Permutazio

Matematikan, multzo baten permutazioa, oro har, taldekideak sekuentzia edo ordena lineal batean antolatzea da, edo, multzoa ordenatuta badago, multzo ordenatu baten edo n-kote elementuen ordena edo posizioa aldatzea. "Permutazio" hitzak multzo ordenatu baten ordena lineala aldatzeko egintzari edo prozesuari ere egiten dio erreferentzia.

Multzo bat noizbait ondo antolatzen
gurako bagenu ari
demagun ekin nahi diogula
{1,2,3} multzoari
adibidez 2,1,3
edo bestela 3, 1 ta 2
Ordenatzeko nola badugun
berez aukera ugari
Permutazio esaten zaio
horietako bakoitzari

Kolore desberdineko hiru diskoen 3!=6 permutazio desberdinak.

Permutazioak eta konbinazioak desberdinak dira, ordena kontuan hartu gabe multzo bateko kide batzuen hautespenak baitira. Adibidez, n-kote gisa idatzita, multzo osoaren sei permutazio daude, hau da: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) eta (3, 2, 1). Hauek dira hiru elementuen multzo honen antolamendu posible guztiak. Letra desberdinak dituzten hitzen anagramak ere permutazioak dira: letrak jadanik ordenatuta daude jatorrizko hitzean, eta anagrama letren berrantolaketa da. Multzo finituen permutazioak aztertzea gai garrantzitsua da konbinatoriaren eta talde-teoriaren arloetan.

Permutazioak matematikaren ia adar guztietan eta zientziaren beste alor askotan erabiltzen dira. Informatikan, antolamendu-algoritmoak aztertzeko erabiltzen dira; fisika kuantikoan, partikulen egoerak deskribatzeko; eta biologian, RNAren sekuentziak deskribatzeko.

n objektu desberdinen permutazio kopurua n faktoriala da, normalean n! bezala idazten dena, eta n baino txikiagoak edo berdinak diren osoko positibo guztien biderkadura adierazten du.

Multzo baten permutazio guztien multzoak multzo simetrikoa izeneko taldea osatzen du. Taldeko eragiketa osaera da (elkarren segidan bi berrantolaketa egitea), eta horren ondorioz beste berrantolamendu bat lortzen da. Permutazioen propietateak multzoko elementuen izaeraren araberakoak ez direnez, multzoaren permutazioak hartzen dira kontuan permutazioak aztertzeko.$\{1,2,\ldots ,n\}$

Permutazio arruntak

Permutazio arrunten kopurua kopurua ordenatu edo zerrendan jarri beharreko elementu kopuruaren faktoriala da:

$P_{n}=n!$

Adibidez, 0-1-2 elementuak era hauetara ordena daitezke: 3!=6. Hauek dira: 012-021-102-120-201-210.

Formula aise ulertzen da: lehenengo lekuan n elementuak daude aukeran, bigarren lekurako elementu guztiak ken lehenengo lekuan jarritakoa daude aukeran, (n-1) alegia, ..., azken lekurako aurreko guztietan baztertu den elementua jarri beharko delarik; hurrenez hurren biderkatuz $n\times (n-1)\times \cdots \times 2\times 1=n!$ permutazio ezberdin izango dira.

Errepikatuzko permutazioak

Zerrendan ezarri behar diren elementuetan batzuk berdinak direnean, permutazioen kopurua ezin da kalkulatu permutazio arrunten kopuruaren arabera. Adibidez, 0-0-1 elementuak ordenatzeko era kopurua ez da, permutazio arrunten formulak ematen digun bezala, 3!=6, baizik eta 3:

001-010-100

Permutazio arrunten formulak emaitza okerra ematen du berdinak diren elementuak ezberdintzat jotzen dituelako, azkenean diren permutazioak errepikatuz (adibidean, 001 eta 001 permutazio berdinak dira eta behin bakarrik zenbatu behar dira, eta ez bi aldiz permutazio arrunten formulak ematen digun bezala).

n elementu zerrendan jarri behar direnean, horietatik a,b, ... elementu errepikatzen direlarik, errepikatuzko edo errepikapenezko permutazioen kopurua honela kalkulatu behar da:

$EP_{n}^{a,b,...}={\frac {n!}{a!b!...}}$

Adibidez, 8 ale beltz eta 6 ale zuri zerrendan jarri behar badira, permutazio ezberdinen kopurua hau izango da:

$EP_{14}^{8,6}={\frac {14!}{8!6!}}=3003$

Permutazio zirkularrak

Permutazio zirkularra zirkulu finko batean zehar n elementu desberdin jartzeko era bakoitza da, errotazioz aldatzen ez dena. Permutazio zirkularren kopurua hau da:

$P_{n}=(n-1)!$

4 elementuren permutazio zirkularrak (4-1)!=6 dira. Permutazio arruntak 4!=24 lirateke. Permutazio zirkularretan, ordea, elementu bakoitzak aurrean, ezkerrean eta eskubian zein elementu duen bakarrik kontuan hartzen da, errotazioz sortu liratekeen konfigurazioak (zirkuluari %90eko birak emanez kasu honetan) baztertuz.

Ikus, gainera

• Aldakuntza (konbinatoria)

Kanpo estekak

• Datuak: Q161519
• Multimedia: Permutations / Q161519