Rouché–Frobeniusen teorema

Aljebra linealean, Rouché–Frobeniusen teorema ekuazio-sistema lineal bat eztabaidatzeko baliatu daitekeen teorema bat da, zeinak koefiziente-matrizearen eta matrize zabalduaren heinak eta aldagai ezezagun kopurua erreparatuta, sistema bateragarria edo bateraezina den adierazten duen. Hau da, ekuazio-sistema baten soluzio kopurua adierazten du.

Izena Eugène Rouché frantziar matematikariari, teorema enuntziatu zuenari, eta Ferdinand Georg Frobenius alemaniar matematikariari, teoremaren baliozkotasuna frogatu zuenari, zor dio. Hala ere, hizkuntzaren arabera teoremak beste hainbat izen jaso ditzake, izan ere, Frobeniusez gain, beste hainbat matematikarik ere frogatu zuten teorema: Rouché-Capelliren teorema, Rouché-Fontenéren teorema, Kronecker-Capelliren teorema, etab.

Teorema aplikatzeko ekuazio-sistema linealaren koefiziente-matrizea eta matrize zabaldua kalkulatu behar dira. Koefiziente matrizea aldagai ezezagunen koefizienteek osatzen dute eta matrize zabaldua koefiziente horiek eta gai askeek. Teoremaren arabera, koefiziente-matrizearen eta matrize zabalduaren heinak bat badatoz, ekuazio-sistema bateragarria da eta beraz, soluzioak ditu. Gainera, bi matrize horien heina aldagai ezezagunen kopuruaren berdina bada, sistema bateragarri zehaztua izango da (soluzio bakarra izango du), aldiz, ezezagun kopurua heina baino handiagoa bada sistema bateragarri zehaztugabea izango da (infinitu soluzio izango ditu). Alabaina, bi matrizeen heinak ez badatoz bat, ekuazio-sistema bateraezina da eta ez du soluziorik.

Erabilera

Teorema erabiltzeko lehenik koefiziente-matrize eta matrize zabalduaren kontzeptuak ulertu behar dira. Izan bedi ondorengo ekuazio-sistema lineala:

$\left\{{\begin{matrix}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots +a_{1,n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots +a_{2,n}x_{n}&=&b_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+\cdots +a_{m,n}x_{n}&=&b_{m}\end{matrix}}\right.$

Ekuazio-sistema oro matrize moduan adierazi daiteke, baldin eta aldagai ezezagun bakoitzaren koefizienteak zutabeka ipintzen badira eta ekuazioak errenkadaka, ondorengo moduan:

$(A|b)=\left({\begin{matrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}b_{1}\\\vdots \\b_{m}\end{matrix}}\right)$

Bertan, gai askeak (ekuazioen berdintzaren eskuineko aldea) matrizean gehitu edo ez, ondorengo bi matrizeak bereizi daitezke:

$A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\end{pmatrix}}$, koefiziente-matrizea. Soilik aldagai ezezagunen koefizienteak dituena, gai askeak ipini gabe.

$(A|B)={\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}&b_{1}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}&b_{n}\end{pmatrix}}$, matrize zabaldua. Aldagai ezezagunen koefizienteak edukitzeaz gain, gai askeak ere dituena.

Behin bi matrize horiek kalkulatuta, euren heinak kalkulatu behar dira. Heina kalkulatzeko hainbat metodo desberdin balia daitezke: determinantearen kalkulua, Gaussen ezabaketaren metodoa, etab. Bi matrize horien heina bera bada, orduan, ekuazio sistema hori ebazteko gutxienez soluzio bat existitzen da. Soluzio horiek $K^{n}$ azpiespazio afina eratzen dute, $n-hein(A)$ dimentsiokoa. $K$ gorputza infinitua den kasuetan ondorengoa dugu:

• $hein(A)=n$ bada (n matrizearen ordena delarik), soluzio bakarra existitzen da ekuazio-sistemarentzat. Hau da, sistema bateragarri zehaztua da.
• Bestela, infinitu soluzio existitzen dira. Sistema bateragarri zehaztugabea da.

Adibidea

Izan bedi ondorengo ekuazio-sistema:

x + y + 2z = 3,

x + y + z = 1,

2x + 2y + 2z = 2.

Koefiziente-matrizea honakoa da:

$A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},$

eta matrize zabaldua honakoa:

$(A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&2\end{array}}\right].$

Bi matrize horien heina 2 da, izan ere, bi ekuazio linealki independente ditu bai koefiziente-matrizeak eta baita ere matrize zabalduak. Ondorio horretara iristeko, nahikoa da determinantea kalkulatzea bi matrizeetan, hartarako, determinantearen propietate hau erabiliz: determinante batean bi errenkada edo zutabe elkarren multiploak badira, determinantearen balioa zero da. Ikusi daiteke hirugarren errenkada bigarrenaren berdina dela, bi zenbakiaz biderkatuta. Hortaz, bi matrizeetan determinantea zero ez duen minore osagarririk handiena (zeinaren ordenak matrizearen heina zehazten duen) bigarren ordenakoa da. Izan ere, bada gutxienez bigarren ordenako minore osagarri bat bi matrizeetan zeinaren determinantea zeroren ezberdina den.

Beraz, jakinda koefiziente-matrizeak eta matrize zabalduak 2 heina dutela, sistema eztabaida dezakegu Rouché-Frobeniusen teorema erabiliz. Teorema jarraituz, sistema bateragarri zehaztugabea da, hau da, infinitu soluzio ditu, bi matrizeek hein bera dutelako baina hein hori ezezagun kopurua (hiru) baino txikiagoa delako. Ekuazio-sistema ebatzi nahi bada, Cramerren erregela, Gaussen metodoa edo Gauss-Jordanen algoritmoa balia daitezke besteak beste.

Kanpo estekak

• Datuak: Q2071632