac {hc}{\lambda k_{B}T}}$ aldagai aldaketa eginez:

${\frac {xe^{x}}{e^{x}-1}}-5=0$

$\left(x-5\right)e^{x}+5=0$

Ekuazio transzendentea zenbakizko metodoak erabiliz ebatzi daiteke. Newton-en metodoa erabiliz $x=4,965114231744276303...$ lortzen da. Beraz, uhin-luzera eta tenperaturaren arteko erlazioa:

$\lambda _{max}T={\frac {hc}{xk_{B}}}=(2,89777195)10^{-3}\ m\ K$

Maiztasunaren parametrizazioa

Ohiko beste parametrizazio bat $\nu$ maiztasunaren funtzioan egitea da. Maiztasunaren funtzio den Planck-en legetik abiatuz:

$R(\nu ,T)={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{k_{B}T}}-1}}$

Uhin-luzeraren kasuan erabilitako prozedura erabiliz,

$-{\frac {h\nu }{k_{B}T}}{\frac {e^{\frac {h\nu }{k_{B}T}}}{e^{\frac {h\nu }{k_{B}T}}-1}}+3=0$

Beraz,

$\left(x-3\right)e^{x}+3=0$

Era antzekoan ebatziz $x=2,821439372122078893...$ lortzen da, eta ondorioz, maiztasuna eta tenperaturaren arteko erlazioa:

${\frac {\nu _{max}}{T}}={\frac {xk_{B}}{h}}=0,05878925\ Hz\ K^{-1}$

Parametrizazioaren araberako maximoen desberdintasunak

Ohartu tenperatura jakin baterako, maiztasunaren edota uhin-luzeraren araberako parametrizazioek uhin-luzera maximo ezberdina ezartzen dutela.

Adibidez, T = 6000 K bada, uhin-luzeraren parametrizazioaren arabera, erradiantziaren maximoari dagokion uhin-luzera $\lambda _{max}=482,962nm$ da, eta dagokion maiztasuna $\nu _{max}=620,737THz$. Bestalde, tenperatura bererako, baina maiztasunaren parametrizazioa erabiliz, erradiantziaren maximoaren maiztasuna $\nu _{max}=352,735THz$ da eta dagokion uhin-luzera $\lambda _{max}=849,907nm$.

Funtzio hauek erradiantzia-dentsitate funtzioak dira, hau da, erradiantzia-unitateak emateko eskalatutako probabilitate-dentsitate funtzioak. Dentsitate funtzioak forma desberdinak ditu parametro ezberdinetarako, eta horrek, probabilitate dentsitatearen aldaketa neurtzen du parametro jakin baten aldaketa linealarekiko. Uhin-luzera eta maiztasunaren arteko erlazioa inbertsoa denez, probabilitate-dentsitatearen aldaketa ez-lineala adierazten dute.

Erradiantzia osoa balio guztien gaineko integrala denez, aldaezina da tenperatura jakin baterako edozein parametrizaziorekin. Horrez gain, tenperatura jakin baterako bi uhin-luzeren arteko fotoi guztiek eragindako erradiantzia berdina izan behar da edozein kasutan, hau da, uhin-luzeraren banaketa $\lambda _{1}$-etik $\lambda _{2}$-ra eta maiztasunaren banaketa ${\frac {c}{\lambda _{2}}}$-tik ${\frac {c}{\lambda _{1}}}$-era integratuz emaitza bera lortzen da. Hala ere, banaketaren forma parametrizazioaren araberakoa da, eta parametrizazio desberdinetarako maximo-dentsitate ezberdina izango du.

Dena den, Wien-en legearen punturik garrantzitsuena, era honetako uhin-luzeraren edozein adierazle tenperaturaren alderantzizkoarekiko proportzionala dela da. Hau da, parametrizazio jakin baten banaketa tenperatura baterako behin kalkula daiteke, eta ondoren era egokian aldatuz beste tenperatura baterako banaketa lor daiteke^{[erreferentzia behar]}.

Bibliografia osagarria

• Soffer, B. H.; Lynch, D. K. (1999). "Some paradoxes, errors, and resolutions concerning the spectral optimization of human vision". American Journal of Physics. 67 (11): 946–953. Bibcode:1999AmJPh..67..946S. doi:10.1119/1.19170.
• Heald, M. A. (2003). "Where is the 'Wien peak'?". American Journal of Physics. 71 (12): 1322–1323. Bibcode:2003AmJPh..71.1322H. doi:10.1119/1.1604387.

Ikus, gainera

• Wilhelm Wien
• Stefan-Boltzmann legea
• Termometro
• Max Planck

Kanpo estekak

• Eric Weisstein's World of Physics (ingelesez)

• Datuak: Q214336
• Multimedia: Wien's displacement law / Q214336